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2017年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单几何性质同步练习湘教版选修1_12017101932

2.1.2 椭圆的简单几何性质 1.椭圆 25x +9y =225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 C.5,3,0.6 2 2 ). D.10,6,0.6 2.(2010·广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆 的离心率是( 4 A. 5 ). 3 B. 5 2 C. 5 1 D. 5 x2 y2 3.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴, a b 直线 AB 交 y 轴于点 P.若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( A. 3 2 B. 2 2 1 C. 3 1 D. 2 ). ). x2 y2 x2 y2 4.已知椭圆 C: 2+ 2=1 与椭圆 + =1 有相同的离心率,则椭圆 C 可能是( a b 4 8 A. + =m (m≠0) 8 4 C. + =1 8 2 x2 y2 x2 y2 2 B. + =1 16 64 D.以上都不可能 x2 y2 5. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3 x2 y2 OP · FP 的最大值为( A.2 B.3 ). C.6 D.8 6.曲线 + =xy 关于__________对称. 3 4 x 2 y 2 x2 y2 x2 y2 y2 x2 7.已知椭圆 C: 2+ 2=1 与椭圆 + =1 有相同的长轴,椭圆 C 的短轴长与椭圆 + a b 25 16 21 9 =1 的短轴长相等,则 a =________,b =________. 8.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 · MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆的 离心率的取值范围是__________. 9.如图所示,已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 +y =1 的右焦点 F,交椭圆于 A,B 两点, 4 求弦 AB 的长. 2 2 x2 2 1 2 参考答案 1.B 2.B 因为 2a,2b,2c 成等差数列, 所以 2b=a+c. 又 b =a -c , 所以(a+c) =4(a -c ). 5 所以 a= c. 3 2 2 2 2 2 2 c 3 所以 e= = . a 5 3.D 解析:如图,设点 B 的坐标为(x,y). b2 由于 BF⊥x 轴,故 x=-c, y ? , a 设 P(0,t),∵ AP =2 PB , b2 ∴(-a,t)=2(-c, -t). a ∴a=2c,∴ c 1 ? . a 2 当点 B 在第三象限时, 同理可得 c 1 ? . a 2 2 2 x y 2 4.A 椭圆 + =1 的离心率为 . 4 8 2 把 + =m (m≠0)写成 2+ 2=1, 8 4 8m 4m 则 a =8m ,b =4m ,∴c =4m . 2 2 2 2 2 2 x2 y2 2 x2 y2 c 4m 1 2 ∴ 2= 2= .∴e= . a 8m 2 2 3 而 + =1 的离心率为 , 16 64 2 2 2 x2 y2 3 x2 y2 3 + =1 的离心率为 . 8 2 2 5.C 由题意,得 F(-1,0),设点 P(x0,y0), 则 y0=3(1- )(-2≤x0≤2), 4 2 x2 0 x0 1 2 2 2 2 2 所以 OP · FP =x0(x0+1)+y0=x0+x0+y0=x0+x0+3(1- )= (x0+2) +2. 4 4 所以当 x0=2 时, OP · FP 取得最大值为 6. 6.原点 同时以-x 代 x,以-y 代 y,方程不变,所以曲线关于原点对称. 7.25 9 ∵椭圆 + =1 的长轴长为 10,椭圆 + =1 的短轴长为 6,∴a =25,b 25 16 21 9 =9. 8.(0, 2 ) ∵ MF 1 · MF2 =0, 2 2 2 2 2 x2 y2 y2 x2 2 2 ∴点 M(x,y)的轨迹是以点 O 为圆心,F1F2 为直径的圆,轨迹方程为 x +y =c . 由题意知椭圆上的点在圆 x +y =c 外部. 设点 P 为椭圆上任意一点,则|OP|>c 恒成立. 由椭圆的性质,知|OP|≥b,其中 b 为椭圆短半轴长. ∴b>c.∴c <b =a -c . 2 2 2 2 2 2 2 c 2 1 2 2 ∴a >2c .∴( ) < . a 2 ∴e= < ∴0<e< c a 2 .又 0<e<1, 2 2 . 2 2 2 9.解:设 A,B 两点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),由椭圆方程,知 a =4,b =1, 则 c =3, 所以有 F( 3,0), 所以直线 l 的方程为 y=x- 3. 将其代入 +y =1,化简整理,得 5x -8 3x+8=0. 4 8 3 8 所以 x1+x2= ,x1x2= . 5 5 所以|AB|= 1+k |x1-x2|= 1+k · (x1+x2) -4x1x2 = 2× (8 3) -4×5×8 8 = . 5 5 2 2 2 2 2 x2 2 2 4


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