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四川省岳池县第一中学高中数学 2.1 数列的概念与简单表示法学案 新人教A版必修5


§2.1 数列的概念与简单表示法(1)
学习目标 1. 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系; 2. 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项; 3. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公 式. 教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用 教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P28 ~ P30 ,找出疑惑之处) 复习 1:函数 ,当 x 依次取 1,2,3,…时,其函数值有什么特点?

复习 2:函数 y=7x+9,当 x 依次取 1,2,3,…时,其函数值有什么特点?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:数列的概念 ⒈ 数列的定义:

的一列数叫做数列.

⒉ 数列的项:数列中的 都叫做这个数列的项. 反思: ⑴ 如果组成两个数列 的数相同而排列次序不同,那么它们是相同的数列?

⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗?

3. 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,? ,或简记为 ?an ? ,其中 a n 是数列的第 4. 数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项 就 叫做这个数列的通项公式. 反思: ⑴所有数列都能写出其通项公式? 与 n 之间的关系可以用

项. 来表示,那么

1

⑵一个数列的通项公式是唯一? ⑶数列与函数有关系吗?如果有关,是什么关系?

5.数列的分类: 1)根据数列项数的多少分

数列和

数列;

2)根据数列中项的大小变化情况分为 数列, 数列, 数列和 数列. ※ 典型例题 例 1 写出下面数列的一个通项公式,使 它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 ⑴ 1,- , ,- ; 2 4 3 ⑵ 1, 0, 1, 0.

变式:写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 4 9 16 ⑴ , , , ; 2 5 10 17 ⑵ 1, -1, 1, -1;

小结:要由数列的若干项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中的项的构成规律,将项表示为项 数的函数关系.

例 2 已知数列 2,

7 an2 ? b ,2,…的通项公式为 an ? ,求这个数列的第四项和第五项. 4 cn

变式:已知数列 5 , 11 , 17 , 23 , 29 ,…,则 5 5 是它的第

项.

2

小结:已知数列的通项公式,只要将数列中的项代入通项公式,就可以求出项数和项. ※ 动手试试 练 1. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 ⑴ 1, , , ; 7 3 5 ⑵ 1, 2 , 3 ,2 .

练 2. 写出数列 {n 2 ? n} 的第 20 项,第 n+1 项.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式; 2. 会用通项公式写出数列的任意一项. ※ 知识拓展 数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数. 1 1 1 思考:设 f (n) =1+ + +…+ (n ? N * )那么 f (n ? 1) ? f (n) 等于( 2 3n ? 1 3 1 1 1 A. B. ? 3n ? 2 3n 3n ? 1 1 1 1 1 1 C. D. ? ? ? 3n ? 1 3n ? 2 3n 3n ? 1 3n ? 2 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法正确的是( ). A. 数列中不能重复出 现同一个数 B. 1,2,3,4 与 4,3,2,1 是同一数列 C. 1,1,1,1…不是数列 D. 两个数列的每一项相同,则数列相同 2. 下列四个数中,哪个是数列 {n(n ? 1)} 中的一项( A. 380 B. 392 C. 321 D. 232



).

3

3. 在横线上填上适当的数: 3,8,15, ,35,48. 4.数列 {(?1)
} 的第 4 项是 . 1 1 1 1 5. 写出数列 ? , ,? , 的一个通项公式 2 ?1 2 ? 2 2?3 2? 4
n ( n ?1) 2

.

课后作业 1. 写出数列{ 2 n }的前 5 项.

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 , , , 的一个通项公式为 2 3 4 5 (2)已知数列 3 , 7 , 11 , 15 , 19 ,… 那么 3 11 是这个数列的第
2. (1)写出数列

. 项.

4

§2.1 数列的概念与简单表示法(2) 学习目标 1. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2. 会由递推公式写出数列的前几项,并掌握求简单数列的通项公式的方法. 教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点理解递推公式与通项公式的关系 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P31 ~ P34 ,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列?什么是数列的通项公式?

复习 2:数列如何分类?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:数列的表示方法 问题: 观察钢管堆放示意图,寻 找每层的钢管数 a n 与层数 n 之间有何关系?

1. 通项公式法: 试试:上图中每层的钢管数 a n 与层数 n 之间关系的一个通项公式是 2. 图象法: 数列的图形是 数取决于数列的

.

,因为横坐标为 数,所以这些点都在 y 轴的 侧,而点的个 .从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.

3. 递推公式法: 递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项),且任一项 a n 与它的前一项 an ?1 (或前 n 项)间的关 系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

5

试试:上图中相邻两层的钢管数 a n 与 an ?1 之间关系的一个递推公式是 4. 列表法: 试试:上图中每层的钢管数 a n 与层数 n 之间关系的用列表法如何表示?

.

反思:所有数列都能有四种表示方法吗? ※ 典型例题
a1 ? 1 ? ? 例 1 设数列 ?an ? 满足 ? 写出这个数列的前五项. 1 ?an ? 1 ? a (n ? 1). n ?1 ?

变式:已知 a1 ? 2 , an ?1 ? 2an ,写出前 5 项,并猜想通项公式 a n .

小结:由递推公式求数列的项,只要让 n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项. 例 2 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n , 那么 a2007 ? ( A. 2003×2004 C. 2007×2 00 6 B. 2004×2005 D. 2004 2 ).

变式:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n ,求 a n .

小结:由递推公式求数列的通项公式,适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※ 动手试试 2 练 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? ,且 an?1 ?an ? an ?an?1 ? 2an?1 ?an?1 ? 0 ( n ? 2 ),求 a3 , a4 . 3

6

练 2.(2005 年湖南)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 ,
an ?1 ? an ? 3 3an ? 1

( n ? N * ),则 a20 ? ( C. 3 D.



.

A.0

B.- 3

3 2

练 3. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a17 ? 66 ,通项公式是项数 n 的一次函数. ⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵ 88 是否是数列 ?an ? 中的项.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数列的表示方法; 2. 数列的递推公式. ※ 知识拓展 n 刀最多能将比萨饼切成几块? 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块,以便出售. 他发现一刀 能将饼切成两块,两刀最多能切成 4 块,而三刀最多能切成 7 块(如图).请你帮他算算看, 四刀最多能将饼切成多少块?n 刀呢? 解析:将比 萨饼抽象成一个圆,每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一个交点, 所以第 n 刀最多与前 n-1 刀的切痕都各有一个不同的交点, 因此第 n 刀的切痕最多被前 n-1 刀分成 n 段, 而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说 n 刀切下去最多能使饼增加 n 块. 记刀数为 1 时,饼的块 数最多为 a1 ,……,刀数为 n 时,饼的块数最多为 a n ,所以 a n = an ?1 ? n . 由此可求得 a n =1+ n( n ? 1) . 2 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知数列 an ?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是( ). A. 递增数列 B. 递减数列

7

C. 摆动数列 D. 常数列 2. 数列 ?an ? 中, an ? ?2n2 ? 9n ? 3 ,则此数列最大项的值是( A. 3 B. 13 C. 13

).

1 D. 12 8 3. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2 (n≥1),则该数列的通项 an ? (
B. n(n ? 1) n(n ? 1) D. 2 1 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ? (?1)n ?2an?1 (n≥2),则 a5 ? 3 1 1 5. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? 1 ? (n≥2), an 2 则 a6 ? . A. n(n ? 1) n(n ? 1) C. 2

).

.

课后作业 1. 数列 ?an ? 中, a1 =0, an ?1 = a n +(2n-1) (n∈N),写出前五项,并归纳出通项公式.

2. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2an (n ? N ) ,写出前 5 项,并猜想通项公式 a n . an ? 2

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