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2019-2020学年度最新新版高中数学人教A版选修2-1课件:第二章圆锥曲线与方程2.4.2-PPT课件_图文

2.4.2 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形 对称轴 焦点 顶点 准线 离心率 x轴 p 2 ,0 原点(0,0) x=? p 2 e=1 x轴 p - 2 ,0 x= p 2 y轴 p 0, 2 y=? p 2 y轴 p 0,- 2 y= p 2 知识拓展(1)p 的几何意义是焦点到准线的距离,抛物线不是双曲线 的一支,抛物线不存在渐近线. (2)在抛物线 y2=2px(p>0)中,通过焦点且垂直于 x 轴的直线与抛 物线的两个交点的坐标分别为 2 , , 2 ,- , 连接这两点的线段 叫做抛物线的通径,它的长为 2p. 【做一做1】 设A为抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),且|AB|=1,则点 A的横坐标的值为( ) A.-2 B.0 C.-2或0 D.-2或2 解析:由抛物线y2=4x的焦点为B(1,0),且|AB|=1,准线为x=-1,结合 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离知,xA=0. 答案:B 【做一做 2】 抛物线 y=ax2(a≠0)的准线方程是 y=? 1 2 , 则 = ___________. 解析:抛物线标准方程为 x2= , 准线y=? 1 4 = ? 1 2 . 故a= 12. 答案: 1 2 1.直线与圆锥曲线的位置关系 剖析:直线与圆锥曲线的位置关系,可通过讨论直线方程与圆锥 曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定.若消去方程组中的 变量y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的 判别式,则有: Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点; Δ=0?直线与圆锥曲线相切; Δ<0?直线与圆锥曲线相离. 2.运用抛物线的定义解决问题 剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等 于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题, 可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离与点到准线的 距离相互转化,即|PF|=|x|+ 2 或|PF|=|y|+ 2 , 使问题简化. 知识拓展(1)直线与抛物线相交所得弦长的计算公式:|P1P2|= (1-2)2 + (1-2)2 = |1 ? 2| · 1 + 2 = |1 ? 2| · 1 + 1 2 , 其中P1(x1,y1),P2(x2,y2). (2)过焦点的直线交抛物线 y2=2px(p>0)于 A,B 两点. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p. 题型一 题型二 题型三 题型四 抛物线的定义与性质的应用 【例 1】 已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 2 9 + 2 16 = 1 短轴所在的直线, 抛物线的焦点到顶点的距离为 5, 求抛物线的方程. 分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴, 则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为5, ∴ 2 = 5, ∴ = 10. ∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x. 解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴. 则设抛物线的方程为y2=mx(m≠0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为5, ∴ 4 = 5, ∴ = ±20. 故所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思顶点在原点,对称轴为x轴的抛物线方程可设为y2=mx(m≠0),当 m>0时,开口向右;当m<0时,开口向左.顶点在原点,对称轴为y轴的 抛物线方程可设为x2=my(m≠0),当m>0时,开口向上;当m<0时,开口 向下.以上两种设法均可避开讨论抛物线的开口方向,焦点到准线 的 距离为 2 . 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点, 并且经过点M(4,-8),求它的标准方程. 解:由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0). ∵点M在抛物线上, ∴(-8)2=2p×4,解得p=8. 故所求抛物线的标准方程为y2=16x. 题型一 题型二 题型三 题型四 与抛物线有关的定值问题 【例2】 已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的一条弦.设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0).求证: (1)|AB|=2 0 + 2 ; (2)若 AB 的倾斜角为 θ,则|AB|= 2 sin2 ; (3)x1x2= 2 4 , 12 = ?2; (4) 1 || + 1 || 为定值 2. 题型一 题型二 题型三 题型四 分析:(1)利用中点坐标公式 x1+x2=2x0,而又有|AB|=x1+x2+p,联 立即可得证;(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,可设 y= - 2 为AB 的方程, 则与抛物线方程联立,即可求得 x1+x2,又 k=tan θ,经代入化简即可证 得;(3)由(2)得 x1·x2 为定值,再结合 y2=2px,可求得12 ·22为定值,则 y1y2=-p2 得证;(4)由抛物线的定义得|AF|=x1+ 2 , || = 2 + 2 , 则 1 || + 1 || = 1 1+2 + 1 2+2 , 化简并将x1+x2 和 x1x2 代入即可证明.注意 (2)(3)(4)还要分析 AB⊥x


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