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直线与圆的位置关系讲课实录




直线与圆的位置关系
第一课时课堂实录



一课题引入
师:同学们登过泰山,看过日出吗?如果把地平线看成一条直线,太阳看作一个圆,你能 想象出什么样的几何图形,你能说出直线和圆的位置关系吗?(教师用教具演示太阳升起的过 程)今天,老师和同学们一起走进《 直线与圆的位置关系 》 。 让学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系,有利于学生把实际的问题抽象成数学模型, 也便于学生观察直线和圆公共点个数的变化, 同时让学生感受到实际生活中存在的直线和圆的三 种位置关系. 二明确学习目标 师:仔细阅读本节课的学习目标。 (明确本节课的学习目标,提高课堂学习效率。 ) 三梳理任务项 师:课前老师把学案提前发给大家,相信同学们进行了充分的预习,接下来让我们进一步梳 理未完成的任务项。 (大约 5-6 分钟) 通过几分钟的梳理,学生课前没完成的继续完成,完成的看看哪些问题需要在小组内进行互 助交流。 四、互助交流 师:小组之间逐个任务项进行互助交流。 学生以小组为单位,本着弱者优先的原则,进行兵教兵,对同学不会的问题进行互助交流, 讲解, 小组长不会的向其他的小组寻求帮助。 为小组展示作准备。 教师在教室内走动, 巡视学生, 对有问题的小组第一时间内进行点拨。同时查看学生们的交流的进度。时间大约 10 分钟) 四.分配任务项 师:每个小组派一名代表到讲台上抽取各自的任务项。 每个小组领取一个任务项,给小组 3-4 分钟的时间,对抽到的题目进行精心准备。组长进行 合理的分工,人人有事干,比如有讲解的,有写的,人人都有任务。同时每组选出小组代言人, 大家对他们再进行集中培训,为小组展示作最后的准备。 五.成果展示 师:相信同学们已经做好了精心准备,接下来是是同学们展示你们的风采的时候了,为了 小组的荣誉,同学们加油吧。 小组展示任务一 主持人:任务一由我们五组为大家讲解。 S1:通过动手操作我们发现直线和圆有三种位置关系,相交、相切、相离。相交时直线和 圆有两个交点,这条线叫割线。相切时,直线和圆只有一个公共点,这个点叫圆的切点。这条 线叫圆的切线。相离时,直线和圆没有公共点。 (学生指着图为同学进行一一解答)大家还有疑 问,或者需要补充吗? S2(一组) :任务一你们是根据什么得出直线和圆的三种位置关系的? S1:根据直线和圆的公共点的个数。还有什么疑问吗? 主持人(总结) :我们可以利用直线和圆的交点的个数,来确定直线和圆的位置关系。大家
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还有什么补充的的吗?我们组讲解完毕,有请下一组为大家讲解任务二。 师:这是我们确定直线和圆位置关系的一种方法。 (教师板书:方法一利用直线和圆的公共 点的个数。 )需要注意的是,当直线和圆相切时,有唯一的公共点. 通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习,促使学生主动参与数学知识的“再发现” , 培养学生动手实践能力,观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力.通过小组讲解,学生质疑 总结直线和圆相交、相切、相离的定义,归纳直线和圆的三种位置关系。

小组展示任务二 主持人:任务二由我们三组为大家讲解. 生 1:

l 相交 (a) 相切 (b)

l

相离 (c)

l

上述变化过程中,除了公共点的个数发生了变化,还有圆心到直线距离在改变, 设⊙O 的半径为 r,圆心到直线 l 的距离为 d,我们总结出下面的结论: (1) 、直线与圆相离 <=> d>r (2) 、直线与圆相切 <=> d=r (3) 、直线与圆相交 <=> d<r 大家对我们的总结有什么疑问吗? S2(四组):你们是如何总结出来的?能具体的说一说吗?谢谢. S1:通过观察,直线和圆的位置关系的定义,类比点和圆的位置关系得出来的。 S3(二组) :目前有几种判定直线和圆的位置关系的方法了,哪一种更经常用呢? 主持人:有两种方法,第二种用的更多一点。 师:的确我们有两种判定直线和圆的位置关系的方法,第二种方法是利用什么来判定直线 和圆的位置关系的呢? 主持人:利用圆心到直线的距离 d 圆的半径 r 之间的关系来判定的。 师:第二种方法从数量上来判定直线和圆的位置关系。 (教师板书强调) 主持人:大家还有问题吗?(停顿)我们组讲解完毕,有请下一组为大家讲解任务三。 在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时, 我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应 的数量关系,启发学生运用类比的思想来思考问题,解决问题,学生很轻松的就能够得出结论, 从而突破本节课的难点, 使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化, 这种等价关系是研究 切线的理论基础,从而为下节课探索切线的性质打好基础。 本人失误地方没给学生点明什么是性质,什么是判定 (1) 、直线与圆相离 => d>r(2) 、直线与圆相切 =>
2

d=r(3) 、直线与圆相交 =>

d<r,

这三种情况是直线与圆的位置关系的性质。 (1) 、d>r => 直线与圆相离(2) 、d=r => 这是直线与圆的位置关系的判定

直线与圆相切(3) 、d<r

=>

直线与圆相交,

小组展示任务三 主持人:任务三由我们二组为大家讲解, S1;第一小题 d>5 S2: 第二小题 d=5 S3: 第三小题 d<5 主持人:大家对我们的解答有什么疑问的吗? S4(六组):你们忘记了单位厘米。 师:大家看看第三小题中的 d 范围应该介于那两个数之间呢?我认为 d 大于等于 0 同学思考。 S5(一组);当直线过圆心时圆心到直线的距离为 0 厘米。 师:对,我们一定不要忘记特殊情况。 主持人:这个题目是直线和圆位置关系的直接应用,希望大家掌握。我们小组的展示完毕, 有请下一组为大家进行展示。 本题的难度不大, 旨在让学生巩固直线和圆的位置关系的性质, (1) 、 直线与圆相离 => (2) 、直线与圆相切 => d=r(3) 、直线与圆相交 => d<r。 d>r

小组展示任务四 主持人:大家好,我是四组组长,任务五有我组为大家讲解。 S1:由题意可知圆的半径 r=6.5cm,d=4.5cm 时,d<r,直线与圆相交,直线与圆有 2 个公共 点。 S2:当 d=6.5cm 时,d=r,直线与圆相切,直线与圆有 1 个公共点。 S3:当 d=8cm 时,d>r,直线与圆相离,直线和圆有 0 个公共点。 主持人:大家有什么疑问或需要什么补充吗? S4(三组) :请问第二小题,当直线和圆有 1 个公共点时,那么直线和圆还相切吗? 师:该同学给我们提出来一个新的问题。大家思考一下: S5:只有当直线和圆有唯一的一个公共点时,直线和圆才想切。 主持人:本题是直线和圆位置关系的方法 2 的直接应用,希望大家牢牢记住。我们组讲解 完毕有请下一组为大家讲解。谢谢大家。 设计目的:让学生利用这是直线与圆的位置关系的判定: (1) 、d>r => 直线与圆相离(2) 、 d=r => 直线与圆相切(3) 、d<r => 直线与圆相交,巩固所学的知识点。

小组展示任务五: 主持人:Hello,everyone,I am XXX,I am from Group 6. 任务五由我们小组为大家讲解: S1:由圆心到直线 l2 的距离 d>r,可知直线 L2 和圆相离 又因为 l1 和 l2 平行 所以 l1 和 l2 的位置如右边图所示 有题意可知 l1 和 l2 之间的距离 m=9-7=2(cm) 大家还有什么疑问吗?

。 o

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l2 l1

S2:还有别的情况吗? S1:你能上来为我们解答一下吗 S2:l2 的位置还有一种情况 如图 这是 l2 也和圆相离,并且 l1//l2 此时 l1 和 l2 之间的距离 m=9+7=16(cm)

.

o 。
L1

L2 S1:谢谢你的讲解。 主持人:通过这个题,我们一定要注意分类类讨论。大家还有什么疑问吗? 我们小组讲解完毕,有请下一组为大家展示任务六。

设计目的 通过这个题目让学生进一步巩固直线和圆关系的判定方法 2,同时培养学生分类讨论 的数学思想。 任务六展示 主持人:大家好任务六由我们一组为大家展示。 S1:要了解 AB 与⊙C 的位置关系,只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的关系。
解:过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D。在 Rt△ABC 中 =5(cm) 根据三角形面积公式有 CD·AB=AC·BC D 即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4cm。 (1)当 r=2cm 时, ∵d>r, ∴⊙C 与 AB 相离。 (2)当 r=2.4cm 时,∵d=r, ∴⊙C 与 AB 相切。 (3)当 r=3cm 时, ∵d<r, ∴⊙C 与 AB 相交。

B

C
D

A

S2(六组) :我还有一种方法(在黑板上把他的方法进行了展示)利用方程法 设 AD=x,BD=5-x,AC2-AD2=BC2-BD2 即 32-x2=42-(5-x)2 解得 x=1.8 由勾股定理得 CD2=AC2-AD2 即解得 CD=2.4cm
即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4cm。 (1)当 r=2cm 时, ∵d>r, ∴⊙C 与 AB 相离。
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(2)当 r=2.4cm 时,∵d=r, ∴⊙C 与 AB 相切。 (3)当 r=3cm 时, ∵d<r, ∴⊙C 与 AB 相交。

主持人:谢谢 教师:那种解法更简单一些? Ss:第一种(面积法) 任务六安排是为了让学生掌握识别直线和圆的位置关系的方法.培养学生正确应用所学知识 的应用能力,一题多解, 渗透分类讨论、数形结合等数学思想. 总之,教师和学生在整个课堂教学的过程中,要不断地倾听,对同学出现的问题进行改正和 补充,对学生发现不了的问题,教师及时进行改正,点拨,对关键的地方,进行补充,提升。 六.课堂总结 师:时间过得真快啊!下面谈一谈你本节课的收获,或疑惑的方面等大家一起来分享。学生 从知识点,本节课用到的数学思想,解题方法,解题技巧等进行总结。 总结回顾学习内容,帮助学生学会归纳,反思. 七.课堂检测 每节课给学生们出 2-3 个本节课的知识点有关的题目来检测学生们学习的情况。同时巩固 所学的知识点 检测题的是为了让学生巩固本节课所学的数学知识。检查自己对本节课的掌握的程度 (最后师生一起感受太阳升起的那激动人心的一刻,结束了本节课的学习。 )

【教学反思】 通过本节课的教学,我认为成功之处有以下几点: 1. 密切关注数学与现实生活的联系 由泰山看日出引入,学生比较感兴趣,充分感受生活中反映直线与圆位置关系 的现象,体验到数学来源于实践。这是学生最容易接受的学习数学的好方法。新课 标下的数学教学的基本特点之一就是密切关注数学与现实生活的联系,从生活中 “找”数学,“想”数学,让学生真正感受到生活之中处处有数学。 2.运用类比的思想思考问题,解决问题
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在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时, 我先引导学生回顾点和圆的位 置关系所对应的数量关系,启发学生运用类比的思想来思考问题,解决问题,学生 很轻松的就能够得出结论,从而突破本节课的难点,使学生充分理解位置关系与数 量关系的相互转化,这种等价关系是研究切线的理论基础,从而为下节课探索切线 的性质打好基础。 我也感觉到本节课的设计有不妥之处,主要有以下几个方面: 1.在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时,没有给予学生足 够的探索、交流的时间,限制了学生的思维。此处应充分发挥小组的特点,让学生 相互启发讨论,形成思维互补,集思广益,从而使概念更清楚,结论更准确。 2、对巩固练习题的处理不够,重在帮助学生掌握方法,没有让学生充分展示 解题思路,没有及时总结,致使部分学生在解决实际问题时思路不明确。 3、学生训练的题量不够,应该补充一些题目来巩固“双基”。 总之, 新课程的课堂教学要让学生作为课堂教学的主体参与到课堂教学过程中 来,充分展现学生的个性,施展学生的才华,使学生在参与和体验的过程中真正成 为学习的主人,养成勇于探索、敢于实践的个性品质。教师要放手,更要放心,与 此同时,教师还要为学生的学习创造探究的环境,营造探究的氛围,促进探究的开 展,把握探究的深度,评价探究的效果。

附学案设计



直线与圆的位置关系
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》第一课时

学习目标 1.经历探索直线和圆的位置关系的过程. 2.理解直线和圆的三种位置关系. 3.初步学会运用两种方法判定直线和圆的位置关系. 4.体会类比的思想和数形结合的思想. 重难点: 正确判断直线和圆的位置关系。 一、自主探究 任务一 【探究】判断直线和圆的位置关系方法一 作一个圆,把直尺看成一条直线.固定圆,平移 直尺,如果把这个直尺边缘看成一条直线,那么这 条直线和圆有几种位置关系?请画出来.?你分类的 依据是什么? 阅读课本 P94 并完成右边的表格 任务二. 【探究】判断直线和圆的位置关系方法二:

图形 公共点的个数 直线和圆的位置系 公共点的名称 直线的名称

l 相交 (a) 相切 (b)

l

相离 (c)

l

看一看想一想 上述变化过程中, 除了公共点的个数发生了变化, 还有什么量在改变?你能用数量关系来 判别直线与圆的位置关系? 设⊙O 的半径为 r,圆心到直线 l 的距离为 d,你能类比点和圆的位置关系,总结出你的结论 吗?

二、尝试应用 任务三、 已知⊙O 的半径为 5cm, 圆心 O 与直线 AB 的距离为 d, 根据条件填写 d 的范围: 1)若 AB 和⊙O 相离, 则 ; 2)若 AB 和⊙O 相切, 则 ; 3)若 AB 和⊙O 相交,则 . 任务四 已知圆的直径为 13cm,设直线和圆心的距离为 d : 1)若 d=4.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点 2)若 d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 3)若 d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
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任务五 已知⊙O 的半径 r=7cm,直线 L1 // L2,且 L1 与⊙O 相切,圆心 O 到 L2 的距离为 9cm.求 L1 与 L2 的距离 m?

。 o L1
任务六 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以 C 为圆心,r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系?为什么? (1)r=2cm;(2)r=2.4cm (3)r=3cm.

B

C A

三、组内互助交流 展示 质疑

四.自我总结:谈一谈你本节课的收获 或疑惑的方面等大家一起来分享 课堂检测 1、已知:圆的直径为 13cm,如果直线和圆心的距离为以下值时,直线和圆有几个 公共点?为什么? (1)d= 4.5cm A 0 个; B 1 个; C 2 个 (2)d= 6.5cm A 0 个; B 1 个; C 2 个 (3)d= 8cm A 0 个; B 1 个; C 2 个 2、如图,已知∠BAC=30 度,M 为 AC 上一点,且 AM=5cm,以 M 为圆心、r 为半径的圆与直线 AB 有怎样的位置关系?为什么? 1) r=2cm 2) r=4cm 3) r=2.5cm

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