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高中数学函数单调性课件(第一课时)新人教版必修1_图文

函数单调性 一、列表画出下列两个函数的图像 y=x y=x2 , 并观察自变量变化时,函数值有什么变化规律 x f(x)=x f(x)=x2 -2 -2 4 y 4 -1 -1 1 y=x 0 0 0 1 1 1 y 4 2 2 4 y=x 2 2 2 1 1 -2 -1 1 -1 -2 1 2 x -2 -1 1 2 x 二、根据观察结果,完成下列空格 (1)f(x) = x 上升 从左至右图象上升还是下降 ______? (-∞,+∞) 上,随着x的增大, 在区间 ____________ f(x)的值随着 ________ . 增大 (2)f(x) = x2 (-∞,0) 上,f(x)的值随着x的增 在区间 ____________ 减小 大而 ________ . (0, ,+∞) 上,f(x)的值随着x的增 在区间 ____________ 增大 . 大而 ________ 三、根据自己的理解说说什么是增函数, 什么是减函数? 如函数f(x) = x2在(0,+∞)上,y随着x的增大而 增大,这时我们说函数在f(x) = x2区间(0,+∞)上 是增函数。 如函数f(x) = x2在(-∞,0)上,y随着x的减小 而减小,这时我们说函数在f(x) = x2区间 (-∞,0)上是减函数。 四、增函数,减函数严格的数学定义定义 一般地,设函数的f(x)的定义域为I,如果 对 .6 于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说 函数在f(x)在区间D上是增函数 f ( x)在D上有意义, ?x , x ? D,当x ? x 时, 1 2 1 2 有f ( x ) ? f ( x ),则f ( x)为增函数 1 2 一般地,设函数的f(x)的定义域为I,如果于 定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1,x2,当x1>x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说 函数在f(x)在区间D上是减函数 f ( x)在D上有意义, ?x , x ? D,当x ? x 时, 1 2 1 2 有f ( x ) ? f ( x ),则f ( x)为减函数 1 2 f(x) 在区间I内 在区间I内 图 像 图像 特征 数量 特征 从左到右逐渐上升 y随x的增大而增大 当x1<x2时, f(x1) < f(x2) 从左到右逐渐下降 y随x的增大而减小 当x1<x2时, f(x1) > f(x2) 单调性: 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函 数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x) 的单调区间 五、例题讲解 1、如图,是定义在闭区间[-5,5]上的函数 的图象,根据图象说出的单调区间,以及在 每一单调区间上,函数是增函数还是减函数? y 解:函数的单调区间: [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 在区间:[-5,-2),[1,3)上是减函数 在区间:[-2,1),[3,5]上是增函数. -5 -2 O 1 3 5 x 2、 告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V 减少时,压强P将增大。试用函数的单调性 证明之。 k 证明:设 v , v 是定义域( 0 , ? ? )上的任意两个实数, 分析:按题意,只要证明函数P= 在区间(0,+∞)且v ? v , V 1 2 1 2 k 物理学中的玻意耳定律P= V (k为正常数) k k v ?v 上是减函数即可 则 , p (v ) ? p (v ) ? ? ? k v v vv 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 由v , v ? (0, ? ?),得 v v ? 0;由v ? v ,得v ? v ? 0. 1 2 2 1 又k ? 0,于是p (v ) ? p (v ) ? 0,即p (v ) ? p (v ) 1 2 1 2 k 所以,函数 p ? , v ? (0, ? ?)是减函数。 v 也即是说,当体积 v减小时,压强 p将增大 六、判断函数单调性的步骤 ① 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ② 作差f(x1)-f(x2),或作商 f (x ) f (x ) 1 2 ③变形(通常是因式分解和配方); 小关系) ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性) f (x ) ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负或 与1的大 f (x ) 1 2 七、课堂练习 1、口答(课本练习3) 2、证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数 证明:设 ?x , x ? R,且x ? x ,则 1 2 1 2 f ( x ) ? f ( x ) ? ?2 x ? 1 ? (?2 x ? 1) ? ?2( x ? x ) 1 2 1 2 作差 1 2 变形 定号 结论 由x ? x ,得x ? x ? 0 1 2 1 2 1 2 所以f ( x ) ? f ( x ) ? 0,所以f ( x)为减函数 补充练习 判断函数 y ? x ? 在定义域 (1,+∞) 上的单调性. 证明:在区间 ?1, ??? 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 ? x2 1 1 ) ? ( x2 ? ) x1 x2 1 x 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 作差 1 1 ? ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) x1 x2 ( x2 ? x1 ) 变 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 形 x1 ? x2 ? 1 ? ( x1 ? x2 )( ) x1 ? x2 x1, x2 ??1, ??? ,且 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ?1 ? 0 定号 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,?


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