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分段函数在高考中的应用 20081211152755559


分段函数在高考中的应用
笔者对近几年的高考试卷研究中,看到有很多省、直辖市的高考试卷都考查了 分段函数,而分段函数在教材中是以例题的形式出现,并未作深入的说明,很多考 生对它认识较浅、理解不深刻。现今对它的应用考查作一归纳,旨在探讨分段函数 的应用考查特点,供高考复习参考。 一、求值

?| x ? 1 | ?2,| x |? 1, 1 ? 例 1(2005 浙江理 3)设 f(x)= ? 1 ,则 f[f( )]=( , | x |? 1 2 ? ?1 ? x 2
(A)

)

1 2

(B)

4 13

(C)-

9 5

(D)

25 41

解析:因|

1 1 1 3 3 | ? 1 , 故 f( )=| -1|-2=, 又 因 ||>1 , 故 2 2 2 2 2

f(-

3 1 4 )= 。 ? ,所以选(B) 9 13 2 1? 4
|ln x|

二、作图象 例 2(2005 湖北理文 4 )函数 y ? e

? | x ? 1 | 的图象大致是(



解析:函数的定义域为(0,+ ? ) ,则

?e ln x ? ( x ? 1) ? x ? x ? 1 ? 1, x ? 1 ? y ? ? ?ln x ,分段画出,故选(D) 。 1 ? (1 ? x) ? ? x ? 1,0 ? x ? 1 ?e x ?
三、解方程

例 3 ( 2005 山 东 理 6 文 7 ) ( 7 ) 函 数 f ( x ) ? ?

2 ? ?sin(?x ), ?1 ? x ? 0 ,若 x ?1 ? e , x ? 0 . ?

f (1) ? f (a) ? 2 ,则 a 的所有可能值为( )
(A) 1 (B)-

2 2

(C)1,-

2 2

(D)1,

2 2

解 析 : 因为 1 ≥ 0 , 则 f (1) =1 。 当 -1< a <0 时 ,原 条 件化 为 sin a 2? =1 ,

a 2? =

2 ? 1 2 +2 k? , a ? ? 2k (k ? Z) ,因为-1< a <0,所以 k=0, a = ? ;当 a 2 2 2
a ?1

≥0 时,原条件化为 e 四、解不等式

=1,故 a =1,综上,故选(C) 。

?2 ? x ? 1 ,x ? 0, ? 例4 (2003 全国理文 6 及河南、 天津) 设函数 f ( x) ? ? 1 , 若 f(x0)>1, 2 ? x ? 0. ?x ,
则 x0 的取值范围是( (A) (-1,1) (C) (-∞,-2) ? (0,+∞) 解析: 1) 当 x0≤0 时, f(x0)= 2
1
? x0

) (B) (-1,+∞) (D) (-∞,-1) ? (1,+∞)

得 x0 ? ?1 , 所以 x0 ? ?1 ; 2) 当 x0 ? 0 ? 1 ? 1,

时,则 x0 2 ? 1 ,得 x0 ? 1 ,所以 x0 ? 1 。综上 x0 ? ?1 或 x0 ? 1 ,故选(D) 。 例 5(2004 浙江理文 13) 已知 f ( x) ? ? ?

1, x ? 0, 则不等式 ? ? 1, x ? 0,
.

x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ≤5 的解集是

解析: 1) 当 x ? 2 ? 0 即 x ? ?2 时, 原不等式化为 x ? ( x ? 2) ? 1 ? 5 , 得x ? 所 以 ?2? x ?

3 , 2

3 ; 2 ) 当 x ? 2 ? 0 即 x ? ?2 时 , 原 不 等 式 化 为 2
3 ,所以不等式的解 2
2

x ? ( x ? 2) ? (?1) ? 5 恒成立,所以 x ? ?2 。综上得 x ?

集是 ( ??, ] 。 五、求解析式 例6 (2005 广东 9) 在同一平面直角坐标系中, 函数 y=f(x) 和 y=g(x)的图象象关于直线 y=x 对称,现将 y=g(x)的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位,所得图象 是由两条线段组成的折线(如图 2 所示) ,则函数 f(x)的表达 式为( )

3 2

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? (A) f ( x ) ? ? x ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2 ?2 x ? 2,1 ? x ? 2 ? (C) f ( x) ? ? x ? 1,2 ? x ? 4 ? ?2

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? (B) f ( x ) ? ? x ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2 ?2 x ? 6,1 ? x ? 0 ? (D) f ( x) ? ? x ? 3,2 ? x ? 4 ? ?2

?1 ? x ? 1,?2 ? x ? 0 解 析 : 由 图 象 得 折 线 对 应 的 函 数 为 y ? ?2 ,则函数 ? ?2 x ? 1,0 ? x ? 1 ?1 1 ? x ? 1,0 ? x ? 2 y ? g ( x) ? ? 2 , 而 函 数 y ? x ?1 ( 0 ? x ? 2 ) 的 反 函 数 为 2 ? ?2 x ? 4,2 ? x ? 3
、函数 y ? 2 x ? 4 ( 2 ? x ? 3 )的反函数为 y ? y ? 2 x ? 2( ? 1 ? x ? 0 )

1 x?2 2

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? (0 ? x ? 2) ,因此 y ? f ( x) ? ? x ,故选(A) 。 ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2
六、求周期和最值 例 7(2005 湖北文 15)函数 y ?| sin x | cos x ? 1 的最小正周期与最大值的和 为 . 解析:因为函数

3

?1 sin 2 x ? 1, sin x ? 0 ? ?2 y?? ?? 1 sin 2 x ? 1, sin x ? 0 ? ? 2
画出函数

Y

?
0

2?
X

?1 sin 2 x, sin x ? 0 ? ?2 的图 y?? 1 ?? sin 2 x, sin x ? 0 ? ? 2

象如上图所示,所以函数 y ?| sin x | cos x ? 1 的最小正周期是 2? ,最大值为因此它们的和为 2? ?

1 , 2

1 。 2
2

例 8(2002 全国文 20)设函数 f ( x) ? x ? | x ? 2 | ?1 , x ? R (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值。 解析: (1) f (2) ? 3 , f (?2) ? 7 ,由于 f (?2) ? f (2) , f (?2) ? ? f (2) ,故

f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
2 ? ?x ? x ? 3 (2) f ( x ) ? ? 2 ? ?x ? x ? 1

x?2 x?2



由 于 f ( x) 在 [2,??) 上 的 最 小 值 为 f (2) ? 3 , 在 (??,2) 内 的 最 小 值 为

1 3 3 f ( ) ? ,故函数 f ( x) 在 (??, ?) 内的最小值为 4 2 4
七、在数列中的应用 例 9 ( 2005 北 京 理 19 ) 设 数 列 {an} 的 首 项 a1=a ≠

1 ,且 4

4

? 1 a ? ? 2 n an ?1 ? ? ?a ? 1 n ? ? 4

n为 偶 数
, 记 bn ? a2 n ?1 ?

n为 奇 数

1 ,n==l,2,3,…·. 4

(I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)求 lim(b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ) .
n ??

解析: (I)a2=a1+

1 1 1 1 1 =a+ ,a3= a2= a+ ; 4 4 2 2 8 1 1 3 1 3 1 = a+ , 所以 a5= a4= a+ , 4 2 8 2 4 16

(II)∵ a4=a3+

所以 b1=a1-

1 1 1 1 1 1 1 1 =a- , b2=a3- = (a- ), b3=a5- = (a- ), 4 4 4 2 4 4 4 4 1 的等比数列· 2

猜想:{bn}是公比为 证明如下: 因为 bn+1=a2n+1-

1 1 1 1 1 1 = a2n- = (a2n-1- )= bn, (n∈N*) 4 2 4 2 4 2 1 1 , 公比为 的等比数列· 4 2

所以{bn}是首项为 a-

(III) lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? lim
n ?? n ??

b1 (1 ?

1 ) 2n ? b1 ? 2(a ? 1 ) . 1 1 4 1? 1? 2 2

函数是高考中的重点知识,涉及到很多思想、方法。分段函数首先是函数,并 且是一个函数,不是多个函数,其关键是根据各段解析式后的自变量取值范围来取 对应的解析式,这样就要分段讨论、求解,即要重视分类讨论的思想。

5



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