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【新】甘肃省会宁县一中2017-2018学年高二数学12月月考试题理

小中高 精品 教案 试卷

甘肃省会宁县一中 2017-2018 学年高二数学 12 月月考试题 理
考试说明:本试题满分:150 分;考试时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个选项符合要求) 1.在等比数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4, a6 ? 16 ,则 a4 ? ( A ) A. 8 B. ?8 C. ?8 D. 64

2.若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程 A.充分不必要

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线”的( A ) 条件. k ?3 k ?3
C.充要 D.既不充分也不必要

B.必要不充分

3.若双曲线

x2 y2 1 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,则 m 的值为(B ) 3 4?m m?2
B.

A. 1

7 4

C.

11 4

D. 5

4.已知双曲线方程为 x 2 ? 数共有( B ) A. 4 B. 3 C. 2

y2 ? 1,过点 P ?1,0? 的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 的条 4

D. 1

5.设 ?an ? 为等差数列,若 时的 n 值为( C ) A. 18

a11 ? ?1 ,且它的前 n 项和 Sn 有最小值,那么当 Sn 取得最小正值 a10

B. 19

C. 20

D. 21

6.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB| 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( D ) A. 2 B.3 C.2 D. 3

7.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的弦 AB 的中点坐标为 M ?1,1? ,则直线 AB 的方程为(A 8 4
B. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0



A. x ? 2 y ? 3 ? 0

8.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 A. 1 B. ? 1

a5 5 S ? ,则 9 ? ( A ) a3 9 S5
C. 2 D.

1 2

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小中高 精品 教案 试卷

x y 1 9.过点 M(1,1)作斜率为 ? 的直线与椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)相交于 A、B 两点,若 M 是线 2
段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于( A ) A.

2

2

2 2

B.

3 3
x2 y2

C.

1 2

D.

1 3

→ → 10. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则 OP· FP 4 3 的最大值为( A.6 A ) B.3 C.2 D. 1

11.设 F1、F2 分别是椭圆

x2 ? 4

y

2

? 1 的左、右焦点,P 是第一象限内该椭圆上的一点,且
D ).

PF1 ? PF2 ,则点 P 的横坐标为(
A.1 B.

8 3

C.

2 2

D.

2 6 3

12.设 和 分别是双曲线 ,且 A. B.

的左、右焦点.若双曲线上存在点 ,使 ,则双曲线的离心率为( B C. 3 D. )

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.命题“ ?x ? (0, 2), x ? 2 x ? 2 ≤ 0 ”的否定是
2

> .

14.已知 m 、 n 为正实数,向量 a ? ? m,1? , b ? ?1 ? n,1? ,若 a∥ b ,则 _ 3 ? 2 2 _____. 15. 已知数列 ?an ? 是等差数列, a4 ? a7 ? a10 ? 17 , a4 ? a5 ? a6 ?

1 2 ? 的最小值为 m n

? a12 ? a13 ? a14 ? 77 且

ak ? 13 ,则 k ? _____18___
16.与双曲线 x ?
2

y2 x2 y 2 ? 1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 ? ?1 4 3 12

三、简答题(第 17 题 10 分,其余每题 12 分)
2 17.已知命题 p : ?x ? R , sin x ? 1 ? a ? 0 ,命题 q : ?x0 ? R ,使得 x0 ? ? a ?1? x0 ?1 ? 0 .

2

若“ p 或 q 为真”,“ p 且 q 为假”,求实数 a 的取值范围.
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【参考答案】 a ? 3 或 ?1 ? a ? 1 【试题解析】当命题 p 为真命题时, a ? sin 2 x ? 1对 ?x ? R 成立,∴ a ? 1 ;
2 ∵ ?x0 ? R ,使得 x0 ? (a ?1) x0 ? 1 ? 0 成立,

2 ∴不等式 x ? ? a ?1? x ? 1 ? 0 有解,∴ ? ? ? a ? 1? ? 4 ? 0 ,解得 a ? 3 或 a ? ?1 .
2

∵ p 或 q 为真, p 且 q 为假,∴ p 与 q 一真一假. ① p 真 q 假时, ?1 ? a ? 1 ; ② p 假 q 真时, a ? 3 . ∴实数 a 的取值范围是 a ? 3 或 ?1 ? a ? 1 . 18.(本小题满分 12 分) 设 P 是圆 x +y =25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 4 上一点,且|MD|= |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5 解:(1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),
2 2

xP=x,
由已知得

yP= y,

5 4

?5 ?2 2 ∵P 在圆上,∴x +? y? =25, ?4 ?
即 C 的方程为 + =1. 25 16 5分 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x- 5 5 3), ………6 分 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5

x2

y2



x2
25



x-3
25

2

=1,即 x -3x-8=0.

2

……9 分

3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= . 2 2 ∴线段 AB 的长度为
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|AB|=

x1-x2

2

y1-y2

2



?1+16? x -x ? 25? 1 2 ? ?

2



41 41 ×41= . ……12 分 25 5

19.已知公差不为零的等差数列 ?an ? 满足: a1 ? 3 ,且 a1 , a4 , a13 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 Sn 表示数列 ?an ? 的前 n 项和,求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn . Sn

【参考答案】(1) an ? 2n ? 1;(2) Τ n ?

3 2n ? 3 ? . 4 2 ? n ? 1?? n ? 2 ?

【试题解析】(1)设数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0? ,
2 由题可知 a1 ? a13 ? a4 ,即 3 ? 3 ? 12d ? ? ? 3 ? 3d ? ,解得 d ? 2 ,
2

则 an ? 3 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ?1. (2)由(1)可知 Sn ? n ? n ? 2? , 则 Tn ?

1 1 1 ? ? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

?

1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? 3 2 4 3 5 n ? n ? 2? 2

?

1 1 ? ) n n?2

?

3 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? )? ? ? 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 ? n ? 1? 2 ? n ? 2 ? 3 2n ? 3 ? . 4 2 ? n ? 1?? n ? 2 ?

?

20.(本小题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 的左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围; x y 解:(1)设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0).由已知得:a= 3,c=2, x2 2 再由 a +b =c ,∴b =1,∴双曲线方程为 3 -y =1.
2 2 2 2 2 2

x2 (2)设 A(xA,yA),B(xB,yB),将 y=kx+ 2代入 3 -y2=1,

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小中高 精品 教案 试卷

得(1-3k )x -6 2kx-9=0.

2

2

? 2k ?x +x =16-3k <0, 由题意知? -9 ? ?x x =1-3k >0,
Δ =36(1-k )>0,
A B 2 A B 2

2

3 解得 3 <k<1.

3 ∴当 3 <k<1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 21.(12 分)在 △ABC 中, (a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b)sin B. (1)求 C; (2)若 △ABC 的外接圆半径为 2,试求该三角形面积的最大值. 【解析】(1)由 (a ? c)(sin A ? sin C) ? ( a ? b)sin B, 得 (a ? c)(a ? c) ? (a ? b)b ,

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? . ∵ ∴ a ? c ? ab ? b ,∴ a ? b ? c ? ab, ∴ cos C ? 2ab 2
2 2 2

2

2

2

0 ? C ? 180 , ∴ C ? 60 .
(2) S ?

1 1 3 ab sin C ? ? ab ? 4 3 sin A sin B ? 4 3 sin A sin(120 ? A) 2 2 2

= 4 3sin A(sin120 cos A ? cos120 sin A) = 6sin A cos A ? 2 3 sin A ? 3sin 2 A ? 3 cos 2 A ? 3
2

=2 3sin(2 A ? 30 ) ? 3, 当 2 A ? 30 ? 90 , 即 A ? 60 时, Smax ? 3 3.
22.(本小题满分 12 分) 若 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 是该椭圆 上的一个动点,且|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2 3. (1)求出这个椭圆的方程; → → (2)是否存在过定点 N(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,使OA⊥OB(其中 O 为坐 标原点)?若存在,求出直线 l 的斜率 k;若不存在,说明理由. 解:(1)依题意,得 2a=4,2c=2 3,所以 a=2,c= 3, ∴b= a -c =1. ∴椭圆的方程为 +y =1. 4
2 2

x2 y2 a b

x2

2

……………4 分 …………5 分

(2)显然当直线的斜率不存在,即 x=0 时,不满足条件. 设 l 的方程为 y=kx+2,

由 A、B 是直线 l 与椭圆的两个不同的交设 A(x1,y1),B(x2,y2),

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小中高 精品 教案 试卷

x2
由 4

+y =1,

2

消去 y 并整理,得

y=kx+2,
(1+4k )x +16kx+12=0.
2 2 2 2 2

………………7 分

∴Δ =(16k) -4(1+4k )×12=16(4k -3)>0, 3 2 得 k > .① 4 ……8 分 ………9 分

x1+x2=-

16k 12 2,x1x2= 2, 1+4k 1+4k

→ → → → ∵OA⊥OB,∴OA·OB=0, → → 2 ∴OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=x1x2+k x1x2+2k(x1+x2)+4 =(1+k )x1x2+2k(x1+x2)+4
2

…………11 分

2 12 ? 16k 2?+4=4 4-k =0, 2 =(1+k )· ? 2+2k?- 2 1+4k 1+4k ? 1+4k ?

∴k =4.② 由①②可知 k=±2,所以,存在斜率 k=±2 的直线 l 符合题意.……12 分
.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

2

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