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18版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修1_1

第二章 圆锥曲线与方程 学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用,会用定义求标准方程.2.掌握椭 圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质,会利用 几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法. 知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质 椭圆 平面内与两个定点 定义 双曲线 平面内到两定点 F1,F2 的距 离之差的绝对值等于常数 (大于零且小于|F1F2|)的点 的集合 抛物线 平面内与一个定点 F1,F2 的距离之和等 于常数(大于|F1F2|) 的点的集合 F 和一条定直线 l(l 不过点 F)距离相等 的点的集合 标准方程 x2 y2 y2 x2 2+ 2=1 或 2+ 2= a b a b 1(a>b>0) y2=2px 或 y2=- x2 y2 y2 x2 - =1 或 2- 2=1(a>0, 2 2 a2 b2 a b 2px 或 x =2py 或 x b>0) a2+b2=c2 无限延展,但有渐近线 y= 无限延展,没有渐 近线 =-2py(p>0) 关系式 a2-b2=c2 封闭图形 图形 b a ± x 或 y=± x a b |x|≥a 或|y|≥a 变量范围 |x|≤a,|y|≤b 或 |y|≤a,|x|≤b x≥0 或 x≤0 或 y≥0 或 y≤0 无对称中心 一条对称轴 对称性 顶点 离心率 决定形状的因素 四个 对称中心为原点 两条对称轴 两个 一个 c e= ,且 0<e<1 a e 决定扁平程度 c e= ,且 e>1 a e 决定开口大小 e=1 2p 决定开口大小 知识点二 椭圆的焦点三角形 x2 y2 设 P 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任意一点(不在 x 轴上), F1, F2 为焦点且∠F1PF2=α , 则△PF1F2 a b 为焦点三角形(如图). (1)焦点三角形的面积 S=b tan 2 α . 2 1 (2)焦点三角形的周长 L=2a+2c. 知识点三 双曲线及渐近线的设法技巧 1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时,最简单实用的办法是:把标准方程中的 1 换成 0, 即可得到两条渐近线的方程.如双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 2- 2=0(a>0, x2 y2 a b x2 y2 a b y2 x2 y2 x2 b>0),即 y=______________;双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 2- 2=0(a>0, a b a b b>0),即 y=__________. 2.如果双曲线的渐近线为 ± =0 时,它的双曲线方程可设为__________________. 知识点四 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. (2)定式——根据“形”设方程的形式, 注意曲线系方程的应用, 如当椭圆的焦点不确定在哪 个坐标轴上时,可设方程为 mx +ny =1(m>0,n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 知识点五 三法求解离心率 1. 定义法: 由椭圆(双曲线)的标准方程可知, 不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上, 都有关系式 a -b =c (a +b =c )以及 e= , 已知其中的任意两个参数, 可以求其他的参数, 这是基本且常用的方法. 2.方程法:建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重 要的思路及方法. 3.几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆 (双曲线) 的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更 形象、直观. 知识点六 直线与圆锥曲线位置关系 1.直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况:一是相切;二是直线与双曲线 的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行. 2.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形 成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结 合,以形辅数的方法;还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及“点差法”等. 2 2 2 2 2 2 2 2 x y a b c a 类型一 圆锥曲线定义的应用 2 例 1 若 F1,F2 是双曲线 - =1 的两个焦点,P 是双曲线上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试 9 16 求△F1PF2 的面积. x2 y2 引申探究 将本例的条件|PF1|·|PF2|=32 改为|PF1|∶|PF2|=1∶3,求△F1PF2 的面积. 反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三 角形的知识来解决. 跟踪训练 1 已知椭圆 +y =1(m>1)和双曲线 -y =1(n>0)有相同的焦点 F1,F2,P 是它们 的一个交点,则△F1PF2 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 类型二 圆锥曲线的性质及其应用 ) B.直角三角形 D.随 m,n 变化而变化 x2 m 2 x2 n 2 x2 y2 x2 y2 例 2 (1)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,C1 与 C2 a b a b 的离心率之积为 A.x± 2y=0 C.x±2y=0 2 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 ) B. 2x±y=0 D.2x±y=0 (2)已知抛物线 y =4x 的准线与双曲线 2-y =1 交于 A,B 两点,点 F 为抛物线的焦点,若 △FAB 为直角三角形,则该双曲线的离心率是________. 反思


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