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【优化方案】高考数学 13.1 导数的概念及基本运算课时闯关(含解析)

13.1 导数的概念及基本运算 课时闯关(含答案解析)

(

一、选择题 3 2 1.(2011·高考重庆卷)曲线 y=-x +3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A.y=3x-1 B.y=-3x+5 C.y=3x+5 D.y=2x 2 解析:选 A.∵y′=-3x +6x,∴y′|x=1=3. 3 2 ∴曲线 y=-x +3x 在点(1,2)处的切线方程为 y-2=3(x-1),即 y=3x-1. 4 2 2.若函数 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( ) A.-1 B.-2 C.2 D.0 3 解析:选 B.f′(x)=4ax +2bx 为奇函数, ∴f′(-1)=-f′(1)=-2. sin x 1 ?π ? 3 .(2011·高考湖南卷 ) 曲线 y = - 在点 M ? ,0? 处的切线的斜率为 sin x+cos x 2 ?4 ? ) 1 1 A.- B. 2 2 C.- 2 2 2 2 x+cos x - x-sin x x+cos x 2 D.

cos x 解析:选 B.y′= = 1 x+cos x

x

2

1 ? ,故 y′?x=π =2, 4 ?

1 ?π ? ∴曲线在点 M? ,0?处的切线的斜率为 . 2 ?4 ? 2 3 第十三章 导 数 高三数学文·广西专用 若曲线 y=x -1 与 y=1-x 在 x=x0 处的切线互相垂直,则 x0 等于( ) 3 A. C. 2 3 36 6 3 B.- 36 6

2 D. 或 0 3

3 1 36 2 3 解析:选 A.由 2x0·(-3x0)=-1,得 x0= ,x0= . 6 6 2 5. 已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1, f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行, 1 若数列{ }的前 n 项和为 Sn,则 S2 013 的值为( )

f n

2 013 2 012 A. B. 2 014 2 013 2 011 2 010 C. D. 2 012 2 011 解析:选 A.f′(x)=2x+b,由 f′(1)=2+b=3,得 b=1. 1 1 1 1 1 于是 = 2 = = - , f n n + n n n+ n n+1

S2 013= f

1



1

f

+…+

1

f

1 1 1 1 1 =1- + - +…+ - 2 2 3 2 013 2 014 1 2 013 =1- = . 2 014 2 014 二、填空题 2 6.已知曲线 C:y=2x ,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要实现不被曲 线 C 挡住,则实数 a 的取值范围是________. 2 2 解析:在曲线 C:y=2x 上取一点 D(x0,2x0)(x0>0), 2 ∵y=2x ,∴y′=4x,y′| =4x0. x=x0 2 2x0+2 令 =4x0,得 x0=1,

x0

2- - 此时,D(1,2),kAD= =4, 1-0 直线 AD 的方程为 y=4x-2. 要实现不被曲线 C 挡住,则实数 a<4×3-2=10,即实数 a 的取值范围是(-∞,10). 答案:(-∞,10) 2 7.曲线 y=2x 在点(-1,2)处的切线方程为________. 2 解析:∵y=2x ,∴y′=4x,y′|x=-1=-4. 故在点(-1,2)处的切线方程为 y-2=-4(x+1), 化简得 4x+y+2=0. 答案:4x+y+2=0 1 8.已知直线 y= x+3,函数 y= x上到直线的距离最近的点的坐标为________. 2 解析:设 y= x上点 A(x0,y0)到直线的距离最近, 1 1 1 则 f′(x)= ,∴f′(x0)=(x2 , 0 )′= 2 2 x0 1 1 ∴ = ,∴x0=1,y0=1. 2 x0 2 答案:(1,1) 三、解答题 2 9.已知函数 f(x)=ax +3ax+1.若 f(x)>f′(x)对一切实数 x 恒成立,求 a 的取值范 围. 解:由题意得,f′(x)=2ax+3a, 则 f(x)>f′(x)对一切实数 x 恒成立, 2 即 ax +3ax+1>2ax+3a 对一切实数 x 恒成立, 2 即 ax +ax+1-3a>0 对一切实数 x 恒成立, 当 a=0 时,1>0,f(x)>f′(x)对一切实数 x 恒成立; ?a>0 ? 4 当 a≠0 时,则? 2 ,∴0<a< . 2 13 ?a -4a+12a <0 ? 4 综上所述,a 的取值范围为[0, ). 13 15 3 2 10.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x 和 y=ax + x-9 都相切,试求 a 的值. 4 3 3 解:设曲线 y=x 上切点为(x0,x0), ∵y′|

x=x0

=3x ,∴

2 0

x3 0

x0-1

=3x0,

2

3 3 2 ∴2x0=3x0,∴x0= 或 x0=0, 2 27 ∴公切线斜率为 k= 或 k=0, 4 27 ∴切线方程为 y= (x-1)或 y=0. 4 25 当直线方程为 y=0 时,求得 a=- ; 64 27 当直线方程为 y= (x-1)时,求得 a=-1. 4 25 所以 a=-1 或 a=- . 64 3 2 11.(探究选做)若直线 y=kx 与曲线 y=x -3x +2x 相切,试求 k 的值. 3 2 2 解:∵y=x -3x +2x,∴y′=3x -6x+2. ∴y′|x=0=2. 又∵直线与曲线都经过原点,则 ①若直线与曲线切于原点时,k=2. ②若直线与曲线切于原点外一点(x0,y0)(x0≠0)时,k= . 由(x0,y0)在曲线上知 y0=x0-3x0+2x0.
3 2

y0 x0

y0 y0 2 x0 x0 2 又∵y′=3x -6x+2, 2 ∴k=3x0-6x0+2. 2 2 ∴x0-3x0+2=3x0-6x0+2.
3 ∴x0=0(舍)或 x0= . 2 3 2 3 1 ∴k=( ) -3× +2=- . 2 2 4 1 综上所述 k=2 或 k=- . 4

∵k= ,∴k= =x0-3x0+2.



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