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【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)两直线的位置关系教学案


两直线的位置关系

[知识能否忆起] 一、两条直线的位置关系 斜截式 方 程 相 交 垂 直 一般式

y=k1x+b1 y=k2x+b2 k1≠k2
1

A1x+B1y+C1=0(A2+B2≠0) 1 1 A2x+B2y+C2=0(A2+B2≠0) 2 2 A1B2-A2B1≠0

?当A2B2≠0时,记为A1≠B1? ? A2 B2? ? ?
A1A2+B1B2=0

k1=- 或 k2 k1k2=-1

?当B1B2≠0时,记为A1?A2=-1? ? ? B1 B2 ? ?

{A1B2-A2B1=0,?B2C1-B1C2≠0
平 行



k1=k2
且 b1≠b2

{A1B2-A2B1=0,?A1C2-A2C1≠0
?当A2B2C2≠0时,记为A1=B1≠C1? ? A2 B2 C2? ? ?
A1=λ A2,B1=λ B2,C1=λ C2(λ ≠0)

重 合

k1=k2
且 b1=b2

?当A2B2C2≠0时,记为A1=B1=C1? ? A2 B2 C2? ? ?

二、两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两条直线的交点坐标 就是方程组{A1x+B1y+C1=0,?A2x+B2y+C2=0 的解,若方程组有唯一解,则两条直线相 交,此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之, 亦成立. 三、几种距离 1.两点间的距离 平面上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式:

d(A,B)=|AB|= ? x1-x2?
2.点到直线的距离

2

+?

y1-y2?

2

.

|Ax1+By1+C| 点 P(x1,y1)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . A2+B2
1

3.两条平行线间的距离 |C1-C2| 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d= 2 2 . A +B [小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知 l1 的倾斜角为 45°,l2 经过点 P(-2,-1),Q(3,m).若 l1 ⊥l2,则实数 m 为( A.6 C.5 ) B.-6 D.-5

解析:选 B 由已知得 k1=1,k2= ∵l1⊥l2,∴k1k2=-1, ∴1?

m+1
5

.

m+1
5

=-1,即 m=-6. )

2.(教材习题改编)点(0,-1)到直线 x+2y=3 的距离为( A. 5 5 B. 5 1 D. 5

C.5

|0+2?? -1? -3| 解析:选 B d= = 5. 5 3.点(a,b)关于直线 x+y+1=0 的对称点是( A.(-a-1,-b-1) C.(-a,-b) )

B.(-b-1,-a-1) D.(-b,-a)

解析:选 B 设对称点为(x′,y′),则
?y′-b ? ?? ?x′-a

-1? =-1,?

x′+a y′+b
2 + 2

+1=0,

解得 x′=-b-1,y′=-a-1. 4. 1: -y=0 与 l2: x-3y+1=0 的交点在直线 mx+3y+5=0 上, m 的值为( l x 2 则 A.3 C.-5 B.5 D.-8 )

解析:选 D 由{x-y=0,?2x-3y+1=0, 得 l1 与 l2 的交点坐标为(1,1). 所以 m+3+5=0,m=-8. 5 . 与 直 线 4x + 3y - 5 = 0 平 行 , 并 且 到 它 的 距 离 等 于 3 的 直 线 方 程 是 ______________________. 解析:设所求直线方程为 4x+3y+m=0,由 3= |m+5| 4 +3
2 2

,得 m=10 或-20.

2

答案:4x+3y+10=0 或 4x+3y-20=0 1.在判断两条直线的位置关系时, 首先应分析直线的斜率是否存在, 两条直线都有斜率 时,可根据斜率的关系作出判断,无斜率时,要单独考虑. 2.在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时,直线方程必须先化为 Ax+

By+C=0 的形式,否则会出错.

两直线的平行与垂直

典题导入 [例 1] (2012?浙江高考)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:

x+(a+1)y+4=0 平行”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[自主解答] 由 a=1,可得 l1∥l2;反之,由 l1∥l2,可得 a=1 或 a=-2. [答案] A

在本例中若 l1⊥l2,试求 a. 解:∵l1⊥l2,∴a?1+2?(a+1)=0, 2 ∴a=- . 3

由题悟法 1.充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的 两条直线 l1 和 l2,l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1?k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么 另一条直线的斜率是多少一定要特别注意. 2.(1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则直线 l1⊥l2 的充 要条件是 k1?k2=-1. (2)设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 以题试法 1.(2012?大同模拟)设 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 所对的边,则直线 xsin A +ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0 的位置关系是( )

3

A.平行 C.垂直

B.重合 D.相交但不垂直

sin A 解析:选 C 由已知得 a≠0,sin B≠0,所以两直线的斜率分别为 k1=- ,k2=

a

b

sin B

,由正弦定理得 k1?k2=-

sin A b ? =-1,所以两条直线垂直. a sin B

两直线的交点与距离问题

典题导入 [例 2] (2012?浙江高考)定义: 曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到 直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=________. 0-? -4? 2 2 [自主解答] 因曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离为 - 2= 2 2 2- 2= 2,所以曲线 C1 与直线 l 不能相交,故 x +a>x,即 x +a-x>0. |x0-y0| -x0+x0+a 设 C1: =x +a 上一点为(x0, 0), y 2 y 则点(x0, 0)到直线 l 的距离 d= y = 2 2
2 2 2 2 2 2



?x0-1?2+a-1 ? ? 2? 4 4a-1 ?
2 [答案] 9 4 ≥

9 = 2,所以 a= . 4 4 2

由题悟法 1.点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求.注意直线方程为一般式. 2.点到与坐标轴垂直的直线的距离,可用距离公式求解.也可用如下方法去求解: (1)点 P(x0,y0)到与 y 轴垂直的直线 y=a 的距离 d=|y0-a|. (2)点 P(x0,y0)到与 x 轴垂直的直线 x=b 的距离 d=|x0-b|. 以题试法 2 13 2.(2012?通化模拟)若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 , 13 则 c 的值是________. 6 a c 解析:由题意得 = ≠ , 3 -2 -1 得 a=-4,c≠-2,

4

则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0, 2

c



?c+1? ?2 ? ? ? 2 13
13 = 13

,解得 c=2 或-6.

答案:2 或-6

对 称 问 题

典题导入 [例 3] (2012?成都模拟)在直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光 线经直线 AB 反射后,再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过 的路程是( A.2 10 C.3 3 ) B.6 D.2 5

[自主解答] 如图,设点 P 关于直线 AB,y 轴的对称点分别为 D,C, 易求得 D(4,2),C(-2,0),由对称性知,D,M,N,C 共线,则△PMN 的 周长=|PM|+|MN|+|PN|=|DM|+|MN|+|NC|=|CD|= 40=2 10即为 光线所经过的路程. [答案] A 由题悟法 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称 ①点 P(x,y)关于 O(a,b)的对称点 P′(x′,y′)满足

{x′=2a-x,?y′=2b-y.
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ① 点 A(a , b) 关 于 直 线 Ax + By + C = 0(B≠0) 的 对 称 点 A′(m , n) , 则 有
?n-b ? A? a+m b+ n ? ??- ?=-1,?A? +B? +C=0. 2 2 ?m-a ? B?

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 以题试法 3.(2012?南京调研)与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0 )

5

C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0 解析:选 A 与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x-4(-y)+5=0,即 3x+4y+5=0.

1.(2012?海淀区期末)已知直线 l1:k1x+y+1=0 与直线 l2:k2x+y-1=0,那么“k1 =k2”是“l1∥l2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 C 由 k1=k2,1≠-1,得 l1∥l2;由 l1∥l2 知 k1?1-k2?1=0,所以 k1=k2. 故“k1=k2”是“l1∥l2”的充要条件. 1 2.当 0<k< 时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在( 2 A.第一象限 C.第三象限 解析:选 B B.第二象限 D.第四象限 解 方 程 组 {kx-y=k-1,?ky-x=2k, 得 两 直 线 的 交 点 坐 标 为 )

? k ,2k-1?,因为 0<k<1,所以 k <0,2k-1>0,故交点在第二象限. ?k-1 k-1 ? 2 k-1 k-1 ? ?
3.(2012?长沙检测)已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1 =0,则直线 l1 与 l2 的距离为( A. 8 5 ) 3 B. 2 D.8

C.4

解析:选 B ∵直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,即为 1 3x+4y+ =0,∴直线 l1 与直线 l2 的距离为 2 = . 2 2 3 +4 2 4.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点( A.(0,4) C.(-2,4) 解析:选 B B.(0,2) D.(4,-2) 由于直线 l1 : y = k(x -4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为 )

?1+7? ?2 ? ? ? 3

(0,2).又由于直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 恒过定点(0,2). 5.已知直线 l1:y=2x+3,若直线 l2 与 l1 关于直线 x+y=0 对称,又直线 l3⊥l2,则

6

l3 的斜率为(
A.-2 C. 1 2

) 1 B.- 2 D.2

解析:选 A 依题意得,直线 l2 的方程是-x=2(-y)+3, 1 3 1 即 y= x+ ,其斜率是 , 2 2 2 由 l3⊥l2,得 l3 的斜率等于-2. 6.(2012?岳阳模拟)直线 l 经过两直线 7x+5y-24=0 和 x-y=0 的交点,且过点 (5,1).则 l 的方程是( A.3x+y+4=0 C.x+3y-8=0 ) B.3x-y+4=0 D.x-3y-4=0

解析: C 设 l 的方程为 7x+5y-24+λ (x-y)=0, 选 即(7+λ )x+(5-λ )y-24=0, 则(7+λ )?5+5-λ -24=0.解得 λ =-4.l 的方程为 x+3y-8=0. 7.(2012?郑州模拟)若直线 l1:ax+2y=0 和直线 l2:2x+(a+1)y+1=0 垂直,则实 数 a 的值为________. 1 解析:由 2a+2(a+1)=0 得 a=- . 2 1 答案:- 2 8.已知平面上三条直线 x+2y-1=0,x+1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划 分为六部分,则实数 k 的所有取值为________. 解析:若三条直线有两条平行,另外一条与这两条直线相交,则符合要求,此时 k=0 或 2;若三条直线交于一点,也符合要求,此时 k=1,故实数 k 的所有取值为 0,1,2. 答案:0,1,2 9.(2013?临沂模拟)已知点 P(4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不大于 3,则 a 的取 值范围是________. |4?4-3?a-1| |15-3a| |15-3a| 解析:由题意得,点到直线的距离为 = .又 ≤3,即 5 5 5 |15-3a|≤15,解得,0≤a≤10,所以 a∈[0,10]. 答案:[0,10] 1 1 10.(2013?舟山模拟)已知 + =1(a>0,b>0),求点(0,b)到直线 x-2y-a=0 的

a b

距离的最小值.

7

解:点(0, b)到直线 x -2y - a =0 的距离为 d =

a+2b
5



1

?1 1? 1 (a +2b) ? + ? = ?a b? 5 5

?3+2b+a?≥ 1 (3+2 2)=3 5+2 10,当且仅当 a2=2b2,a+b=ab,即 a=1+ 2,b ? a b? 5 ? ? 5
2+ 2 3 5+2 10 = 时取等号.所以点(0,b)到直线 x-2y-a=0 的距离的最小值为 . 2 5 11.(2012?荆州二检)过点 P(1,2)的直线 l 被两平行线 l1:4x+3y+1=0 与 l2:4x+ 3y+6=0 截得的线段长|AB|= 2,求直线 l 的方程. 解:设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 由{y=kx+2-k,?4x+3y+1=0, 解得 A?

?3k-7,-5k+8?; ? ?3k+4 3k+4 ? ?3k-12,8-10k?. ? ? 3k+4 3k+4 ?

由{y=kx+2-k,?4x+3y+6=0, 解得 B? ∵|AB|= 2, ∴

? 5 ?2+? 5k ?2= 2, ?3k+4? ?3k+4? ? ? ? ?
2

整理,得 7k -48k-7=0, 1 解得 k1=7 或 k2=- . 7 因此,所求直线 l 的方程为 x+7y-15=0 或 7x-y-5=0. 12.已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点; (2)直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. 解:设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P′(x′,y′). ∵kPP′?kl=-1,即

y′-y ?3=-1.① x′-x

又 PP′的中点在直线 3x-y+3=0 上, ∴3?

x′+x y′+y
2 - 2

+3=0.②

?x′=-4x+3y-9, ? 5 由①②得? 3x+4y+3 ?y′= 5 . ?
(1)把 x=4,y=5 代入③④得 x′=-2,y′=7, ∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(-2,7).

③ ④

8

-4x+3y-9 (2)用③④分别代换 x-y-2=0 中的 x,y,得关于 l 的对称直线方程为 - 5 3x+4y+3 -2=0, 5 化简得 7x+y+22=0.

1.点 P 到点 A(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且点 P 到直线 y=x 的距离为 的点 P 的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

2 ,这样 2

解析:选 C ∵点 P 到点 A 和定直线距离相等, ∴P 点轨迹为抛物线,方程为 y =4x. 2 |t -2t| 设 P(t 2t),则 = ,解得 t1=1,t2=1+ 2,t3=1- 2,故 P 点有三个. 2 2
2, 2 2

2. (2012?福建模拟)若点(m, )在直线 4x+3y-10=0 上, m +n 的最小值是( n 则 A.2 C.4 解析:选 C B.2 2 D.2 3

2

2

)

设原点到点(m,n)的距离为 d,所以 d =m +n ,又因为(m,n)在直线 4x |-10| 4 +3
2 2

2

2

2

+3y-10=0 上,所以原点到直线 4x+3y-10=0 的距离为 d 的最小值,此时 d= 2,所以 m +n 的最小值为 4.
2 2



3.在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大.

解:如图所示,设点 B 关于 l 的对称点为 B′,连接 AB′并延长交

l 于 P,此时的 P 满足|PA|-|PB|的值最大.设 B′的坐标为(a,b),
则 kBB′?kl=-1, 即 3?

b-4 =-1. a

则 a+3b-12=0.①

9

?a b+4?,且在直线 l 上, 又由于线段 BB′的中点坐标为? , 2 ? ?2 ?
a b+4 则 3? - -1=0,即 3a-b-6=0.② 2 2
解①②,得 a=3,b=3,即 B′(3,3).

y-1 x-4 于是 AB′的方程为 = ,即 2x+y-9=0. 3-1 3-4
解{3x-y-1=0,?2x+y-9=0, 得{x=2,?y=5, 即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5).

1 1.点(1,cos θ )(其中 0≤θ ≤π )到直线 xsin θ +ycos θ -1=0 的距离是 ,那么 4 θ 等于( A. C. 5π 6 π 6 ) π 5π B. 或 6 6 π 7π D. 或 6 6
2

|sin θ +cos θ -1| 1 解析:选 B 由已知得 = , 2 2 4 sin θ +cos θ 1 2 即|sin θ -sin θ |= , 4 ∴4sin θ -4sin θ -1=0 或 4sin θ -4sin θ +1=0, 1± 2 1 ∴sin θ = 或 sin θ = . 2 2 ∵0≤θ ≤π ,∴0≤sin θ ≤1, 1 π 5π ∴sin θ = ,即 θ = 或 . 2 6 6 2.已知直线 l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线 l2 与 l1 关于 l 对称,则 l2 的方 程是( ) B.x-2y-1=0 D.x+2y-1=0
2 2

A.x-2y+1=0 C.x+y-1=0

解析:选 B l1 与 l2 关于 l 对称,则 l1 上任一点关于 l 的对称点都在 l2 上,故 l 与 l1 的交点(1,0)在 l2 上.又易知(0,-2)为 l1 上一点,设其关于 l 的对称点(x , y),则
?x+0 y-2 y+2 ? - -1=0,? ?1=-1, 2 x ? 2

得 {x=-1,?y=-1. 即(1,0),(-1,-1)

为 l2 上两点,可得 l2 方程为 x-2y-1=0.

10

3.光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y+7=0 后反射,求反射光线 所在的直线方程. 解:法一:由{x-2y+5=0,?3x-2y+7=0, 得{x=-1,?y=2. 即反射点 M 的坐标为(-1,2). 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0),设 P 关于直线 l 的对称点

P′(x0,y0),由 PP′⊥l 可知,kPP′=- =
而 PP′的中点 Q 的坐标为? 即 3? 由?
?

2 y0 . 3 x0+5

?x0-5,y0?,Q 点在 l 上, 2? ? 2 ?

x0-5

-2? +7=0. 2 2
? 17 32 得?x0=- ,?y0=- . 13 13 ?

y0

2 3 =- ,? ? x0-5? -y0+7=0. 3 2 ?x0+5

y0

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x-2y+33=0. 法二:设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点为 P′(x,y),则

y0-y 2 =- , x0-x 3
又 PP′的中点 Q? 即 3? 由?

?x+x0,y+y0?在 l 上, 2 ? ? 2 ?
y+y0
2 +7=0,

x+x0
2

-2?

?y0-y

?x0-x

2 x+x0 =- ,?3? -? 3 2

y+y0? +7=0.

可得 P 点的坐标为

x0=

-5x+12y-42 12x+5y+28 ,y0= , 13 13

代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0, 故所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.

11



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