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山东省枣庄市2017届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2016-2017 学年山东省枣庄市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x∈Z|﹣2<x<2},B={x|y=log2x2},则 A∩B=( A.{﹣1,1} B.{﹣1,0,1} C.{1} D.{0,1} ) )

2.已知命题 p:? x∈R,sinx≤1,则¬p 为(

A.? x∈R,sinx≤1 B.? x∈R,sinx>1 C.? x∈R,sinx≥1 D.? x∈R,sinx>1 3.已知函数 f(x)的定义域为[0,2],则函数 ( ) 的定义域为

A.[0,1] B.[0,2] C.[1,2] D.[1,3] 4.下列命题中的假命题是( )

A.? x∈R,3x>0 B.? x0∈R,lgx0=0 C. D. 个单位长度

5.已知函数 f(x)=cosωx(ω>0) ,将 y=f(x)的图象向右平移 后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值为( A.3 B.6 C.9 D.12 )

6.已知 A. B. C. D.

,则 sinα+cosα 的值是(



7.设 a,b∈R,函数 f(x)=ax+b(0≤x≤1) ,则 f(x)>0 恒成立是 a+2b>0 成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件

8.过抛物线 y2=4ax(a>0)的焦点 F 作斜率为﹣1 的直线 l,l 与离心率为 e 的 双曲线 的两条渐近线的交点分别为 B,C.若 xB,xC,xF 分别表 ,则 e=(
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示 B,C,F 的横坐标,且



A.6

B.

C.3

D.

9. 《九章九术》 是我国古代数学名著, 它在几何学中的研究比西方早一千多年. 例 如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形, AC⊥BC, 一侧棱垂直于底面的四棱锥. 如图, 在堑堵 ABC﹣A1B1C1 中, 若 A1A=AB=2, 当阳马 B﹣A1ACC1 体积最大时,则堑堵 ABC﹣A1B1C1 的体积为( )

A.

B.

C.2

D.

10.定义在 R 上的奇函数 y=f(x)满足 f(3)=0,且当 x>0 时,不等式 f(x) >﹣xf′(x)恒成立,则函数 g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=8,则其前 6 项之和为 12.已知实数 x,y 满足 ,则 的最大值为 .



13.函数 f(x)=sinxcosx+cos2x 的减区间是



14.如图,网格纸上每个小正方形的边长为 1,若粗线画出的是某几何体的三视 图,则此几何体的体积为 .

15.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的直线 mx﹣y﹣m+3=0 交
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于点 P(x,y) ,则|PA|+|PB|的最大值是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 16.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,角 A、B、C 的度数成等 差数列, .

(1)若 3sinC=4sinA,求 c 的值; (2)求 a+c 的最大值. 17. a 1∈ 2) an2+3an+2=6Sn. 已知 Sn 为各项均为正数的数列{an}的前 n 项和, (0, , (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若对? n∈N*,t≤4Tn 恒成立,

求实数 t 的最大值. 18.如图,在平面四边形 ABCD 中, (1)若 (2) 若 与 .

的夹角为 30°,求△ABC 的面积 S△ABC; 为 AC 的中点,G 为△ABC 的重心(三条中线的交点) ,且 的值. 与

互为相反向量,求

19.在如图所示的空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC,△ACD 与△ACB 是边长 为 2 的等边三角形,BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60°,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证:DE∥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值.

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20.已知函数 (1)求函数 f(x)的单调区间及最值;



(2)若对? x>0,f(x)+g(x)>1 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证: 21.已知椭圆 ,过点 . 作圆 x2+y2=1 的切线,

切点分别为 S,T.直线 ST 恰好经过 Ω 的右顶点和上顶点. (1)求椭圆 Ω 的方程; (2)如图,过椭圆 Ω 的右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB,CD. ①设 AB,CD 的中点分别为 M,N,证明:直线 MN 必过定点,并求此定点坐标; ②若直线 AB,CD 的斜率均存在时,求由 A,C,B,D 四点构成的四边形面积的 取值范围.

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2016-2017 学年山东省枣庄市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x∈Z|﹣2<x<2},B={x|y=log2x2},则 A∩B=( A.{﹣1,1} B.{﹣1,0,1} C.{1} D.{0,1} )

【考点】交集及其运算. 【分析】化简集合 A、B,根据交集的定义写出 A∩B 即可. 【解答】解:集合 A={x∈Z|﹣2<x<2}={﹣1,0,1}, B={x|y=log2x2}={x|x2>0}={x|x<0 或 x>0}, 则 A∩B={﹣1,1}. 故选:A.

2.已知命题 p:? x∈R,sinx≤1,则¬p 为(



A.? x∈R,sinx≤1 B.? x∈R,sinx>1 C.? x∈R,sinx≥1 D.? x∈R,sinx>1 【考点】命题的否定. 【分析】命题 p 是全称命题,其否定应为特称命题,注意量词和不等号的变化. 【解答】解:命题 p:? x∈R,sinx≤1”是全称命题, 否定时将量词对任意的 x 变为? x,再将不等号≤变为>即可. 故¬p 为:? x∈R,sinx>1. 故选:D

3.已知函数 f(x)的定义域为[0,2],则函数 ( )

的定义域为

A.[0,1] B.[0,2] C.[1,2] D.[1,3]
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【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】由已知 f(x)的定义域求得 f(2x)的定义域,结合根式内部的代数式 大于等于 0 求得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)的定义域为[0,2], ∴由 0≤2x≤2,解得 0≤x≤1. ∴由 ∴函数 故选:A. ,解得 0≤x≤1. 的定义域为[0,1].

4.下列命题中的假命题是(



A.? x∈R,3x>0 B.? x0∈R,lgx0=0 C. D.

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A,由指数函数 y=3x 的值域为(0,+∞) ,可判定 A; B,当 x0=1,lgx0=0; C,构造函数 f(x)=x﹣sinx,f′(x)=1﹣cosx≥0 恒成立,∴f(x)=x﹣sinx 在 R 上单调递增,且 f(0)=0,∴x∈(0, D,sinx+cosx= . 时,x>sinx,

【解答】解:对于 A,由指数函数 y=3x 的值域为(0,+∞) ,可判定 A 正确; 对于 B,当 x0=1,lgx0=0,故正确; 对于 C,构造函数 f(x)=x﹣sinx,f′(x)=1﹣cosx≥0 恒成立,∴f(x)=x﹣sinx 在 R 上单调递增,且 f(0)=0,∴x∈(0, 对于 D,sinx+cosx= 故选:B. ,故错. 时,x>sinx,故正确,

5.已知函数 f(x)=cosωx(ω>0) ,将 y=f(x)的图象向右平移
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个单位长度

后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值为( A.3 B.6 C.9 D.12



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】函数图象平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数

平移整数个周期,容易得到结果. 【解答】解:f(x)的周期 T= ,函数图象平移 个单位长度后,所得的图象

与原图象重合,说明函数平移整数个周期, 所以 =k? ,k∈Z.

令 k=1,可得 ω=6. 故选:B.

6.已知 A. B. C. D.

,则 sinα+cosα 的值是(



【考点】三角函数的化简求值. 【分析】利用诱导公式化简已知的等式,求出 tanα 的值小于 0,利用同角三角 函数间的基本关系求出 cosα 的值,根据 α∈( , ) ,得到 α 的具体范围,

再利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的值,即可求出所求式子的值. 【解答】解:∵tan(α﹣π)=tanα=﹣ <0,且 α∈( ∴cosα=﹣ ∴sinα= =﹣ ,α∈( = , ,π) , , ) ,

则 sinα+cosα= ﹣ =﹣ . 故选:C.

7.设 a,b∈R,函数 f(x)=ax+b(0≤x≤1) ,则 f(x)>0 恒成立是 a+2b>0 成立的( )
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:若 f(x)>0,则满足 反之不一定成立, 即 f(x)>0 恒成立是 a+2b>0 成立的充分不必要条件, 故选:A ,即 a+2b>0,即充分性成立,

8.过抛物线 y2=4ax(a>0)的焦点 F 作斜率为﹣1 的直线 l,l 与离心率为 e 的 双曲线 的两条渐近线的交点分别为 B,C.若 xB,xC,xF 分别表 ,则 e=( )

示 B,C,F 的横坐标,且 A.6 B. C.3 D.

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】过抛物线 y2=4ax(a>0)的焦点 F(a,0) ,所以直线 y=﹣x+a 与 y=± 交于 B、C 两点,求出 B、C 的横坐标,再根据 且 的等式解出 b2=2a2,可得此双曲线的离心率. 【解答】解:过抛物线 y2=4ax(a>0)的焦点 F 作斜率为﹣1 的直线 l,直线方 程为 y=﹣x+a, ∵双曲线的渐近线为 y=± x, ∴直线 y=﹣x+a 与渐近线的交点横坐标分别为 xB= ∵ ∴a2=﹣ 解得 2a2=b2,
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,建立关于 a、b

,xB=

,xF=a,

, ,

∴e= = 故选:D

=



9. 《九章九术》 是我国古代数学名著, 它在几何学中的研究比西方早一千多年. 例 如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形, AC⊥BC, 一侧棱垂直于底面的四棱锥. 如图, 在堑堵 ABC﹣A1B1C1 中, 若 A1A=AB=2, 当阳马 B﹣A1ACC1 体积最大时,则堑堵 ABC﹣A1B1C1 的体积为( )

A.

B.

C.2

D.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】设 AC=x,BC=y,由阳马 B﹣A1ACC1 体积最大,得到 AC=BC= 求出堑堵 ABC﹣A1B1C1 的体积. 【解答】解:设 AC=x,BC=y,由题意得 x>0,y>0,x2+y2=4, ∵当阳马 B﹣A1ACC1 体积最大, ∴V= ∵xy≤ 2x×y= 取最大值, 时,取等号, , =2. ,由此能

=2,当且仅当 x=y=

∴当阳马 B﹣A1ACC1 体积最大时,AC=BC= 此时堑堵 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=SABC?AA1= 故选:C.

10.定义在 R 上的奇函数 y=f(x)满足 f(3)=0,且当 x>0 时,不等式 f(x) >﹣xf′(x)恒成立,则函数 g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为(
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A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】函数的单调性与导数的关系. 【分析】由不等式 f(x)>﹣xf′(x)在(0,+∞)上恒成立,得到函数 h(x) =xf(x)在 x>0 时是增函数, 再由函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数得到 h(x)=xf(x)为偶函数, 结合 f(0)=f(3)=f(﹣3)=0,作出两个函数 y1=xf(x)与 y2=﹣lg|x+1|的大致 图象,即可得出答案. 【解答】解:定义在 R 的奇函数 f(x)满足: f(0)=0=f(3)=f(﹣3) , 且 f(﹣x)=﹣f(x) , 又 x>0 时,f(x)>﹣xf′(x) ,即 f(x)+xf′(x)>0, ∴[xf(x)]'>0,函数 h(x)=xf(x)在 x>0 时是增函数, 又 h(﹣x)=﹣xf(﹣x)=xf(x) ,∴h(x)=xf(x)是偶函数; ∴x<0 时,h(x)是减函数,结合函数的定义域为 R,且 f(0)=f(3)=f(﹣3) =0, 可得函数 y1=xf(x)与 y2=﹣lg|x+1|的大致图象如图所示,

∴由图象知,函数 g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为 3 个. 故选:C.

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=8,则其前 6 项之和为 【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】 由等比数列通项公式先求出公比, 由此利用等比数列前 n 项和公式能求
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63



出其前 6 项之和. 【解答】解:∵等比数列{an}中,a1=1,a4=8, ∴a4=a1q3, ∴8=q3, 解得 q=2, ∴其前 4 项之和为 S6= 故答案为:63 =63

12.已知实数 x,y 满足 【考点】简单线性规划.

,则

的最大值为



【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用斜率的几何意义进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 的几何意义是区域内的点到定点 D(4,2)的斜率, 由图象知 AD 的斜率最大, 由 得 ,即 A(﹣3,﹣4) , = = ,

此时 AD 的斜率 k= 故答案为: .

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13.函数 f(x)=sinxcosx+cos2x 的减区间是 【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】由三角函数公式化简可得 f(x)= 图象的性质来求其单调减区间. 【解答】解:f(x)=sinxcosx+cos2x = sin2x+ (1+cos2x) = sin(2x+ )+ . ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z. ≤x≤kπ+ ,k∈Z. sin(2x+



)+ .结合正弦函数

所以 2kπ+

所以函数 f(x)=sinxcosx+cos2x 的减区间是 kπ+ 故答案是: .

14.如图,网格纸上每个小正方形的边长为 1,若粗线画出的是某几何体的三视 图,则此几何体的体积为 10 .

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个俯视图为底面的三棱锥,代入 锥体体积公式,可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个俯视图为底面的三棱锥, 底面面积 S= ×5×4=10, 高 h=3, 故体积 V= =10,

故答案为:10.

15.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的直线 mx﹣y﹣m+3=0 交 于点 P(x,y) ,则|PA|+|PB|的最大值是 【考点】两点间距离公式的应用. 【分析】由直线过定点可得 AB 的坐标,由直线垂直可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10, 由基本不等式可得. 【解答】解:由题意可得动直线 x+my=0 过定点 A(0,0) , 直线 mx﹣y﹣m+3=0 可化为(x﹣1)m+3﹣y=0, 令 可解得 ,即 B(1,3) , .

又 1×m+m×(﹣1)=0,故两直线垂直, ∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10, 由基本不等式可得 10=|PA|2+|PB|2 =(|PA|+|PB|)2﹣2|PA||PB| ≥(|PA|+|PB|)2﹣2( )2

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= (|PA|+|PB|)2, ∴(|PA|+|PB|)2≤20, 解得|PA|+|PB|≤2 当且仅当|PA|=|PB|= 故答案为:2 . 时取等号.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 16.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,角 A、B、C 的度数成等 差数列, .

(1)若 3sinC=4sinA,求 c 的值; (2)求 a+c 的最大值. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由等差数列的性质及三角形内角和定理可求 求 a= ,进而利用余弦定理可得 c 的值. sinA,c= ) , 由 sinC,利用三角函数恒等变换的 , 可求范围 , ,由正弦定理可

(2)由正弦定理,可得 a= 应用化简可得 a+c=2 sin (A+

进而利用正弦函数的性质可求最大值. 【解答】解: (1)∵由角 A,B,C 的度数成等差数列,得 2B=A+C. 又∵A+B+C=π, ∴ . , )2+c2﹣2× ,

∴由正弦定理,可得:3c=4a,即 a=

∴由余弦定理,可得:b2=a2+c2﹣2accosB,即:13=( 解得:c=4. (2)由正弦定理,可得: = =



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∴a= ∴ = 由 所以当

sinA,c=

sinC,

. ,得 ,即 时, . .

17. a 1∈ 2) an2+3an+2=6Sn. 已知 Sn 为各项均为正数的数列{an}的前 n 项和, (0, , (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若对? n∈N*,t≤4Tn 恒成立,

求实数 t 的最大值. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1 ) 把 n=1 代入 an2+3an+2=6Sn 求得首项 a1=1. 结合已知条件 an2+3an+2=6Sn 得到: (an+1+an) (an+1﹣an﹣3)=0.由此求得公差 d=3,根据等差数列的通项公 式推知 an=3n﹣2. (2)利用裂项求和求得 Tn,然后根据不等式 t≤4Tn 实数 t 的最大值. 【解答】解: (1)当 n=1 时,由 得 又 a1∈(0,2) , 解得 a1=1.由 可知 两式相减,得 即(an+1+an) (an+1﹣an﹣3)=0. 由于 an>0,可得 an+1﹣an﹣3=0, 即 an+1﹣an=3, 所以{an}是首项为 1,公差为 3 的等差数列. 所以 an=1+3(n﹣1)=3n﹣2.
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, .

,即

, . ,



2





an=3n



2







= 因为 所以 Tn+1>Tn,所以数列{Tn}是递增数列. 所以 所以实数 t 的最大值是 1. ,

. ,

18.如图,在平面四边形 ABCD 中, (1)若 (2) 若 与



的夹角为 30°,求△ABC 的面积 S△ABC; 为 AC 的中点,G 为△ABC 的重心(三条中线的交点) ,且 的值. 与

互为相反向量,求

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 (1)由条件利用两个向量的数量积的定义,求得 BA?BC 的值,可得△ ABC 的面积 S△ABC 的值. (2)以 O 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设 D (x,y) ,由条件求得点 B 的坐标,从而求得 【解答】解: (1)∵ ∴ ∴ , . 的值.

,∴BA?BCcos30°=32,

(2)以 O 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立如图所示的
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平面直角坐标系. 则 A(﹣2,0) ,C(2,0) ,设 D(x,y) , 则 , 因为 与 互为相反向量, 所以 , , =32,即 x2+y2=4. . . 因为 G 为△ABC

的重心,所以 即 B(﹣3x,﹣3y) ,∴ 因此 ∴

19.在如图所示的空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC,△ACD 与△ACB 是边长 为 2 的等边三角形,BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60°,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证:DE∥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;与二面角有关的 立体几何综合题. 【分析】 (Ⅰ)取 AC 中点 O,连接 BO,DO,由题设条件推导出 DO⊥平面 ABC, 作 EF⊥平面 ABC,由已知条件推导出∠EBF=60°,由此能证明 DE∥平面 ABC.
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(Ⅱ)法一:作 FG⊥BC,垂足为 G,连接 EG,能推导出∠EGF 就是二面角 E﹣ BC﹣A 的平面角,由此能求出二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值. 法二: 以 OA 为 x 轴, 以 OB 为 y 轴, 以 OD 为 z 轴, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 利用向量法能求出二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知,△ABC,△ACD 都是边长为 2 的等边三角形, 取 AC 中点 O,连接 BO,DO, 则 BO⊥AC,DO⊥AC,… 又∵平面 ACD⊥平面 ABC, ∴DO⊥平面 ABC,作 EF⊥平面 ABC, 那么 EF∥DO,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∵BE 和平面 ABC 所成的角为 60°, ∴∠EBF=60°, ∵BE=2,∴ ,…

∴四边形 DEFO 是平行四边形, ∴DE∥OF, ∵DE 不包含于平面 ABC,OF? 平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC.… (Ⅱ)解法一:作 FG⊥BC,垂足为 G,连接 EG, ∵EF⊥平面 ABC,∴EF⊥BC,又 EF∩FG=F, ∴BC⊥平面 EFG,∴EG⊥BC, ∴∠EGF 就是二面角 E﹣BC﹣A 的平面角.… Rt△EFG 中, ∴ . .… , , .

即二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值为

解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz, B(0, ∴ ,0) ,C(﹣1,0,0) ,E(0, ,0) , =(0,﹣1, , ) , ) ,

=(﹣1,﹣

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平面 ABC 的一个法向量为 设平面 BCE 的一个法向量为 则 ∴ 所以 ,∴ .… , ,

又由图知,所求二面角的平面角是锐角, 二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值为 .…

20.已知函数 (1)求函数 f(x)的单调区间及最值;



(2)若对? x>0,f(x)+g(x)>1 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证: .

【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间, 从而求出函数的最值即可; (2)问题转化为 a>(x+2)[1﹣ln(1+x)],令 h(x)=(x+2)[1﹣ln(1+x)],
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根据函数的单调性求出 a 的范围即可; x>0 时, (3) 当 a=2, 得: 依次令 k=1,2,3,…n,累加即可. 【 解 答 】 解 : ( 1 ) f ( x ) 的 定 义 域 为 , 令 , 得: ,

, 所以函数 f(x)的增区间为(﹣1,0) ,减区间为(0,+∞) , f(x)max=f(0)=0,无最小值. (2) , 令 h(x)=(x+2)[1﹣ln(1+x)]. 则 当 x>0 时,显然 所以 h(x)在(0,+∞)上是减函数. 所以当 x>0 时,h(x)<h(0)=2. 所以,a 的取值范围为[2,+∞) . (3)由(2)知,当 a=2,x>0 时, ,即 . . ,

在(*)式中,令 依次令 k=1,2,3,…n, 得

,得

,即





将这 n 个式子左右两边分别相加, 得 .

21.已知椭圆

,过点
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作圆 x2+y2=1 的切线,

切点分别为 S,T.直线 ST 恰好经过 Ω 的右顶点和上顶点. (1)求椭圆 Ω 的方程; (2)如图,过椭圆 Ω 的右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB,CD. ①设 AB,CD 的中点分别为 M,N,证明:直线 MN 必过定点,并求此定点坐标; ②若直线 AB,CD 的斜率均存在时,求由 A,C,B,D 四点构成的四边形面积的 取值范围.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)根据直线和圆的位置关系,可求出直线 ST 的方程,则直线 ST 恰好 经过 Ω 的右顶点和上顶点,求出 a,b 的值,问题得以解决 利用椭圆的离心率,以及,|AB|+|CD|=3.求出 a、b,即可求椭圆的方程; (2)①若直线 AB,CD 斜率均存在,设直线 AB:y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,根据中点坐标,以及韦达定理,即可求出 k 的值,即可求出点的坐标. ②当当直线 AB,CD 的斜率均存在且不为 0 时,由①可知,将直线 AB 的方程代 入椭圆方程中,利用韦达定理以及弦长公式,求出 AB,CD 即可求解面积的表达 式,通过基本不等式求出面积的最值. 【解答】解: (1)过 S(0,1) . 设另一条切线为 因为直线与圆 x2+y2=1 相切,则 所以切线方程为 由 ,解得 . , ,即 .解得 . . 作圆 x2+y2=1 的切线,一条切线为直线 y=1,切点

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直线 ST 的方程为







令 x=0,则 y=1 所以上顶点的坐标为(0,1) , 所以 b=1; 令 y=0,则 , ,

所以右顶点的坐标为 所以 ,

所以椭圆 Ω 的方程为



(2)①若直线 AB,CD 斜率均存在,设直线 AB:y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,则中点 先考虑 k≠0 的情形.由 . 得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0.

由直线 AB 过点 F(1,0) ,可知判别式△>0 恒成立. 由韦达定理,得 ,

故 将上式中的 k 换成 若

, ,则同理可得 .

,得 k=±1, .

则直线 MN 斜率不存在.此时直线 MN 过点

②当直线 AB,CD 的斜率均存在且不为 0 时,由①可知,将直线 AB 的方程代入 椭圆方程中,并整理得 (1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0, 所 以

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=



同理,







=



因为 所以 即 .

,当且仅当 k=±1 时取等号, ,

所以,由 A,C,B,D 四点构成的四边形面积的取值范围为



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2017 年 1 月 21 日

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