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【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)三角函数图象与性质教学案


第三节

三角函数图象与性质

[知识能否忆起] 1.周期函数 (1)周期函数的定义: 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有

f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数.T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

定义域

R

R

{xx∈R且x≠

π 2

+kπ ,k∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R

?2kπ -π ,π + ? 2 2 ?
单调性 2kπ (k∈Z)上递增;

[2kπ -π ,2kπ ](k∈Z)上 递增;[2kπ ,2kπ +π ](k ∈Z)上递减

错误!

?2kπ +π ,3π + ? 2 2 ?
2kπ (k∈Z)上递减 最值

kπ (k∈Z)上递增

x= +2kπ (k∈Z)时,ymax=

π 2

x=2kπ (k∈Z)时,ymax=1; x=π +2kπ (k∈Z)时,ymin

1

π 1;x=- +2kπ (k∈Z)时, 2

=-1

ymin=-1
奇偶性 对称 中心 对称轴 方程 周期 奇函数 偶函数 奇函数

(kπ ,0)(k∈Z)

?π +kπ ,0? ?2 ? ? ?
(k∈Z)

?kπ ,0?(k∈Z) ? 2 ? ? ?

x= +kπ (k∈Z)


π 2

x=kπ (k∈Z)
2π π

[小题能否全取] 1.函数 y=tan?
? ? ? π A.?x?x≠ 4 ? ? ? ? ? ? π B.?x?x≠- 4 ? ? ?

?π -x?的定义域是( ? ?4 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

)

,x∈R?

,x∈R?

? ? ? 3π C.?x?x≠kπ - 4 ? ? ? ? ? ? 3π D.?x?x≠kπ + 4 ? ? ?

,k∈Z,x∈R?

,k∈Z,x∈R?

π π 3π 解析:选 D ∵x- ≠kπ + ,∴x≠kπ + ,k∈Z. 4 2 4 2.(教材习题改编)下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是( A.y=cos 2x C.y=tan 2x B.y=sin 2x π? ? D.y=sin?2x- ? 2? ? )

π 解析:选 B 选项 A、D 中的函数均为偶函数,C 中函数的最小正周期为 ,故选 B. 2 3.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是( )

? π π? A.?- , ? ? 4 4?
3π ? ? C.?π , ? 2 ? ?

B.? D.?

?π ,3π ? ? 4 ? ?4 ?3π ,2π ? ? ? 2 ?

3π ? ? 解析:选 C 作出函数 y=|sin x|的图象观察可知,函数 y=|sin x|在?π , ?上递 2 ? ?
2

增.

? π? ? π? 4.比较大小,sin?- ?________sin?- ?. ? 18? ? 10?
π π ? π ? ? π? ? π? 解析:因为 y=sin x 在?- ,0?上为增函数且- >- ,故 sin?- ?>sin?- ?. 2 18? 18 10 ? ? ? ? 10? 答案:>

? π? 5.(教材习题改编)y=2-3cos?x+ ?的最大值为________.此时 x=________. 4? ?
π ? π? ? π? 解析:当 cos?x+ ?=-1 时,函数 y=2-3cos?x+ ?取得最大值 5,此时 x+ =π 4? 4? 4 ? ? 3 +2kπ ,从而 x= π +2kπ ,k∈Z. 4 答案:5 3 π +2kπ ,k∈Z 4

1.求三角函数的单调区间时, 应先把函数式化成 y=Asin(ω x+φ )(ω >0)的形式, 再根据三角函数的单调区间,求出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域 内. 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同: π? ? ?π ? (1)y=sin?ω x- ?;(2)y=sin? -ω x?. 4? 4 ? ? ? 2. 周期性是函数的整体性质, 要求对于函数整个定义域内的每一个 x 值都满足 f(x +T)=f(x),其中 T 是不为零的常数.如果只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x),或找到哪 怕只有一个 x 值不满足 f(x+T)=f(x),都不能说 T 是函数 f(x)的周期.

三角函数的定义域与值域

典题导入 [例 1] (1)(2013·湛江调研)函数 y=lg(sin x)+ (2)函数 y=sin x+sin x-1 的值域为(
2

1 cos x- 的定义域为________. 2

)

3

A.[-1,1]

? 5 ? B.?- ,-1? ? 4 ?
5? ? D.?-1, ? 4? ?

? 5 ? C.?- ,1? ? 4 ?

?sin x>0, ? [自主解答] (1)要使函数有意义必须有? 1 ?cos x-2≥0, ? ?sin x>0, ? 即? 1 ?cos x≥2, ? ?2kπ <x<π +2kπ , ? 解得? π π ?- +2kπ ≤x≤ 3 +2kπ ? 3
π ∴2kπ <x≤ +2kπ ,k∈Z, 3 ∴函数的定义域为
? ? ? π ?x?2kπ <x≤ 3 ? ? ?
2

(k∈Z),

+2kπ ,k∈Z?.
? ?
2

? ?

(2)y=sin x+sin x-1,令 sin x=t,则有 y=t +t-1,t∈[- 1 1,1],画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当 t=- 及 t=1 2

? 5 ? 2 时,函数取最值,代入 y=t +t-1 可得 y∈?- ,1?. ? 4 ?
? ? ? π [答案] (1)?x?2kπ <x≤ 3 ? ? ?

+2kπ ,k∈Z? (2)C
? ?

? ?

? π? 若本例(2)中 x∈?0, ?,试求其值域. 2? ?
解:令 t=sin x,则 t∈[0,1].

? 1?2 5 2 ∴y=t +t-1=?t+ ? - . ? 2? 4
∴y∈[-1,1]. ∴函数的值域为[-1,1].

由题悟法 1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图

4

象来求解. 2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法: (1)利用 sin x、cos x 的值域; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式逐步分析 ω x+φ 的范围,根 据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2)); (3)换元法: sin x 或 cos x 看作一个整体, 把 可化为求函数在给定区间上的值域(最值) 问题(如例 1(2)). 以题试法 1.(1)函数 y= 1 2+log x+ tan x的定义域为________. 2

π? ? ? π? (2)(2012·山西考前适应性训练)函数 f(x)=3sin?2x- ?在区间?0, ?上的值域为 6? 2? ? ? ( )

? 3 3? A.?- , ? ? 2 2?

? 3 ? B.?- ,3? ? 2 ? ? 3 3 ? D.?- ,3? ? 2 ?

? 3 3 3 3? C.?- , ? 2 ? ? 2

解析:(1)要使函数有意义

? ?x>0, 则? tan x≥0, ?x≠kπ +π ,k∈Z ? 2
1 2+log x≥0, 2 利用数轴可得 函数的定义域是
? ? ? π ?x?0<x< 2 ? ? ? ? ? ? ?

?0<x≤4, ? ?? π ?kπ ≤x<kπ + 2 ? k∈Z? . ?

,或π ≤x≤4?.

π? ? 1 ? π ? π 5π ? ? π? ? (2)当 x∈?0, ?时,2x- ∈?- , ?,sin?2x- ?∈?- ,1?, 2? 6 ? 6? ? 2 ? 6 ? 6 ? ? π? ? 3 ? ? ? 3 ? 故 3sin?2x- ?∈?- ,3?即此时函数 f(x)的值域是?- ,3?. 6? ? 2 ? ? ? 2 ?
? ? ? π 答案:(1)?x?0<x< 2 ? ? ?

,或π ≤x≤4? (2)B
? ?

? ?

5

三角函数的单调性

典题导入 [例 2] (2012·华南师大附中模拟)已知函数 y=sin? (1)函数的周期; (2)求函数在[-π ,0]上的单调递减区间. π? ?π ? ? [自主解答] 由 y=sin? -2x?可化为 y=-sin?2x- ?. 3? ?3 ? ? 2π 2π (1)周期 T= = =π . ω 2 π π π (2)令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 所以 x∈R 时,y=sin?

?π -2x?,求: ? ?3 ?

?π -2x?的减区间为 ? ?3 ?

?kπ -π ,kπ +5π ?,k∈Z. ? ? 12 12 ? ? ?π ? 从而 x∈[-π ,0]时,y=sin? -2x?的减区间为 3 ? ? ?-π ,-7π ?,?-π ,0?. ? 12 ? ? 12 ? ? ? ? ?
由题悟法 求三角函数的单调区间时应注意以下几点: (1)形如 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的函数的单调区间,基本思路是把 ω x+φ 看 作是一个整体,由- π π π +2kπ ≤ω x +φ ≤ +2kπ (k ∈Z)求得函数的增区间,由 + 2 2 2

3π 2kπ ≤ω x+φ ≤ +2kπ (k∈Z)求得函数的减区间. 2 (2)形如 y=Asin(-ω x+φ )(A>0,ω >0)的函数,可先利用诱导公式把 x 的系数变为 π π 正数,得到 y=-Asin(ω x-φ ),由- +2kπ ≤ω x-φ ≤ +2kπ (k∈Z)得到函数的减 2 2 π 3π 区间,由 +2kπ ≤ω x-φ ≤ +2kπ (k∈Z)得到函数的增区间. 2 2 (3)对于 y=Acos(ω x+φ ),=Atan(ω x+φ )等, y 函数的单调区间求法与 y=Asin(ω x +φ )类似.

6

以题试法 2.(1)函数 y=|tan x|的增区间为________.

?π ? ?π ? ?π ? (2)已知函数 f(x)=sin x+ 3cos x,设 a=f? ?,b=f? ?,c=f? ?,则 a,b,c 7? 6? ? ? ?3?
的大小关系是( A.a<b<c C.b<a<c ) B.c<a<b D.b<c<a

解 析 : (1) 作 出 y = |tan x| 的 图 象 , 观 察 图 象 可 知 , y = |tan x| 的 增 区 间 是

?kπ ,kπ +π ?,k∈Z. ? 2? ? ? ? π? ? π? (2)f(x)=sin x+ 3cos x=2sin?x+ ?,因为函数 f(x)在?0, ?上单调递增,所以 3? 6? ? ?
f? ?<f? ?,而 c=f? ?=2sin 7 6 3
所以 c<a<b. π? ? 答案:(1)?kπ ,kπ + ?,k∈Z 2? ? (2)B

?π ? ?π ? ? ? ? ?

?π ? ? ?

2π π ?π ? =2sin =f(0)<f? ?, 3 3 ?7?

三角函数的周期性与奇偶性

典题导入 3π ? ? [例 3] (2012·广州调研)已知函数 f(x)=sin?2x+ ?(x∈R),给出下面四个命题: 2 ? ? ①函数 f(x)的最小正周期为 π ;②函数 f(x)是偶函数; π ? π? ③函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称;④函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数.其中 2? 4 ? 正确命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

3π ? ? [自主解答] 函数 f(x)=sin?2x+ ?=-cos 2x,则其最小正周期为 π ,故①正确; 2 ? ? 易知函数 f(x)是偶函数,②正确;由 f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数 f(x)的图象不关于 π ? π? 直线 x= 对称, ③错误; f(x)的图象易知函数 f(x)在?0, ?上是增函数, 由 故④正确. 综 2? 4 ? 上可知,选 C.

7

[答案] C 由题悟法 1.三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要对函数的解析式进行恒等变换, 再根据定义、 诱导公式去判断所求三角函数的奇 偶性;也可以根据图象做判断. 2.求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义; (2)利用公式: y = Asin(ω x +φ )和 y = Acos(ω x +φ )的最小正周期为 tan(ω x+φ )的最小正周期为 (3)利用图象. 3.三角函数的对称性 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对 称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. 以题试法 π ; |ω | 2π ,y= |ω |

?π π ? 3.(1)(2013·青岛模拟)下列函数中,周期为 π , 且在? , ?上为减函数的是( ?4 2?
π? ? A.y=sin?2x+ ? 2? ? π? ? B.y=cos?2x+ ? 2? ?

)

? π? C.y=sin?x+ ? 2? ?
象的一个对称中心为( )

? π? D.y=cos?x+ ? 2? ?

(2)(2012·遵义模拟)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图

? π ? A.?- ,0? ? 8 ? ? 1 ? C.?- ,0? ? 8 ?

B.(0,0)

?1 ? D.? ,0? ?8 ?

π? ? ?π π ? 解析: (1)选 A 对于选项 A, 注意到 y=sin?2x+ ?=cos 2x 的周期为 π , ? , ? 且在 2? ? ?4 2? 上是减函数. π? 2π ? (2)选 C 由条件得 f(x)= 2sin?ax+ ?,又函数的最小正周期为 1,故 =1,∴a 4? a ? π? 1 ? =2π ,故 f(x)= 2sin?2π x+ ?.将 x=- 代入得函数值为 0. 4? 8 ?

8

1.函数 y=

1 cos x- 的定义域为( 2

)

? π π? A.?- , ? ? 3 3?
π π? ? B.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 3 3? ? π π? ? C.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 3 3? ? D.R 1 1 π π 解析:选 C ∵cosx- ≥0,得 cos x≥ ,∴2kπ - ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 2 2 3 3

? π? 2.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误的是( 2? ?
A.函数 f(x)的最小正周期为 2π

)

? π? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ?
C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数

? π? ? π? 解析:选 D ∵y=sin?x- ?=-cos x,∴T=2π ,在?0, ?上是增函数,图象关于 2? 2? ? ?
y 轴对称,为偶函数.
π? ? 3.已知函数 f(x)=sin?2ω x- ?(ω >0)的最小正周期为 π ,则函数 f(x)的图象的 3? ? 一条对称轴方程是( π A.x= 12 5π C.x= 12 ) π B.x= 6 π D.x= 3

π? 2π ? 解析:选 C 由 T=π = 得 ω =1,所以 f(x)=sin?2x- ?,则 f(x)的对称轴为 2x 3? 2ω ? π π 5π kπ 5π - = +kπ (k∈Z),解得 x= + (k∈Z),所以 x= 为 f(x)的一条对称轴. 3 2 12 2 12 4. (2012·山东高考)函数 y=2sin? A.2- 3

?π x-π ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( 3? ? 6 ?

)

B.0

9

C.-1

D.-1- 3

π π x π 7π 3 ?π x π ? 解析:选 A 当 0≤x≤9 时,- ≤ - ≤ ,- ≤sin ? - ?≤1,所以函 3? 3 6 3 6 2 ? 6 数的最大值为 2,最小值为- 3,其和为 2- 3.

?π ? 5.已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ )(|φ |<π ),若 f? ?=-2,则 f(x)的一个单调递 ?8?
减区间是( ) B.? D.?

? π 3π ? A.?- , ? 8 ? ? 8 ? 3π π ? C.?- , ? 8? ? 8
解析:选 C

?π ,9π ? ? 8 ? ?8 ?π ,5π ? ? 8 ? ?8

?π ? ?π ? ? π ? ?π ? 由 f? ?=-2,得 f? ?=-2sin?2× +φ ?=-2sin? +φ ?=-2, 8? 8? 8 ? ? ? ? ?4 ?

π π π π ?π ? 所以 sin? +φ ?=1.因为|φ |<π ,所以 φ = .由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 4 2 4 2 ?4 ? 3π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8

? π π? 6.已知函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间?- , ?上的最小值是-2,则 ω 的最小 ? 3 4?
值等于( A. 2 3 ) B. 3 2

C.2

D.3

π ? ? π π? ? π ? π π? 解析:选 B ∵x∈?- , ?,则 ω x∈?- ω , ω ?,要使函数 f(x)在?- , ? 4 ? ? 3 4? ? 3 ? 3 4? π π π 3π 3 3 上取得最小值-2,则- ω ≤- 或 ω ≥ ,得 ω ≥ ,故 ω 的最小值为 . 3 2 4 2 2 2 7.函数 y=cos?

?π -2x?的单调减区间为________. ? ?4 ?

π? ?π ? ? 解析:由 y=cos? -2x?=cos?2x- ?得 4? ?4 ? ? π 2kπ ≤2x- ≤2kπ +π (k∈Z), 4 π 5π 故 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 8 8 π 5π ? ? 所以函数的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 8 8 ? ? π 5π ? ? 答案:?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 8 8 ? ?
10

8. 已知函数 f(x)=5sin (ω x+2)满足条件 f(x+3)+f(x)=0, 则正数 ω =________. 2π 解析:f(x+3)+f(x)=0? f(x+6)=f(x),故 f(x)以 6 为最小正周期,故 =6.又 |ω | π ω >0,∴ω = . 3 π 答案: 3 9.如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点? ________. π ? ? 解析:∵y=cos x 的对称中心为?kπ + ,0?(k∈Z), 2 ? ? 4π π 13π ∴由 2× +φ =kπ + (k∈Z),得 φ =kπ - (k∈Z). 3 2 6 π ∴当 k=2 时,|φ |min= . 6 π 答案: 6 10.设 f(x)= 1-2sin x. (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值. 解:(1)由 1-2sin x≥0,根据正弦函数图象知:定义域为
? ? ? 5 ?x?2kπ + 6 ? ? ? ? ? 13π π ≤x≤2kπ + ,k∈Z?. 6 ? ?

?4π ,0?中心对称,那么|φ |的最小值为 ? ? 3 ?

(2)∵-1≤sin x≤1,∴-1≤1-2sin x≤3, ∵1-2sin x≥0,∴0≤1-2sin x≤3, 3π ∴f(x)的值域为[0, 3],当 x=2kπ + ,k∈Z 时,f(x)取得最大值. 2 11.已知函数 f(x)=2sin(π -x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 6 2?
解:(1)∵f(x)=2sin(π -x)cos x=2sin xcos x=sin 2x, ∴函数 f(x)的最小正周期为 π . π π (2)∵- ≤x≤ , 6 2

11

π 3 ∴- ≤2x≤π ,则- ≤sin 2x≤1. 3 2 3 ? π π? 所以 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 1,最小值为- . 2 ? 6 2? ? sin x-cos x? sin 2x 12.(2012·北京高考)已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解:(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ (k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ ,k∈Z}. ? sin x-cos x? sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π? ? = 2sin?2x- ?-1, 4? ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

π π? ? (2)函数 y=sin x 的单调递增区间为?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 2 2? ? π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,x≠kπ (k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,x≠kπ (k∈Z). 8 8 π 3π ? ? ? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ ?和?kπ ,kπ + ?(k∈Z). 8 8 ? ? ? ?

π 5π 1. (2012·新课标全国卷)已知 ω >0,0<φ <π ,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)= 4 4 sin(ω x+φ )图象的两条相邻的对称轴,则 φ =( A. C. π 4 π 2 B. D. π 3 3π 4 )

解析: A 选

π 5π 由于直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图象的两条相邻的对 4 4

π π 称轴,所以函数 f(x)的最小正周期 T=2π ,所以 ω =1,所以 +φ =kπ + (k∈Z), 4 2
12

π 又 0<φ <π ,所以 φ = . 4 π 2π ? ? 2.函数 y=f(cos x)的定义域为?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z),则函数 y=f(x)的定 6 3 ? ? 义域为________. π 2π 解析:由 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z), 6 3 1 得- ≤cos x≤1. 2

? 1 ? 故所求函数的定义域为?- ,1?. ? 2 ? ? 1 ? 答案:?- ,1? ? 2 ?
π? ? ? π? 3. (2012·汕头模拟)已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b,当 x∈?0, ? 6? 2? ? ? 时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间. π π 7 ? π? 解:(1)∵x∈?0, ?,∴ ≤2x+ ≤ π , 2? 6 6 6 ? π? 1 ? ∴- ≤sin?2x+ ?≤1, 6? 2 ? 又∵a>0,-5≤f(x)≤1,
?-2a+2a+b=-5, ? ∴? ? ?a+2a+b=1,

即?

?a=2, ? ? ?b=-5.

π? ? (2)f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ? π π π 由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ 得 2 6 2 - 由 π π +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 3 6 π π 3π +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ 得 2 6 2

π 2 +kπ ≤x≤ π +kπ ,k∈Z, 6 3 ∴f(x)的单调递增区间为?

?π +kπ ,2π +kπ ?(k∈Z), ? 3 ?6 ?

13

π ? π ? 单调递减区间为?- +kπ , +kπ ?(k∈Z). 6 ? 3 ?

? π? 1.(2012·湖南高考)函数 f(x)=sin x-cos?x+ ?的值域为( 6? ?
A.[-2,2] C.[-1,1] 因为 f(x)=sin x - B.[- 3, 3 ] D.?-

)

? ?

3 3? , ? 2 2?

解析:选 B

3 1 1 ? 3 ? cos x + sin x = 3 ? sin x- cos x? = 3 2 2 2 ? 2 ?

? π? sin?x- ?,所以函数 f(x)的值域为[- 3, 3 ]. 6? ?
2.(2012·温州模拟)已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)为偶函数(0<φ <π ),其图象 与直线 y=2 某两个交点的横坐标分别为 x1,x2,若|x2-x1|的最小值为 π ,则该函数的一个 递增区间可以是( π? ? π A.?- ,- ? 4? ? 2 )

? π π? B.?- , ? ? 4 4?
D.?

? π? C.?0, ? 2? ?

?π ,3π ? 4 ? ?4 ?

π π 解析:选 A 由函数为偶函数知 φ = +kπ (k∈Z),又因为 0<φ <π 所以 φ = ,从 2 2 而 y=2cos ω x.又由条件知函数的最小正周期为 π ,故 ω =2,因此 y=2cos 2x.经验证知 A 满足条件. π? ? 3.设函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?,给出以下四个论断: 2? ? ①它的最小正周期为 π ; π ②它的图象关于直线 x= 成轴对称图形; 12

?π ? ③它的图象关于点? ,0?成中心对称图形; ?3 ? ? π ? ④在区间?- ,0?上是增函数. ? 6 ?
以 其 中 两 个 论 断 作 为 条件 , 另 两 个 论 断 作 为 结论 , 写 出 你 认 为 正 确 的一 个 命 题 ________(用序号表示即可). 答案:①②? ③④(或①③? ②④) 2π ? ? 4.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?0<φ < ?的最小正周期为 π . 3 ? ?
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(1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; 3? ?π (2)若 f(x)的图象过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. ?6 2 ? 2π 解:∵由 f(x)的最小正周期为 π ,则 T= =π ,∴ω =2. ω ∴f(x)=sin(2x+φ ). (1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x). ∴sin(2x+φ )=sin(-2x+φ ),展开整理得 sin 2xcos φ =0, 由已知上式对? x∈R 都成立, 2π π ∴cos φ =0,∵0<φ < ,∴φ = . 3 2 3 3 3? ?π ? π ? ?π ? (2)f(x)的图象过点? , ?时,sin?2× +φ ?= ,即 sin? +φ ?= . 6 ? ? 2 ?3 ? 2 6 2? ? 2π π π 又∵0<φ < ,∴ < +φ <π . 3 3 3 ∴ π 2π π +φ = ,φ = . 3 3 3

π? ? ∴f(x)=sin?2x+ ?. 3? ? π π π 令 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 5π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 5π π? ? ∴f(x)的递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 12 12? ?

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