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2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案【高一】


2016 年全国高中数学联赛湖北预赛(高一)
一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 9 分,共 90 分) 1.已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ? 2 , f ? x ? 1? ?

1? f ? x? 对定义域内任意 x 都成立.那么 1? f ? x?

f ? 2016? ? __________.
2.不等式 3
x?2

?3

x ?1

? 28 的解集为__________.

3.从五个正整数 a, b, c, d , e 中任取四个求和,得到的和值构成集合 ?44,45,46,47? ,则

a ? b ? c ? d ? e ? __________. π 3π 5π 7π ? cos ? cos ? __________. 4.求值: cos ? cos 9 9 9 9 5. ?ABC 中,角 A, B, C 的边长分别为 a, b, c , D 是 BC 的中点,若 a ? 4 , AD ? c ? b ,
则 ?ABC 的面积的最大值为__________. 6.如果存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 a cos? b cos 2 x ? 1 无实数解,则实数 b 的最大值 为__________. 7.已知质数 p, q 满足 q ? 2 p ? 1,则 p ? q ? __________.
5 2

2 8. 已知实数 x, y 满足:

2 ?3 x

? 21?5 y ?

1 1 8x ? 32 y ? 8 . ,x ? ? 3 , 那么,xy ? __________. 2 y

9.已知 MN 是边长为 2 6 的等边 ?ABC 的外接圆的一条动弦, MN ? 4 , P 为 ?ABC 的 边上动点,则 MP ? PN 的最大值为__________. 10.设 ? a ? 表示不大于 a 的最大整数,则方程 ? ? ? ? ? ? 1 的最大正整数解为__________. 7 8 二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 11.已知 ?ABC 得三边长 a, b, c ( a ? b ? c )均为整数,且满足: (1) a, b, c 构成等比数列; (2) a, b, c 中至少有一个等于 100 . 求符合要求的三元数组 ? a, b, c ? 的个数. 12.已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 满足条件:
2

???? ??? ?

?x? ? ?

?x? ? ?

(1) ?4a ? b ? ?2a ;

(2)当 x ? 1时, f ? x ? ? 1 .

证明:当 x ? 2 时, f ? x ? ? ?

5 . 4 10 ,且对任意实数 x, y ,恒有 3

13.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ?1? ?

f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ? ,若数列 ?an ? 满足 an ? 3 f ? n? ? f ? n ?1? , n ? N * .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

? 3an ? 8?

24an

2

, n ? N , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求证: Sn ? 1 .
*



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