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高考必考三角函数题型及解题方法


三角函数
三角函数的图像和性质: 函 图 数

y ? sin x
y

y ? tan x
y ? cos x
y

y
3?



o

? 2

?

3? 2

2?

x

o

? 2

?2

2?

x

o

? 2

?

3? 2

x

定义域 值 域

R

R

? ? ? ? x | x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?
R 奇函数 无界函数

[?1,1]
奇函数

[?1,1]
偶函数

奇偶性 有界性 最小正 周 期

sin x ? 1
2?
? ?? ? 增区间 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ? (k ? Z ) ? 3? ? ? 减区间 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2 ? ? (k ? Z )

cos x ? 1
2?

?

单 调 区 间

增区间? 2k? ? ? , 2k? ? (k ? Z ) 减区间? 2k? , 2k? ? ? ? (k ? Z )
x ? k? (k ? Z )

? ?? ? 增区间? k? ? , k? ? ? 2 2? ? (k ? Z )
无对称轴

对称轴 对 中 称 心

x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

? k? ,0?? k ? Z ?
x ? 2 k? ?

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? 2 ? ?

? k? ? , 0??k ? Z ? ? ? 2 ?

?
2

? k ? Z ?时, ? k ? Z ?时,

x ? 2k? ? k ? Z ? 时, x ? ? 2k ? 1? ? ? k ? Z ? 时, ymin ? ?1 ymax ? 1;
无最值

最值

ymax ? 1; x ? 2 k? ? ymin ? ?1

?
2

1

三个三角函数值在每个象限的符号:

sinα 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 0° 0

cosα

tanα·

90° 1

180° 0

270° -1

15°

75°

sin ?

1 2

2 2
2 2
1

3 2
1 2

6? 2 4
6? 2 4
2- 3

6? 2 4
6? 2 4
2+ 3

cos?

3 2 3 3

1

0

-1

0

tan ?

3
3 3

0

0

cot ?

3

1

0

0

2+ 3

2- 3

1.诱导公式

sin -?
? -?
? +?

cos

tan
?
2 ??

sin
?

cos

tan

- sin ?

+ cos? - tan? - tan? + tan?

+ cos? + sin ? + cot ? + cos? - sin ? - cos? - cos? - sin ? - ctg ? + ctg ?

+ sin ? - cos? - sin ? - sin ? - cos?

2? -?

+ cos? - tan?

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2

+ sin ? - ctg ?

2.和差角公式
2

① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ③ tan(? ? ? ) ?
tan? ? tan? 1 ? tan? ? tan?

② cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

3.二倍角公式及万能公式 ① sin 2? ? 2 sin ? cos ? ?
2 2

2tan ? 1 ? tan 2?
2 2

1 ? tan 2? ② cos2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ? 1 ? tan 2?

③ tan 2? ?

2tan ? 1 ? tan 2?

④ sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

⑤ cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

4.三倍角公式: ① sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? ② cos3? ? ?3 cos? ? 4 cos3 ? 5.辅助角公式:
a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
sin ? ?

b .如: a

?? ?? ? ? 3 cos ? ? 2sin ? ? ? ? , 3 sin ? ? cos ? ? 2sin ? ? ? ? , 3? 6? ? ?

π sin ? ? cos ? ? 2 (sin ? ? ) 4

6.正弦定理:
a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C c a b ,sin B ? ,sin C ? 变 式 : ?i ? a? b? c? ; ? ii ? sin A ? ; s i n A? s i n B? s i n C 2R 2R 2R ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;

7.余弦定理:
2 2 2 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状. 2bc

8.面积公式:
S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径). 2 2 2

常用技巧
3

①巧变角 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 ? 1 ? 3 1、已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 22 5 4 4 4

?

??

?

2、 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ? ,且 cos( ? ?

?

1 ? 2 ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 2 9 2 3

490 729

②三角函数名互化(切割化弦) 1、求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 ) 1

2、已知

sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值 1 ? cos 2? 3

1 8

③公式变形使用 (韦达定理) ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ?
若α +β =45°(1+tanα ) (1+tanβ )=2 1、A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____ ?

2 2

2、 ?ABC , tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ?

3 , ____三角形等边 4

3、已知 tan??,tan??是方程 6x2-5x+1=0 的两个根,且 0<??< 求??+??的值

π 3 ,π ? ? ? π , 2 2

4

4、在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log2 sinC =_____ ?

1 2

④三角函数次数的降升 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 降幂公式: cos ? ? , sin ? ? 与 2 2 2 2 升幂公式: 1 ? cos 2? ? 2cos ? , 1 ? cos 2? ? 2sin ?
1、若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 2

? 1 1 1 1 ? ? cos 2? 为_____/// sin 2 2 2 2 2

2、 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ?

[ k? ?

?
12

,k? ?

5? ]( k ? Z ) 12

5 3( x ? R ) 递增区间__ 2

⑤式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如
1、求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin

2 ?

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2;

2

2

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
2、化简:

2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4

?

?

1 2

1 cos 2 x 2

⑥常值变换主要指“1”的变换

(齐次式)

5

1 ? sin 2 x ? cos2 x ? sec2 x ? tan 2 x ? tan x ? cot x ? tan ? ? sin ? ? 4 2 3 2 2 已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? 5

⑦正余弦的内存联系 “知一求二”

(sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ? sin 2?
1、若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ?

?

t2 ?1 2

2、已知

? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值 4 2 1 ? tan ?

1? k

⑧辅助角公式中辅助角的确定:

? 角的 a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a, b 的符号确定,
b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a 1、若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. ///[-2,2]
值由 tan ? ?

2、当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______/// ?

3 2

3、如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? = ///-2

一、化作同名三角函数
6

1. sin ? cos ? ?

sin 2? 2

2 sin ??

1? c o s 2? 2

cos 2 ? ?
b .如: a

1 ? cos 2? 2

2. a sin ? ? b cos ? ?
sin ? ?

a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

?? ?? ? ? 3 cos ? ? 2sin ? ? ? ? , 3 sin ? ? cos ? ? 2sin ? ? ? ? , 3? 6? ? ?

π sin ? ? cos ? ? 2 (sin ? ? ) 4
3. 与向量挂钩 a=(x1,y1) b=(x2,y2) a?b=x1x2+y1y2

练习
1.设向量 α =( 3 sin 2x,sin x+cos x),β =(1,sin x-cos x),其中 x∈R,函数 f (x) =α ? β .求 f (x);

2.已知函数 f ( x) ? cos

2

x x x 1 ? sin cos ? 。求函数 f ( x) 2 2 2 2

3. 设函数 f ?x ? ? 2 cos x?sin x ? cos x ? ? 1

求函数 f ( x )

4 已知向量 a ? (cos?x ? sin ?x, sin ?x) , b ? (? cos?x ? sin ?x, 2 3 cos?x) , 求函数 f ( x )

5.设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b) 求函数 f ( x )

二、图像性质与平移
7

1. y ? A sin(? x ? ? ) A:振幅; T=

2 π :周期 w

? x ? ? :相位; ? :初相;

2.函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系: ①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位 得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; ② 函 数 y ?sin ? x ?? ? 图 象 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的

1

?

,得到函数

y ?sin ??x ? ? ? 的图象;
③ 函 数 y ? si n?? x ? ? ? 图 象 的 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 , 得 到 函 数

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;
④函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) ,得 到 y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的图象。 3. 要特别注意:对于 x 平移来说,左加右减; 对于 y 平移来说,上加下减 4. 在 y ? A sin(? x ? ? ) 中,令 wx+φ=X,则可由 sinX 的性质求出 y 的单调区间、对称轴、 对称中心 5. 由 x 的定义域求出 wx+φ 的求值范围,再利用单位圆求出 sin(wx+φ) ,在求出 y 的值域 6. 周期的判断 ①最近的两个波峰(波谷)的距离为一个周期 ②相邻的一个波峰和一个波谷的距离为半个周期 ③相邻的两条对称轴的距离为半个周期 ④相邻的两个对称中心的距离为半个周期 ⑤一个连续的递增(递减)区间的距离为半个周期

练习
8

1.已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

)

(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间; (6)若 x ? [0,

3? ] ,求 f ( x) 的取值范围; 4

(7)求函数 f ( x ) 的对称轴与对称中心; (8)若 f ( x ? ? ) 为奇函数, ? ? [0, 2? ) ,求 ? ;若 f ( x ? ? ) 为偶函数, ? ? [0, 2? ) ,求

?。

2.设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? 周期是 ? ,则 (C)

?
2

?? ?

?
2

) 的图象关于直线 x ?

2? 对称,它的 3

A、 f ( x)的图象过点 (0, ) C、 f ( x)的图象的一个对称中心 是( 5? ,0)
12

1 2

B、 f ( x ) 在区间 [

5? 2? , ] 上是减函数 12 3

D、 f ( x ) 的最大值是 A

3.对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? 给出下列结论: 3?

①图象关于原点成中心对称; ②图象关于直线 x ?

?
12

成轴对称;

③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 ④图像向左平移

? 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。 12
(②④) ;

? 个单位得到; 3

其中正确结论是_____

9

4.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的距离为

那么此函数的周期是____ ? 5 把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左 平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是( )

? , 3

6.函数 y ? 2sin(2 x ?

?
4

) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象?

7.(1) 将函数 y ?

1 ? 1 sin(2 x ? ) 的图象向______平移_______个单位得到函数 y ? sin 2 x 2 4 2
1 ? ? ? cos(2x ? )的图象 , 可以把函数 y ? sin(x ? ) cos( x ? )的图象向 2 4 6 6

的图象(只要求写出一个值) (2) 要得到 y ?

______平移_______个单位(只要求写出一个值). 8.如图,函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) , x ? R , (其中 0 ? ? ?

?
2

1) 。 )的图象与 y 轴交于点 (0,

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 P 是图象上的最高点, M,N 是图象与 x 轴的交点,求 PM 与 PN 的夹角。

10

? x ? ? )? 9. 设 x ? R , 函数 f ( x) ? cos (
2

? 1 ? ,且 f ( ) ? . (1)求 ? 和 ? 的值;
8 4

1 ? (? ? 0, o ? ? ? ) , 已知 f ( x) 的最小正周期为 2 2
(2)求的单调增区间.

10. f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 ,| ? |? 则 f ( x ) =_____(答: f ( x) ? 2sin(

?
2

) 的图象如图所示,

2 3

Y 2? 9 X

15 ? x? )) ; 2 3

-2 23题 图

9.已知函数 f ?x ? ? A sin ??x ? ? ?? x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)求函数 g ?x ? ? f ? x ?

? ?

??

? 的部分图像如图 5 所示。 2?

? ?

?? ? ? ? f ? x ? ? 的单调递增区间。 12 ? 12 ? ?

??

11

10.函数 f ( x) ? A sin(? x ? 之间的距离为

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴

? , 2 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; ? ? (Ⅱ)设 ? ? (0, ) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

11.已知向量 m ? ?sin x,1? ,n ? ? 3 A cos x, 为 6.(Ⅰ)求 A;

? ?

A ? cos 2 x ?? A ? 0? ,函数 f ?x? ? m ? n 的最大值 2 ?

? 个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来 12 1 ? 5? ? 的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ?x ? 的图象。求 g ?x ? 在 ?0, 上的值域。 2 ? 24 ? ?
(Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图象像左平移

12

三、正弦定理与余弦定理解三角形 1.A+B+C=π (1)当涉及 A、B、C 三个都包含的关系式时可与此方程联立求某角的值

A ? C ? 2B

可知 B=60°
ta n ( ? AB ) ? -ta n C

(2) sin (A ? B ) ? sin C cos(A ? B ) ? -cosC

2.正弦值与余弦值的推导 (1)cosA 的值可直接推出 sinA 的值 (在一、二象限 sinA 都是正的) (2)sinA 的值不可直接推出 cosA 的值 3.关于 cosA=m 的应用 (1)求 sinA 的值 (2)利用余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 求其他量
2 2 2

(除非告知 A 是锐角或者 sin

A A 可知 cos ) 2 2

2bc

4.正弦定理 (1)直接利用正弦定理求值 (2)边与角的比值互换 xsinA+ysinB=zsinC 变换为 xa+yb=zc xsin2A+ysin2B=zsin2C 变换为 xa2+yb2=zc2(与余弦定理挂钩) 5.有关 bc (1)S=

1 bcsinA 2

(面积)

b2 ? c2 - a 2 (2)cosA= 2bc
(3)若告知 bc 的值,那么可以根据正弦定理求 6.若直接告知一个角的大小 (1)判断是否为特殊角或者可以拆分为特殊角
13

b ,进而求出 b、c 的值 c

(2)与 90°作比较,判断其他角的范围 7.cosA 、 b+c(b-c) 、 a、 bc 的知三求一 cosA=

(b ? c) 2 - 2bc - a 2 (b ? c) 2 ? 2bc - a 2 = 2bc 2bc

8.求 A 的大小 (1)一般情况下利用 cosA 求 (2)若告知(或判断)为锐角三角形,则一般用 sinA 求 9. 范围问题(不等式或者化成同名三角函数) (1)已知 C 的大小,求 sin A ? sin B 的范围(或者 a+c) (2)已知 C 和 c 的大小,求 a+c 的范围 1.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a ? 2 , cos B ? (Ⅰ)若 b ? 3 ,求 sin A 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S?ABC ? 3 ,求 b , c 的值 21

4 . 5

2.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 C ?

3 5 ? , sin A ? . 4 5

(Ⅰ)求 cos A , sin B 的值; (Ⅱ)若 ab ? 2 2 ,求 a , b 的值.

3.在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 满足 sin (Ⅰ)求 bc 的值; (Ⅱ)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

A 5 B C 的面积为 2 . ? , 且 ?A 2 5

14

4. 在 ?ABC 中, A , B , C 是三角形的三个内角, a ,b ,c 是三个内角对应的三边,已知

b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc .
2 2 2 (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 2sin A ,且 a ? 1 ,求 ?ABC 的面积.

5. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 c ? 2b cos A. (I)求证:A=B; (II)若△ABC 的面积 S ?

15 4 , cos C ? , 求c 的值. 2 5

6.在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, cos A ? ( I ) 求 cos C 的值; (Ⅱ)若 ac=24,求 a,c 的值.

3 ,C ? 2A . 4

7.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边。 a ? c ? 2b ,且 a ? 2c 。 (I)求 cos A 的值; (II)若 S?ABC ?

3 15 ,求 b 的值。 4

15

8 在 ?ABC 中, A ? C ? 2 B , s inA ? (I)求边 b 的长;

2 ,边 a 的长为 2 . 2

(II)求 ?ABC 的面积.

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

10.在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅱ) 若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

(Ⅰ)确定角 C 的大小:

3 3 2

,求 a+b 的值。

11.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.

16

12. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 为锐角,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且

sin A ?

2 1 ,sin B ? 。 2 2

(I)求 sin( A ? B) 的值。 (II)求 a ? 2 ,求 a 、 b 、 c 的值。

13. 已 知 ?A B C 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , ? A 是 锐 角 , 且

3b ? 2a ? sin B .
(Ⅰ)求 ? A 的度数;
2 2 (Ⅱ)若 a ? 7 , ?ABC 的面积为 10 3 ,求 b ? c 的值.

14.设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ?
o

4 ,b ? 2. 5

(Ⅰ)当 A ? 30 时,求 a 的值; (Ⅱ)当 ?ABC 的面积为 3 时,求 a ? c 的值.

17

15. 在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (Ⅰ)求 sin C ; (Ⅱ)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a .

3 . 4

16.在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 tan B ? (Ⅰ)求 tan A ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

1 1 ,tan C ? , 且c ?1. 2 3

C 所对应的边分别为 a , b, s n i 17. 在 ?ABC 中, 角 A ,B , 且4 c,
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值.

2

A? B c o s 2 ? 2

C?

7 . 2

18. 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 c ? 2a , C ? (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)求 cos(2 A ? ) 的值.

? . 4

? 3

18

19.设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 sin ? A ? (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值.

? ?

??

? ? cos A . 6?

四、判断三角形形状 1.要熟练掌握正弦定理与余弦定理,找准边与角的互换关系 2.sinA=sinB → A=B→ sin2A=sin2B → A=B 或者 A+B=90° sin(A-B)=0 → A=B cos(A-B)=1 → A=B sin(A+B)=1 →A+B=90° cos(A+B)=0 →A+B=90 3 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos ?(? ? ) ? c o ? sco? s ?s i n ?s i n ?

练习题 1、已知在△ABC 中, b ? c ? cos A ,试判断△ABC 的性状。

? b ? c ? cos A ? 2b 2 ? 2bc ? cos A ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 ? b2 ? c 2
∴Δ ABC 为直角三角形 2、已知在△ABC 中,角 A、B 均为锐角,且 cos A>sin B ,试判断△ABC 的形状。

? cos A>sin B ? cos A> cos( ? B ) 2 ? A<

?

?

2

?B

? A ? B< ? C>

?
2

?
2

19

∴Δ ABC 为钝角三角形 3、已知在△ABC 中, b ? a ? sin C ,且 c ? a ? sin(

?
2

? B ) ,试判断△ABC 的形状。

? c ? a ? sin( ? B) ? a ? cos B 2 2 ? 2c ? 2ac ? cos B ? a 2 ? c 2 ? b 2 ?b2 ? c2 ? a 2
∴Δ ABC 为直角三角形,且 sin C ?

?

c a

? b ? a ? sin C ?b ? c
∴Δ ABC 为等腰直角三角形 4、已知在△ABC 中, 2 sin A ? cos B ? sin C ,试判断△ABC 的性状。

? 2sinA? cosB ? sin C ? 2a ? cos B ? c ? 2ac ? cos B ? c 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ?a ? b
∴Δ ABC 为等腰三角形 5、已知在△ABC 中, sin A ? 2 sin B ? cos C ,且 sin A ? sin B ? sin C ,试判断△ABC
2 2 2

的性状。

? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? a 2 ? b2 ? c 2
? sinA ? 2sinB? cosC ? a ? 2b ? cosC ? a 2 ? 2ab ? cosC ? a 2 ? b 2 ? c 2 ?b ? c
∴Δ ABC 为等腰直角三角形 6、已知在△ABC 中, (a ? b ? c)(b? c - a) ? 3bc ,且 sinA ? 2sinB ? cosC ,试判断△ABC 的性状。

? sinA ? 2sinB? cosC ? a ? 2b ? cosC ? a 2 ? 2ab ? cosC ? a 2 ? b 2 ? c 2 ?b ? c
? (a ? b ? c)(b ? c - a) ? 3bc ? (2b ? a)(2b- a) ? 3b2 ?a ? b
20

∴Δ ABC 为等边三角形 7、已知在△ABC 中, ?B ? 60? ,且 b ? ac ,试判断△ABC 的性状。
2

? ?B ? 60? ? cos B ? 1 a 2 ? c2 ? b2 ? 2 2ac

? ac ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac ? ( a ? c) 2 ? 0 ?a ? c
∴Δ ABC 为等边三角形 8、已知在△ABC 中, ?B ? 60? ,且 2b ? a ? c ,试判断△ABC 的性状。

? ?B ? 60? 1 a2 ? c2 ? b2 ? 2 2ac (a ? c) 2 ? ac ? a 2 ? c 2 ? 4 2 2 ? 4ac ? 4a ? 4c ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ? ? (a ? c) 2 ? 0 ?a ? c
∴Δ ABC 为等边三角形 9、已知在△ABC 中,

sin A cos B cos C ? ? ,试判断△ABC 的性状。 a b c

?

sin A cos B cosC ? ? a b c ? sin B ? cos B, sin C ? cosC ?B ? C ?

?
4

∴Δ ABC 为等腰直角三角形 10、已知在△ABC 中,(a ? b ) ? sin( A ? B) ? (a ? b ) ? sin( A ? B) ,试判断△ABC 的性
2 2 2 2

状。

? (a 2 ? b 2 ) ? sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) ? sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) ? sin C ? (a 2 ? b 2 ) ? (sin A ? cos B ? sin B ? cos A) ? (a 2 ? b 2 ) ? 2c 2 ? (a 2 ? b 2 ) ? (2ac ? cos B ? 2bc ? cos A)

? (a 2 ? b 2 ) ? 2c 2 ? (a 2 ? b 2 ) ? (a 2 ? c 2 ? b 2 ) ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? (a 2 ? b 2 ) ? c 2 ? (a 2 ? b 2 ) ? (a 2 ? b 2 )
? a 2 ? b2 ? 0 或 a 2 ? b2 ? c2

?

?

21

∴Δ ABC 为等腰三角形或直角三角形 11、在△ABC 中, (a ? b ? c)(sin A ? sin B ? sin C ) ? 3a ? sin B ,且 b ? cos A ? a ? cos B , 试判断△ABC 的性状。

? b ? cos A ? a ? cos B ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? 0 ? sin( A ? B) ? 0 ?A? B ? a ?b

? (a ? b ? c)(sin A ? sin B ? sin C ) ? 3a ? sin B ? (2a ? c)(2a ? c) ? 3a 2 ? 4a 2 ? c 2 ? 3a 2 ?a ? c
∴Δ ABC 为等边三角形 12、已知在△ABC 中, a tan B ? b tan A ,试判断△ABC 的性状。
2 2

? a 2 tan B ? b 2 tan A a 2b b2a ? cos B cos A a cos B sin A ? ? ? b cos A sin B ? 2 sin A cos A ? 2 sin B cos B ? ? sin 2 A ? sin 2 B
? A ? B ? a ? b 或 2 A ? 2B ? ? ? A ? B ?
∴Δ ABC 为等腰三角形或直角三角形 13、已知在△ABC 中,

?
2
,试判断△ABC 的性状。

a cos A 2

?

b cos B 2

?

c cos C 2

?

b ? A B cos cos 2 2 sin A sin B ? ? A B cos cos 2 2 A A B B 2 sin ? cos 2 sin ? cos 2 2 ? 2 2 ? A B cos cos 2 2 A B ? sin ? sin 2 2 ?A? B
22

a

同理:A=B=C ∴Δ ABC 为等边三角形 14、已知在△ABC 中, cos
2

A b?c ? ,试判断△ABC 的性状。 2 2c

? cos2

A b?c ? 2 2c cos A ? 1 b ? c ? ? 2 2c

b b2 ? c2 ? a2 ? c 2bc 2 2 2 ?a ? b ? c ? cos A ?
∴Δ ABC 为直角三角形 15、已知在△ABC 中, 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C ,且 sin B ? sin C ? 1 , 试 判断△ABC 的性状。

? 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C ? 2a 2 ? 2b 2 ? bc ? 2c 2 ? bc ? ?bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c2 ? a 2 1 ? cos A ? ?? 2bc 2 2? ?A? 3 ? sin B ? sin C ? 1
? sin B ? sin( ? B) ? 1 3 3 1 ? sin B ? cos B ? sin B ? 1 2 2 3 1 ? cos B ? sin B ? 1 2 2 ? sin( ? B) ? 1 3 ?

?

?

?
3

?B?

?
2

?B ? C ?

?
6
sin A ? sin B ,试判断△ABC 的形状。 cos A ? cos B

∴Δ ABC 为等腰三角形 16、已知在△ABC 中, sin C ?

23

? sin C ?

sin A ? sin B cos A ? cos B A? B A? B 2 sin ? cos 2 2 ? sin( A ? B) ? A? B A? B 2 cos ? cos 2 2 A? B A? B 2 sin ? cos A? B A? B 2 2 ? 2 sin ? cos ? A ? B A ?B 2 2 2 cos ? cos 2 2

A? B 2 ) ?1 ? 0 2 ? cos(A ? B ) ? 0 ? 2(cos ?A? B ?

?
2
A? B a ?b ? ,试判断△ABC 的形状。 2 a?b

∴Δ ABC 为直角三角形 17、已知在△ABC 中, tan

? tan

A ? B sin A ? sin B ? 2 sin A ? sin B A? B A? B A? B sin 2 cos ? sin 2 ? 2 2 ? A? B A? B A? B cos 2 sin ? cos 2 2 2 A? B A? B ? sin ? cos ?0 2 2 2 A? B 2 A? B ? sin ? cos ?0 2 2 2 2 A? B ? A? B ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? 0 2 4 2 4 A? B ? ? sin( ? )?0 2 4 A? B ? ? ? ?0 2 4 ?A? B ?

?

2

∴Δ ABC 为直角三角形

24

五、高考真题
一、选择题 1 . (2013 年高考大纲卷(文) )已知 a 是第二象限角, sin a ?

A. ?

12 13

B. ?

5 13

C.

5 13

5 , 则cosa ? 13 12 D. 13





2 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x 在 [ ?? , ? ] 的图像大致为

3 . (2013 年高考四川卷(文) )函数 f ( x) ? 2sin( ? x ? ?)( ? ? 0, ?

?

如图所示,则 ? , ? 的值分别是

? ? ? ) 的部分图象 2 2

?

25

( A. 2, ?



?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

? 3
3 b,
( )

4 . (2013 年高考湖南 (文) ) 在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2sinB=

则角 A 等于______ A.

?
3

B.

?
4

C.

?
6

D.

?
12

5 . ( 2013 年高考福建卷(文) ) 将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?

?
2

?? ?

?

2

) 的图象向右平移

? (? ? 0) 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 g ( x) 的 图 象 , 若 f ( x), g ( x) 的 图 象 都 经 过 点
P(0,
A.

3 ) ,则 ? 的值可以是 2
B.





5? 3

5? 6

C.

?
2

D.

?
6

6 . ( 2013 年高考陕西卷(文) ) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若

b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为

( D.不确定



A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

7

. ( 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 ) ) 在 ?ABC , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 为

s? c s iB n a, b ,c .a s i nB c o C
A.

? 6

B.

? 3

1 c? A os 2

b a ?, b 且 ,则 ? B ?
C.

( D.



2? 3

5? 6
( )

8 . (2013 年高考课标Ⅱ卷 (文) ) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=错误!

未找到引用源。,C=错误!未找到引用源。,则△ABC 的面积为 A.2 错误!未找到引用源。+2 B.错误!未找到引用源。+1

C.2 错误!未找到

9 . (2013 年高考江西卷(文) ) 若 sin

?
2

?

3 ,则 cos ? ? 3
C.错误!未找到引用源。





A. ?

2 3

B. ?

1 3

D.错误!未找到

26

10. (2013 年高考山东卷(文) ) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,

若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? A. 2 3 B.2 C. 2 D.1
2





11. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知 sin2α =错误!未找到引用源。,则 cos (α +错误!未

找到引用源。)= A.错误!未找到引用源。
12. (2013 年高考广东卷(文) )已知 sin(

B.错误!未找到引用源。

( ) C.错误!未找到 ( )

A. ?

2 5

B. ?

1 5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5 1 2 C. D. 5 5

13. (2013 年高考湖北卷(文) )将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个

单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

( D.



π 12

B.

π 6

C.

π 3

5π 6
( )

14. (2013 年高考大纲卷(文) )若函数 y ? sin

??x ? ? ??? ? 0?的部分图像如图,则?=
C. 3 D. 2

A. 5

B. 4

?? ? ? ?? 15. (2013 年高考天津卷(文) )函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是 4? ? ? 2?
A. ?1 B. ?
2 2





C.

2 2

D.0

16 . ( 2013 年 高 考 安 徽 ( 文 ) )设

?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 边 的 长 分 别 为 a, b, c , 若
( C. )

b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,则角 C =
A.

?
3

B.

2? 3

3? 4

D.

5? 6

17 . ( 2013 年 高 考 课 标 Ⅰ 卷 ( 文 ) )已知锐角

?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为
( )

a, b, c , 23cos 2 A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ?

27

A. 10

B. 9

C. 8

D. 5

18. (2013 年高考浙江卷(文) )函数 f(x)=sin xcos x+

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别 2
( ) D.2π ,2

是 A.π ,1

B.π ,2

C.2π ,1

19. (2013 年高考北京卷(文) )在△ABC 中, a ? 3, b ? 5 , sin A ?

1 ,则 sin B ? 3
D.1





A.

1 5

B.

5 9

C.

5 3

20. (2013 年高考山东卷(文) )函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为

二、填空题 21. (2013 年高考四川卷(文) )设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?
2

, ? ) , 则 tan 2? 的值是________.

22. (2013 年高考课标Ⅱ卷 (文) ) 函数 y ? cos(2 x ? ?)( ?? ? ? ? ? ) 的图像向右平移

未找到引用源。个单位后,与函数 y ? sin(2 x ?

?
3

? 错误! 2

) 的图像重合,则 | ? |? ___________.

B、 C 所对的边分别是 a , b , c . 23. (2013 年上海高考数学试题 (文科) ) 已知 ?ABC 的内角 A 、
若 a ? ab ? b ? c ? 0 ,则角 C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).
2 2 2

24 .( 2013 年 上 海 高 考 数 学 试 题 ( 文 科 )) 若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 ,则 3

cos ? 2x ? 2 y ? ? ________.
25. (2013 年高考课标 Ⅰ卷(文) )设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则

cos ? ? ______.
26. (2013 年高考江西卷(文) )设 f(x)=错误!未找到引用源。sin3x+cos3x,若对任意实数

x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是_____.
三、解答题 27 .( 2013 年 高 考 大 纲 卷 ( 文 )) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为

a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .

28

(I)求 B (II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

28. (2013 年高考湖南(文) )已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。

2? ) 错误!未找到引用源。的值; 3 1 (2) 求使错误!未找到引用源。 f ( x) ? 成立的 x 的取值集合 4
(1) 求 f (

29. (2013 年高考天津卷(文) )在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知

b sin A ? 3c sin B , a = 3, cos B ?

2 . 3

(Ⅰ) 求 b 的值;

?? ? (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?

30. (2013 年高考广东卷(文) )已知函数

? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?

29

(2) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

31. ( 2013 年高考山东卷(文) )设函数 f ( x) ?

3 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) , 2

且 y ? f ( x) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值 (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? ,

?
4

,

3? ] 上的最大值和最小值 2

32. (2013 年高考浙江卷(文) )在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

.
33. ( 2013 年高考陕西卷(文) ) 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数

1 2

f ( x) ? a· b.

30

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ? 0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

34. (2013 年高考重庆卷(文) )(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 9 分)

在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? 3ab .
2 2 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积 , 求 S ? 3cos B cos C 的最大值 , 并指出此时 B 的 值.

35. (2013 年高考四川卷(文) )在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? c) ? ? . 5 (Ⅰ)求 sin A 的值;
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

31

36 . ( 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 文 ) ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知

sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若 C= 用源。的值.

2? 错误!未找到引用源。,求错误!未找到引 3

37 . ( 2013 年高考湖北卷(文) ) 在△ ABC 中 , 角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c . 已知

cos 2A ? 3cos( B ? C )? 1.

(Ⅰ)求角 A 的大小;

(Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

.
38. (2013 年高考安徽(文) )设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
3

).

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值,并求使 f ( x) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说 明函数 y ? f ( x ) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.

32

f x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ? 39. (2013年高考北京卷(文) )已知函数 (
2

1 cos 4 x . 2

f x) (I)求 ( 的最小正周期及最大值;
(II)若 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 ( f ?) ?

2 ,求 ? 的值. 2

40. (2013 年上海高考数学试题(文科) )本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满

分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 . (1)令 ? ? 1 ,判断函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?
2

) 的奇偶性并说明理由;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再往上平移 1 个单位,得到函 6

数 y ? g ( x) 的图像.对任意的 a ? R ,求 y ? g ( x) 在区间 [a, a ? 10? ] 上零点个数的所
33

有可能值.

41. (2013 年高考辽宁卷(文) )设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值;

(II)设函数 f ? x ? ? a b, 求f ? x ?的最大值.

34



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