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高考必考三角函数题型及解题方法

三角函数的图像和性质:

三角函数

函数 图


y ? sin x

y

3?

o

2

? ? 2?

x

2

y ? cos x
y
3?
?2 o ? 2? x
2

y ? tan x y

o?
2

? 3? x
2

定义域

R

R

? ?

x

?

|

x

?

k?

?

? 2

,

k

?

Z

? ? ?

值域 奇偶性

[?1,1]
奇函数

[?1,1]
偶函数

R 奇函数

有界性 最小正 周期

sin x ?1 2?

cos x ?1 2?

无界函数
?



增区间

???2k?

?

? 2

,

2k?

?

? 2

? ??

增区间?2k? ?? , 2k? ?

调 区 间

(k ? Z)

减区间 ???2k?

?

? 2

,

2k?

?

3? 2

? ??

(k ? Z)
减区间?2k? , 2k? ? ? ?

增区间 ???

k?

?

? 2

,

k?

?

? 2

? ??

(k ? Z)

(k ? Z)

(k ? Z)

对称轴 对称 中心
最值

x ? k? ? ? (k ? Z ) 2
?k?,0??k ?Z ?

x ? k? (k ? Z)

? ??

k?

?

? 2

,

0

? ??

?

k

?

Z

?

x ? 2k? ? ? ?k ? Z ?时,
2 ymax ? 1;
x ? 2k? ? ? ?k ? Z ?时,
2 ymin ? ?1

x ? 2k? ?k ? Z ?时,
ymax ? 1;
x ? ?2k ?1?? ?k ? Z ?时,
ymin ? ?1

无对称轴

? ??

k? 2

,

0

? ??

?

k

?

Z

?

无最值

1

三个三角函数值在每个象限的符号:

sinα

cosα

tanα·

特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15°

sin? 1 2

2

30 1

0

-1

6? 2

2

2

4

75°
6? 2 4

cos? 3 2

2

1

1

0

22

-1 0

6? 2 4

6? 2 4

tan? 3 1

30

0

3

2- 3

2+ 3

cot ?
31

3

0

3

0

2+ 3

2- 3

1.诱导公式

sin cos tan

-? ? -? ? +? 2? -?

- sin? + cos? - tan? + sin? - cos? - tan? - sin? - cos? + tan? - sin? + cos? - tan?

? ?? 2 ? ?? 2 3? ? ? 2 3? ? ? 2

sin cos tan + cos? + sin? + cot? + cos? - sin? - ctg? - cos? - sin? + ctg? - cos? + sin? - ctg?

2.和差角公式
2

① sin(? ? ? ) ? sin? cos? ? cos? sin ? ② cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin? sin ?

③ tan(? ? ? ) ? tan? ? tan?
1 ? tan? ? tan?

3.二倍角公式及万能公式

① sin 2? ? 2sin? cos? ? 2tan?
1 ? tan 2?

② cos 2?

?

cos2 ?

? sin 2 ?

?

2 cos2 ?

?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

?

1 ? tan 2? 1 ? tan 2?

③ tan2?

?

2tan? 1 ? tan 2?

4.三倍角公式:

④ sin 2 ? ? 1 ? cos2?
2

⑤ cos2 ? ? 1 ? cos2?
2

① sin 3? ? 3sin? ? 4sin3 ?

② cos3? ? ?3cos? ? 4cos3 ?

5.辅助角公式:

a sin? ? b cos? ? a2 ? b2 sin ?? ?? ? ,其中 tan? ? b .如:
a

sin? ?

3

cos?

?

2 sin

????

?

? 3

? ??

,

3 sin?

? cos?

?

2 sin ????

?? 6

? ??

,

sin? ? cos? ? 2(sin? ?π ) 4
6.正弦定理:

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

?

2R (R

为三角形外接圆的半径).

变 式 : ?i? a? b? c?s i n A? s i n B? s i n;C ?ii?sin A ? a ,sin B ? b ,sin C ? c ;

2R

2R

2R

?iii?a ? 2Rsin A,b ? 2Rsin B,b ? 2RsinC ;

7.余弦定理:
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, cos A ? b2 ? c2 ? a2 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状. 2bc
8.面积公式:

S

?

1 2

aha

?

1 2

ab sin C

?

1 2

r(a

?

b

?

c)

(其中 r

为三角形内切圆半径).

常用技巧
3

①巧变角

如? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

? ? ? ? 2?

? (?

??) ? (?

??) ,?

?

?

?

2??

? 2

?

,?

? 2

?

?

??? 2

?

? ?? 2

1、已知 tan(? ? ? ) ? 2 , tan(? ? ? ) ? 1 ,那么 tan(? ? ? ) 的值是_____ 3

5

44

4

22

2、0 ? ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos(? ? ? ) ? ? 1 , sin( ? ? ? ) ? 2 ,求 cos( ? ? ?) 490

2

29

2

3

729

②三角函数名互化(切割化弦) 1、求值 sin 50 (1? 3 tan10 ) 1

2、已知 sin? cos? ? 1, tan(? ? ? ) ? ? 2 ,求 tan(? ? 2?) 的值

1

1? cos 2?

3

8

③公式变形使用 (韦达定理)
( tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 tan? tan ? ?
若α +β =45°(1+tanα )(1+tanβ )=2
1、A、B 为锐角,且满足 tan Atan B ? tan A? tan B ?1,则 cos(A ? B) =_____ ? 2 2

2、 ?ABC , tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin A cos A ? 3 , ____三角形等边 4

3、已知 tan??,tan??是方程 6x2-5x+1=0 的两个根,且 0<??< π , π ? ? ? 3 π ,

2

2

求??+??的值

4

4、在 ?ABC 中,

(1?

tan

A

)(1?

tan

B

)

?

2

,则

log2

sin

C

=_____

?

1 2

④三角函数次数的降升

降幂公式: cos2 ? ? 1? cos 2? , sin2 ? ? 1? cos 2? 与

2

2

升幂公式:1? cos 2? ? 2cos2 ? ,1? cos 2? ? 2sin2 ?

1、若? ?( ? , 3 ? ) ,化简 1 ? 1 1 ? 1 cos 2? 为_____/// sin ?

2

2 22 2

2

2、 f ( x ) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos2 x ? 5 2

[ k? ? ? ,k? ? 5? ]( k ? Z )

12

12

3( x ? R ) 递增区间__

⑤式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如

1、求证: 1? sin? 1? 2sin2 ?

1? tan ?

?

1

?

tan

2 ?



2

2

2 cos4 x ? 2 cos2 x ? 1

2、化简:

2

2 tan(? ? x)sin2 (? ? x)

4

4

1 cos 2x 2

⑥常值变换主要指“1”的变换 (齐次式)
5

1 ? sin2

x ? cos2

x

? sec2

x ? tan2

x

?

tan

x ?cot

x

?

tan

? 4

?

sin

? 2

?

已知 tan? ? 2 ,求 sin2 ? ? sin? cos? ? 3cos2 ? 3 5

⑦正余弦的内存联系 “知一求二”

(sin ? ? cos? )2 ? 1 ? 2sin? cos? ? 1 ? sin 2?

1、若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ?

? t2 ?1 2

2、已知 sin 2? ? 2sin2 ? ? k (? ? ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin? ? cos? 的值 1? k

1? tan?

4

2

⑧辅助角公式中辅助角的确定:
asin x ? bcos x ? a2 ? b2 sin ? x ? ? ? (其中? 角所在的象限由 a, b 的符号确定,? 角的
值由 tan? ? b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a
1、若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. ///[-2,2]
2、当函数 y ? 2cos x ? 3sin x 取得最大值时, tan x 的值是______/// ? 3 2
3、如果 f ? x? ? sin ? x ??? ? 2cos(x ??) 是奇函数,则 tan? = ///-2

一、化作同名三角函数
6

1. sin? cos? ? sin 2? 2

s i n2 ? ? 1 ? c o s2? 2

cos2 ? ? 1 ? cos2? 2

2. a sin? ? b cos? ? a2 ? b2 sin ?? ?? ? ,其中 tan? ? b .如:
a

sin? ?

3 cos?

?

2 sin ????

?

? 3

? ??

,

3 sin?

? cos?

?

2 sin ????

?

? 6

? ??

,

sin? ? cos? ? 2(sin? ?π ) 4
3. 与向量挂钩 a=(x1,y1) b=(x2,y2)
练习

a?b=x1x2+y1y2

1.设向量 α =( 3 sin 2x,sin x+cos x),β =(1,sin x-cos x),其中 x∈R,函数 f (x)

=α ? β .求 f (x);

2.已知函数 f (x) ? cos2 x ? sin x cos x ? 1 。求函数 f (x) 2 2 22
3. 设函数 f ?x? ? 2cos x?sin x ? cos x? ?1 求函数 f (x)

4 已知向量 a ? (cos?x ? sin?x,sin?x) , b ? (?cos?x ? sin?x,2 3 cos?x) ,
求函数 f (x)
5.设向量 a ? (sin x, cos x),b ? (cos x, cos x), x ? R ,函数 f (x) ? a ?(a ? b) 求函数 f (x)

二、图像性质与平移
7

1. y ? Asin(?x ??)

A:振幅; T= 2π :周期 w

?x ?? :相位;? :初相;

2.函数 y ? Asin(?x ??) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:

①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左(? >0)或向右(? <0)平移| ? | 个单位

得 y ? sin? x ??? 的图象; ② 函 数 y ? s i n? x ??? 图 象 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的 1 , 得 到 函 数
?
y ? s i n??x ??? 的图象;

③ 函 数 y ? s i n??x ??? 图 象 的 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 , 得 到 函 数

y ? Asin(?x ??) 的图象;

④函数 y ? Asin(?x ?? ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ),得

到 y ? Asin ??x ??? ? k 的图象。
3. 要特别注意:对于 x 平移来说,左加右减; 对于 y 平移来说,上加下减
4. 在 y ? Asin(?x ??) 中,令 wx+φ=X,则可由 sinX 的性质求出 y 的单调区间、对称轴、
对称中心 5. 由 x 的定义域求出 wx+φ 的求值范围,再利用单位圆求出 sin(wx+φ),在求出 y 的值域 6. 周期的判断
①最近的两个波峰(波谷)的距离为一个周期 ②相邻的一个波峰和一个波谷的距离为半个周期 ③相邻的两条对称轴的距离为半个周期 ④相邻的两个对称中心的距离为半个周期 ⑤一个连续的递增(递减)区间的距离为半个周期

练习
8

1.已知函数 f (x) ? 2sin(2x ? ? ) 4
(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期;
(4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间;
(6)若 x ?[0, 3? ] ,求 f (x) 的取值范围; 4
(7)求函数 f (x) 的对称轴与对称中心;
(8)若 f (x ? ?) 为奇函数,? ?[0, 2? ) ,求? ;若 f (x ? ?) 为偶函数,? ?[0, 2? ) ,求
?。

2.设函数 f (x) ? Asin(?x ? ?)(A ? 0,? ? 0,? ? ? ? ? ? ) 的图象关于直线 x ? 2? 对称,它的

2

2

3

周期是? ,则 (C)

A、 f (x)的图象过点(0, 1) 2

B、 f (x) 在区间[5? , 2? ] 上是减函数 12 3

C、 f (x)的图象的一个对称中心是(5? ,0) 12

D、 f (x) 的最大值是 A

3.对于函数

f

?

x?

?

2 sin

? ??

2x

?

? 3

? ??

给出下列结论:

①图象关于原点成中心对称;

②图象关于直线 x ? ? 成轴对称; 12

③图象可由函数 y ? 2sin 2x 的图像向左平移 ? 个单位得到; 3

④图像向左平移 ? 个单位,即得到函数 y ? 2 cos 2x 的图像。 12

其中正确结论是_____

(②④);

9

4.已知函数 f (x) ? 2sin(?x ??) 图象与直线 y ? 1的交点中,距离最近两点间的距离为 ? , 3

那么此函数的周期是____

?

5 把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左

平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是( )

6.函数 y ? 2sin(2x ? ? ) ?1的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象? 4

7.(1)将函数 y ? 1 sin(2x ? ? ) 的图象向______平移_______个单位得到函数 y ? 1 sin 2x

2

4

2

的图象(只要求写出一个值)

(2) 要得到 y ? 1 cos(2x ? ? )的图象,可以把函数 y ? sin(x ? ? ) cos(x ? ? )的图象向

2

4

6

6

______平移_______个单位(只要求写出一个值).

8.如图,函数 y ? 2sin(?x ? ?) , x ? R ,(其中 0 ? ? ? ? )的图象与 y 轴交于点 (0,1) 。 2
(Ⅰ)求? 的值;(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M,N 是图象与 x 轴的交点,求 PM 与 PN
的夹角。

10

9. 设 x ? R ,函数 f (x) ? cos2 (? x ?? )? 1 (? ? 0,o ? ? ? ? ) ,已知 f (x) 的最小正周期为

2

2

? ,且 f (? ) ? 1 . (1)求? 和? 的值; (2)求的单调增区间. 84

10. f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0 ,| ? |? ? ) 的图象如图所示, 2

Y 2 3

2?

则 f (x) =_____(答: f (x) ? 2sin(15 x ? ? ) );

9 X

23

-2

23题图

9.已知函数 f ?x? ? Asin??x ? ? ??? x ? R,? ? 0,0 ? ? ? ? ?? 的部分图像如图 5 所示。

?

2?

(Ⅰ)求函数 f ?x? 的解析式;

(Ⅱ)求函数 g?x? ? f ?? x ? ? ?? ? f ?? x ? ? ?? 的单调递增区间。
? 12 ? ? 12 ?

11

10.函数 f (x) ? Asin(?x ? ? ) ?1( A ? 0,? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴 6

之间的距离为 ? , 2
(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;

(Ⅱ)设? ? (0, ? ) ,则 f (? ) ? 2 ,求? 的值。

2

2

11.已知向量 m ? ?sin x,1?,n ? ?? 3Acos x, A cos 2x ???A ? 0?,函数 f ?x? ? m ? n 的最大值

?

2

?

为 6.(Ⅰ)求 A;

(Ⅱ)将函数 y ? f ?x?的图象像左平移 ? 个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来
12



1 2

倍,纵坐标不变,得到函数

y

?

g ?x ? 的图象。求

g?x? 在 ???0,

5? 24

? ??

上的值域。

12

三、正弦定理与余弦定理解三角形

1.A+B+C=π
(1)当涉及 A、B、C 三个都包含的关系式时可与此方程联立求某角的值
A? C ? 2B 可知 B=60° (2) sin (A ? B ) ? sin C cos(A ? B ) ? -cosC ta n ( A? B ) ? -ta n C

2.正弦值与余弦值的推导 (1)cosA 的值可直接推出 sinA 的值 (在一、二象限 sinA 都是正的)

(2)sinA 的值不可直接推出 cosA 的值
3.关于 cosA=m 的应用 (1)求 sinA 的值

(除非告知 A 是锐角或者 sin A 可知 cos A )

2

2

(2)利用余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, cos A ? b2 ? c2 ? a2 求其他量 2bc
4.正弦定理 (1)直接利用正弦定理求值 (2)边与角的比值互换 xsinA+ysinB=zsinC 变换为 xa+yb=zc
xsin2A+ysin2B=zsin2C 变换为 xa2+yb2=zc2(与余弦定理挂钩) 5.有关 bc

(1)S= 1 bcsinA (面积) 2

(2)cosA= b 2 ? c2 - a 2 2bc

(3)若告知 bc 的值,那么可以根据正弦定理求 b ,进而求出 b、c 的值 c
6.若直接告知一个角的大小 (1)判断是否为特殊角或者可以拆分为特殊角 (2)与 90°作比较,判断其他角的范围

7.cosA 、 b+c(b-c) 、 a、 bc 的知三求一

(b ? c)2 - 2bc - a 2 (b ? c)2 ? 2bc - a 2

cosA=

=

2bc

2bc

8.求 A 的大小 (1)一般情况下利用 cosA 求 (2)若告知(或判断)为锐角三角形,则一般用 sinA 求
9. 范围问题(不等式或者化成同名三角函数)

(1)已知 C 的大小,求 sin A ? sin B 的范围(或者 a+c)
(2)已知 C 和 c 的大小,求 a+c 的范围

13

1.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a ? 2 , cos B ? 4 . 5
(Ⅰ)若 b ? 3 ,求 sin A 的值;
(Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S?ABC ? 3 ,求 b , c 的值 21

2.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 C ? 3 ? , sin A ?

5
.

4

5

(Ⅰ)求 cos A, sin B 的值;(Ⅱ)若 ab ? 2 2 ,求 a , b 的值.

3.在 ?ABC中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,满足 sin A ? 5 ,且 ?ABC 的面积为 2 . 25
(Ⅰ)求 bc 的值; (Ⅱ)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.
4.在 ?ABC 中,A,B,C 是三角形的三个内角, a,b,c 是三个内角对应的三边,已知 b2 ? c2 ? a2 ? bc . (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)若 sin2B ? sin2C ? 2sin2A ,且 a ? 1 ,求 ?ABC的面积.
14

5. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 c ? 2bcos A.

(I)求证:A=B;

(II)若△ABC 的面积 S ? 15 , cos C ? 4 ,求c 的值.

2

5

6.在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, cos A ? 3 ,C ? 2A . 4
( I ) 求 cosC 的值;
(Ⅱ)若 ac=24,求 a,c 的值.

7.在 ?ABC 中, a,b, c 分别为角 A, B,C 所对的边。 a ? c ? 2b ,且 a ? 2c 。

(I)求 cos A的值;

(II)若 S?ABC

?

3

15 4

,求 b

的值。

8 在 ?ABC 中, A? C ? 2B , s inA ? 2 ,边 a 的长为 2 . 2
(I)求边 b 的长; (II)求 ?ABC 的面积.

15

9.在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c, B ? ? , cos A ? 4 ,b ? 3 。

3

5

(Ⅰ)求 sin C 的值;(Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

10.在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A

(Ⅰ)确定角 C 的大小:

(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为 3 3 ,求 a+b 的值。 2

11.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2bsin A. (Ⅰ)求 B 的大小;(Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.

12. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 为锐角,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且

sin A ? 2 ,sin B ? 1 。

2

2

(I)求 sin( A ? B) 的值。(II)求 a ? 2 ,求 a 、 b 、 c 的值。

16

13. 已 知 ?A B C 的 三 个 内 角 A, B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b, c , ?A 是 锐 角 , 且 3b ? 2a ? sin B . (Ⅰ)求 ?A 的度数; (Ⅱ)若 a ? 7 , ?ABC的面积为10 3 ,求 b2 ? c2 的值.
14.设 ?ABC的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ? 4 , b ? 2 . 5
(Ⅰ)当 A ? 30o 时,求 a 的值;(Ⅱ)当 ?ABC的面积为 3 时,求 a ? c 的值.
15. 在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? 3 . 4
(Ⅰ)求 sin C ; (Ⅱ)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a .
17

16.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b, c ,已知 tan B ? 1 ,tan C ? 1 ,且 c ?1.

2

3

(Ⅰ)求 tan A ;

(Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

17. 在 ?ABC 中,角 A ,B ,C 所对应的边分别为 a ,b ,c ,且 4sni 2 A ? Bcos2? 2

(Ⅰ)求角 C 的大小;

(Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值.

C?7. 2

18. 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 c ? 2a , C ? ? . 4
(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)求 cos(2A ? ?) 的值.
3
19.设 ?ABC的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 sin?? A ? ? ?? ? cos A . ? 6?
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值.
18

四、判断三角形形状 1.要熟练掌握正弦定理与余弦定理,找准边与角的互换关系

2.sinA=sinB



sin2A=sin2B →

A=B→ A=B 或者 A+B=90°

sin(A-B)=0

→ A=B

cos(A-B)=1

→ A=B

sin(A+B)=1 →A+B=90°

cos(A+B)=0 →A+B=90

3 sin(? ? ? ) ? sin? cos? ? cos? sin ? c o s?(? ? ) ? c o?s c o ?s ? s i n? s i n?

练习题

1、已知在△ABC 中, b ? c ? cos A,试判断△ABC 的性状。 ?b ? c ?cos A ?2b2 ? 2bc ? cos A ? b2 ? c2 ? a2 ?a2 ? b2 ? c2
∴Δ ABC 为直角三角形
2、已知在△ABC 中,角 A、B 均为锐角,且 cos A>sin B ,试判断△ABC 的形状。 ?cos A>sin B ?cos A>cos(? ? B)
2 ? A<? ? B
2 ? A ? B<?
2 ?C>?
2
∴Δ ABC 为钝角三角形
3、已知在△ABC 中, b ? a ?sin C ,且 c ? a ? sin(? ? B) ,试判断△ABC 的形状。 2
?c ? a ?sin(? ? B) ? a ? cosB 2
?2c2 ? 2ac ? cosB ? a2 ? c2 ? b2 ?b2 ? c2 ? a2
∴Δ ABC 为直角三角形,且 sin C ? c a
?b ? a ?sin C ?b ? c
∴Δ ABC 为等腰直角三角形
4、已知在△ABC 中, 2sin A? cosB ? sin C ,试判断△ABC 的性状。

19

? 2sinA ? cosB? sin C ?2a ?cosB ? c ?2ac ? cosB ? c2 ? a2 ? c2 ? b2 ?a ? b
∴Δ ABC 为等腰三角形
5、已知在△ABC 中,sin A ? 2sin B ? cosC ,且 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,试判断△ABC
的性状。
?sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ?a2 ? b2 ? c2
?sinA ? 2sinB? cosC ?a ? 2b ? cosC ?a2 ? 2ab ? cosC ? a2 ? b2 ? c2 ?b ? c
∴Δ ABC 为等腰直角三角形
6、已知在△ABC 中,(a ? b ? c)(b? c - a) ? 3bc ,且 sinA ? 2sinB ? cosC ,试判断△ABC
的性状。
?sinA ? 2sinB? cosC ?a ? 2b ? cosC ?a2 ? 2ab ? cosC ? a2 ? b2 ? c2 ?b ? c
?(a ? b ? c)(b? c - a) ? 3bc ?(2b ? a)(2b- a) ? 3b2 ?a ? b
∴Δ ABC 为等边三角形
7、已知在△ABC 中, ?B ? 60? ,且 b2 ? ac ,试判断△ABC 的性状。

? ?B ? 60?

1 a2 ? c2 ? b2

?cos B ? ?

2

2ac

?ac ? a2 ? c2 ? b2 ? a2 ? c2 ? ac ?(a ? c)2 ? 0 ?a ? c
∴Δ ABC 为等边三角形
8、已知在△ABC 中, ?B ? 60? ,且 2b ? a ? c ,试判断△ABC 的性状。

20

??B ? 60?

?cosB ? 1 ? a2 ? c2 ? b2

2

2ac

?ac ? a2 ? c2 ? (a ? c)2 4

?4ac ? 4a2 ? 4c2 ? a2 ? c2 ? 2ac

?(a ? c)2 ? 0

?a ? c
∴Δ ABC 为等边三角形

9、已知在△ABC 中, sin A ? cosB ? cosC ,试判断△ABC 的性状。

a

b

c

? sin A ? cos B ? cosC

a

b

c

?sin B ? cos B,sin C ? cosC

?B ?C ? ? 4

∴Δ ABC 为等腰直角三角形

10、已知在△ABC 中,(a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ? (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ,试判断△ABC 的性

状。
?(a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ? (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ?(a2 ? b2 ) ?sin C ? (a2 ? b2 ) ? (sin A? cos B ? sin B ? cos A) ?(a2 ? b2 ) ? 2c2 ? (a2 ? b2 ) ? (2ac ? cos B ? 2bc ? cos A)
? ? ?(a2 ? b2 ) ? 2c2 ? (a2 ? b2 ) ? (a2 ? c2 ? b2 ) ? (b2 ? c2 ? a2 )
?(a2 ? b2) ?c2 ? (a2 ? b2) ?(a2 ? b2)

?a2 ?b2 ? 0 或 a2 ? b2 ? c2
∴Δ ABC 为等腰三角形或直角三角形
11、在△ABC 中,(a ? b ? c)(sin A ? sin B ? sin C) ? 3a ?sin B ,且 b ? cos A ? a ? cos B ,
试判断△ABC 的性状。
?b ? cos A ? a ? cosB ?sin A? cosB ? sin B ? cos A ? 0 ?sin(A ? B) ? 0 ?A? B ? a ?b

21

?(a ? b ? c)(sin A ? sin B ? sin C) ? 3a ? sin B ?(2a ? c)(2a ? c) ? 3a2 ?4a2 ? c2 ? 3a2 ?a ? c
∴Δ ABC 为等边三角形
12、已知在△ABC 中, a2 tan B ? b2 tan A,试判断△ABC 的性状。

? a2 tan B ? b2 tan A

a2b b2a

?

?

cosB cos A

? a ? cosB ? sin A b cos A sin B

?2sin Acos A ? 2sin B cosB

?sin 2A ? sin 2B

?A ? B ? a ? b或 2A? 2B ? ? ? A? B ? ? 2
∴Δ ABC 为等腰三角形或直角三角形

13、已知在△ABC

中,

c

a os

A

?

b cos B

?

c c os C

,试判断△ABC 的性状。

2

2

2

?

a cos

A

?

b cos

B

2

2

?

sin cos

A A

?

sin B cos B

2

2

2sin A ? cos A 2sin B ? cos B

?

2 cos A

2?

22 cos B

2

2

?sin A ? sin B

2

2

?A? B

同理:A=B=C

∴Δ ABC 为等边三角形

14、已知在△ABC 中, cos2 A ? b ? c ,试判断△ABC 的性状。 2 2c

? cos2 A ? b ? c 2 2c

? cos A ?1 ? b ? c

2

2c

22

?cos A ? b ? b2 ? c2 ? a2

c

2bc

?a2 ? b2 ? c2

∴Δ ABC 为直角三角形

15、已知在△ABC 中,2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C ,且 sin B ? sin C ?1,试

判断△ABC 的性状。
? 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C

?2a2 ? 2b2 ? bc ? 2c2 ? bc

??bc ? b2 ? c2 ? a2

?cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? ? 1

2bc

2

? A ? 2? 3

?sin B ? sin C ? 1

?sin B ? sin(? ? B) ? 1 3

?sin B ? 3 cosB ? 1 sin B ? 1

2

2

? 3 cosB ? 1 sin B ? 1

2

2

?sin(? ? B) ? 1 3

?? ? B ? ?

3

2

?B ?C ? ? 6

∴Δ ABC 为等腰三角形

16、已知在△ABC 中, sin C ? sin A ? sin B ,试判断△ABC 的形状。 cos A ? cosB

?sin C ? sin A ? sin B cos A ? cosB

2sin A ? B ? cos A ? B

? s in( A

?

B)

?

2 c os

2 A?

B

? c os

2 A?

B

2

2

? 2 s in

A? 2

B

? c os

A? 2

B

?

2sin A ? B ? cos A ? B

2

2

2cos A ? B ?cos A ? B

2

2

23

?2(cos A ? B )2 ?1 ? 0 2
?cos(A ? B) ? 0

?A?B ? ? 2

∴Δ ABC 为直角三角形
17、已知在△ABC 中, tan A ? B ? a ? b ,试判断△ABC 的形状。 2 a?b

? tan A ? B ? sin A ? sin B 2 sin A ? sin B

sin A ? B 2 cos A ? B ?sin A ? B

? cos

2 A?

B

?

2 s in

2 A? B

? c os

2 A?

B

2

2

2

?sin A ? B ? cos A ? B ? 0

2

2

? 2 sin A ? B ? 2 cos A ? B ? 0

2

22

2

?sin A ? B ? cos? ? cos A ? B ?sin ? ? 0

2

4

2

4

?sin( A ? B ? ? ) ? 0 24

? A?B ?? ?0 24

?A?B ? ? 2

∴Δ ABC 为直角三角形

24

五、高考真题

一、选择题

1 .(2013 年高考大纲卷(文))已知 a 是第二象限角, sin a ? 5 ,则cosa ? 13

A. ? 12 13

B. ? 5 13

C. 5 13

D. 12 13

2 .(2013 年高考课标Ⅰ卷(文))函数 f (x) ? (1? cos x) sin x 在[?? ,? ] 的图像大致为

()

3 .(2013 年高考四川卷(文))函数 f (x) ? 2sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ? ? ? ? ? ) 的部分图象

2

2

如图所示,则?,? 的值分别是

()

A. 2, ? ? 3

B. 2, ? ? 6

C. 4, ? ? 6

D. 4, ? 3

4 .(2013 年高考湖南(文))在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2sinB= 3 b,

则角 A 等于______

()

A. ? 3

B. ? 4

C. ? 6

D. ? 12

5 .(2013 年高考福建卷(文))将函数 f (x) ? sin(2x ?? )(? ? ? ? ? ? ) 的图象向右平移

2

2

25

?(? ? 0) 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 g(x) 的 图 象 , 若 f (x), g(x) 的 图 象 都 经 过 点

P(0, 3 ) ,则? 的值可以是 2

A. 5? 3

B. 5? 6

C. ? 2

D. ? 6

()

6 .(2013 年高考陕西卷(文))设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若

bcosC ? ccos B ? asin A , 则△ABC 的形状为

()

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

7 .( 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 )) 在 ?ABC , 内 角 A, B,C 所 对 的 边 长 分 别 为

a,b ,c .a s i nB c oCs? c s iBn c?Ao1s 且ba ?, b,则 ? B ? 2

()

A. ? 6

B. ? 3

C. 2? 3

D. 5? 6

8 .(2013 年高考课标Ⅱ卷(文))△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=错误!

未找到引用源。,C=错误!未找到引用源。,则△ABC 的面积为

()

A.2 错误!未找到引用源。+2

B.错误!未找到引用源。+1

C.2 错误!未找到

9 .(2013 年高考江西卷(文)) 若 sin ? ? 3 ,则cos? ? 23

A. ? 2 3

B. ? 1 3

C.错误!未找到引用源。

10.(2013 年高考山东卷(文)) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 若 B ? 2A , a ? 1, b ? 3 ,则 c ?

() D.错误!未找到
()

A. 2 3

B.2

C. 2

D.1

11.(2013 年高考课标Ⅱ卷(文))已知 sin2α =错误!未找到引用源。,则 cos2(α +错误!未

找到引用源。)=

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

12.(2013 年高考广东卷(文))已知 sin(5? ? ? ) ? 1 ,那么 cos? ?

2

5

A. ? 2 5

B. ? 1 5

C. 1 5

D. 2 5

() C.错误!未找到
()

13.(2013 年高考湖北卷(文))将函数 y ? 3 cos x ? sin x (x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个

单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

()

26

A. π 12

B. π 6

C. π 3

D. 5π 6

14.(2013 年高考大纲卷(文))若函数 y ? sin ??x ????? ? 0?的部分图像如图,则?= ( )

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

15.(2013

年高考天津卷(文))函数

f

(x)

?

sin

? ??

2x

?

? 4

? ??

在区间

???0,

? 2

? ??

上的最小值是

A. ?1

B. ? 2 2

C. 2 2

D.0

()

16 .( 2013 年 高 考 安 徽 ( 文 )) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 边 的 长 分 别 为 a, b, c , 若

b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,则角 C =

()

A. ? 3

B. 2? 3

C. 3? 4

D. 5? 6

17 .( 2013 年 高 考 课 标 Ⅰ 卷 ( 文 )) 已 知 锐 角 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为

a,b, c , 23cos2 A ? cos 2A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ?

()

A.10

B. 9

C. 8

D. 5

18.(2013 年高考浙江卷(文))函数 f(x)=sin xcos x+ 23cos 2x 的最小正周期和振幅分别



()

A.π ,1

B.π ,2

C.2π ,1

D.2π ,2

19.(2013 年高考北京卷(文))在△ABC 中, a ? 3,b ? 5 , sin A ? 1 ,则 sin B ? 3

()

A. 1 5

B. 5 9

C. 5 3

D.1

20.(2013 年高考山东卷(文))函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为

27

二、填空题

21.(2013

年高考四川卷(文))设 sin 2?

?

?sin?

,?

?

? (

,? ) , 则

tan 2?

的值是________.

2

22.(2013 年高考课标Ⅱ卷(文))函数 y ? cos(2x ??)(?? ? ? ? ?) 的图像向右平移 ? 错误! 2

未找到引用源。个单位后,与函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图像重合,则| ? |? ___________. 3

23.(2013 年上海高考数学试题(文科))已知 ?ABC 的内角 A 、B 、C 所对的边分别是 a , b , c . 若 a2 ? ab ? b2 ? c2 ? 0 ,则角 C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).
24 .( 2013 年 上 海 高 考 数 学 试 题 ( 文 科 )) 若 cos x cos y ? sin x sin y ? 1 , 则 3
cos?2x ? 2y? ? ________.

25.(2013 年高考课标Ⅰ卷(文))设当 x ? ? 时,函数 f (x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则
cos? ? ______.
26.(2013 年高考江西卷(文))设 f(x)=错误!未找到引用源。sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是_____.
三、解答题
27 .( 2013 年 高 考 大 纲 卷 ( 文 )) 设 ?ABC 的 内 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为

a,b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . (I)求 B (II)若 sin Asin C ? 3 ?1 ,求 C .
4

28.(2013 年高考湖南(文))已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。
28

(1) 求 f ( 2? ) 错误!未找到引用源。的值; 3
(2) 求使错误!未找到引用源。 f (x) ? 1 成立的 x 的取值集合 4

29.(2013 年高考天津卷(文))在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知

b sin A ? 3c sin B , a = 3, cos B ? 2 . 3
(Ⅰ) 求 b 的值;

(Ⅱ)



sin

? ??

2B

?

? 3

? ??

的值.

30.(2013 年高考广东卷(文))已知函数 f (x) ?

2

cos

? ??

x

?

? 12

? ??

,

x

?

R

.

(1)



f

?? ?? 3

? ??

的值;

(2)

若 cos?

?

3 5

,?

?

? ??

3? 2

, 2?

? ??

,求

f

????

?? 6

? ??

.

29

31.(2013 年高考山东卷(文))设函数 f (x) ? 3 ? 3 sin2 ? x ? sin ? x cos? x (? ? 0) , 2
且 y ? f (x) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ? , 4
(Ⅰ)求? 的值 (Ⅱ)求 f (x) 在区间[? , 3? ] 上的最大值和最小值
2
32.(2013 年高考浙江卷(文))在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

.

33.(2013 年高考陕西卷(文))已知向量 a ? (cos x, ? 1),b ? ( 3 sin x,cos 2x), x ? R , 设函数 2
f (x) ? a·b . (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期.

(Ⅱ)

求f

(x)



???0,

? 2

? ??

上的最大值和最小值.

30

34.(2013 年高考重庆卷(文))(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 9 分)
在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a2 ? b2 ? c2 ? 3ab . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求 S ? 3cos BcosC 的最大值,并指出此时 B 的
值.
35.(2013 年高考四川卷(文))在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos(A ? B) cos B ? sin( A ? B)sin(A ? c) ? ? 3 . 5 (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
36 .( 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 文 )) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
(1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若 C= 2? 错误!未找到引用源。,求错误!未找到引 3
用源。的值.
31

37.(2013 年高考湖北卷(文))在△ ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a ,b , c . 已知 cos 2A ? 3cos(B ? C )? 1. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin BsinC 的值.
.
38.(2013 年高考安徽(文))设函数 f (x) ? sin x ? sin(x ? ? ) . 3
(Ⅰ)求 f (x) 的最小值,并求使 f (x) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说 明函数 y ? f (x) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.
39.(2013年高考北京卷(文))已知函数 (f x)? (2 cos2 x ?1) sin 2x ? 1 cos 4x . 2
(I)求 (f x)的最小正周期及最大值;
32

(II)若? ? (? ,? ) ,且 (f ?)? 2 ,求? 的值.

2

2

40.(2013 年上海高考数学试题(文科))本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 分 8 分.
已知函数 f (x) ? 2sin(?x) ,其中常数? ? 0 . (1)令? ? 1,判断函数 F(x) ? f (x) ? f (x ? ? ) 的奇偶性并说明理由;
2 (2)令? ? 2 ,将函数 y ? f (x) 的图像向左平移 ? 个单位,再往上平移1个单位,得到函
6 数 y ? g(x) 的图像.对任意的 a ? R ,求 y ? g(x) 在区间[a,a ?10? ]上零点个数的所
有可能值.
33

? ? 41.(2013 年高考辽宁卷(文))设向量 a ?

3 sin x,sin x

,

b

?

?

cos

x,

sinx

?

,

x

?

???0,

? 2

? ??

.

(I)若 a ? b .求x的值; (II)设函数 f ? x? ? a b,求f ? x?的最大值.

34



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