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高中数学论文浅谈特例法在解题中的妙用

特例法的妙用

如果你认真研究近几年的高考数学题,你将会发现有些选择题,须用特例法求解。所谓 特例法,通俗来说就是一般的满足,特殊的也满足;即在一般情况下,可用特殊的情形来代 替一般情形。具体来说就是用特殊的值、向量、点、数列、函数、位置、图形来代替一般的 值、向量、点、数列、函数、位置、图形;从而达到快速解题的目的。下面我就高考题把特 例法做一总结,希望对你有所帮助。
一、 特殊值法

例 1 设 a ?1,且 m ? log a( a2 ?1) ,n ? loga (a ?1) , p ? loga (2a) ,则 m,n,p 的

大小关系为( )

A. n ? m ? p B. m ? p ? n C. m ? n ? p

解析:取 a=2,得答案 B

评注:所选取的特例要符合题设条件,且越简单越好。

例 2 若 0 ? x ? ? ,则下列命题中正确的是( ) 2

A. sin x ? 3 x ?

B. sin x ? 3 x ?

C. sin

x

?

4 ?2

x2

D. sin

x

?

4 ?2

x2

解析:取 x= ? ,排除 A,B,C,得 D 6
评注:一般情况下,特例法与排除法结合起来使用。

D. p ? m ? n

例 3 如果 ?A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2B2C2 的三个内角的正弦值,则
()

A. ?A1B1C1 和 ?A2B2C2 都是锐角三角形

B. ?A1B1C1 和 ?A2B2C2 都是钝角三角形

C. ?A1B1C1 是钝角三角形, ?A2B2C2 是锐角三角形

D. ?A1B1C1 是锐角三角形, ?A2B2C2 是钝角三角形
解析: 三角形中角的正弦值均为正
? ?A1B1C1 的三内角的余弦值也为正

? ?A1B1C1 是锐角三角形

?取

A1

?

? 4

,

B1

?

? 3

, C1

?

5? 12

;



A2

?

3? 4

,

B2

?

? 6

, C2

?

? 12

; 所以选

D

评注:所取的特例必须是我们非常熟悉的,越简单越好。

例 4 直线 y ? 2k 与曲线 9k2x2 ? y2 ?18k2 x (k ? R ,且k ? 0 )的公共点的个数为

()

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

解析:不妨取 k=1,将 y ? 2 代入 9x2 ? y2 ?18 x 得: 9x2 ? 4 ?18 x

? 9 | x |2 ?18 x ? 4 ? 0 ,显然该关于| x| 的方程有两正解,即 x 有四解,

所以交点有 4 个,故选择答案 D。

评注:任意不等于 0 的 k 都满足,k 取 1 当然满足;不要担心做错题。

例 5 已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( )

A.f(x1)<f(x2)

B.f(x1)=f(x2)

C.f(x1)>f(x2)

D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定

解析:取 a=1 得函数 f(x)=x2+2x+4,二次函数的图象开口向上,对称轴为 x ? ?1 ,∴

x1+x2=0,∴ x2 到对称轴的距离大于 x1 到对称轴的距离。 ∴ f(x1)<f(x2) ,选 A. 评注:0<a<3 中的任何一个值都满足题设,a=1 也满足。

例6

若数列{an } 满足:

a1

?

1 3

,

且对任意正整数 m, n 都有 am?n ? am ? an ,则

? lim
n??

a1 ? a2 ?

? an ? ? (



A. 1 2

B. 2 3

C. 3 2

D. 2

解析:数列{an } 满足:

a1

?

1 3

,

且对任意正整数 m, n 都有 am?n

? am ? an ;所以

a2

?

a1?1

?

a1

? a1

?

1 9

, an?1

?

an

? a1

?

1 3

an ,∴数列{an } 是首项为

1 3

,公比为

1 3

的等比数

列。 nl?im??(a1

?

a2

???

an )

?

a1 1? q

?

1 2

,选

A.

评注:任意正整数 m, n 都有 am?n ? am ? an ,取 m=1 又未尝不可。
二、 特殊向量法
例 1 如图, 已知正六边形 P1P2P3P4P5P6 ,下列向量的数量积中最大的是( )

(A) P1P2 ? P1P3

(B) P1P2 ? P1P4

(C) P1P2 ? P1P5

(D) P1P2 ? P1P6

解析:如图:不妨设正六边形 P1P2P3P4P5P6 边长为 1,
a1
根据正六边形的性质,得答案为 A 评注:特例越简单越好,越方便越好。

P5 P6
P1

P4 P3
P2

例 2 设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 ? a2 ? a3 ? 0 。如果向量 b1 、 b2 、 b3 ,满足

bi ? 2 ai ,且 ai 顺时针旋转 30o 后与 bi 同向,其中 i ? 1, 2,3 ,则(

)

A. ?b1 ? b2 ? b3 ? 0

B. b1 ? b2 ? b3 ? 0

C. b1 ? b2 ? b3 ? 0

D. b1 ? b2 ? b3 ? 0

解析:∵ a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,∴不妨取 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ,且 a1 起点在原点,在 x 轴正半

轴上;则向量 a1 、 a2 、 a3 顺时针旋转 30? 后与 b1 、 b2 、 b3 同向,且 bi ? 2 ai =2,

∴ b1 ? b2 ? b3 ? 0 ,选 D.
评注:一般问题特殊化,不会失去一般性。 三、 特殊点法
例 1 函数 y ? 1? x ( 0 ? x ? 4)的反函数是( )

(A) y ? (x ?1)2 (1? x ? 3 )

(B) y ? (x ?1)2 ( 0 ? x ? 4)

(C) y ? x2 ?1(1? x ? 3 )

(D) y ? x2 ?1( 0 ? x ? 4)

解析:原函数经过(4,3)点,它的反函数经过(3,4)点;排除 C,D;再根据原函数

是增函数,得值域为?1,3?,故反函数的定义域为?1,3?;选 A

评注:最快最简单的方法就是最好的方法。

例 2 设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,

则|FA|+|FB|+|FC|=(



(A)9

(B) 6

(C) 4

Y (D) 3

. y2=4x
B

解析: 焦点F ?1.0? ,不妨取 A(0,0)

则 FB ? FC ? (1, 0) ,即 FD =1;做平行四边形 FCDB

A

∵抛物线关于 x 轴对称 ∴|FB|=|FC|,即 FCDB 为菱形

∴FD⊥BC,即 B,C 两点的横坐标均为32;得B???3 2,6???;C???3 2,- 6???

..

.F

DX

C
.

∴|FA|+|FB|+|FC|=1+5=6;故选 B 评注:此题若分析出点 F 为△ABC 的重心,则解法就更简单了。若分析不出, 此法也
不错。 四、 特殊数列法

例 1 如果数列?an? 是等差数列,则( )

(A) a1 + a8 < a4 + a5

(B) a1 + a8 = a4 + a5

(C) a1 + a8 ? a4 + a5

(D) a1 a8 = a4 a5

解析:取an=n,得答案为 B
五、 特殊函数法
例 1 定义在 R 上的函数 f (x) 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若

将方程 f (x) ? 0 在闭区间[?T,T ] 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为( )

A.0

B.1

C.3

D.5

解析:联想满足题设的函数,我们取 f (x) ? sin x, 则答案为 D。

评注:千万别担心,你的特例太简单了,会把题做错。只要满足题意,越简单越好。

例 2 设 f (x) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是

(A) f (x) f (?x) 是奇函数

(B) f (x) f (?x) 是奇函数

(C) f (x) ? f (?x) 是偶函数 (D) f (x) ? f (?x)是偶函数

解析:取 f (x) ? x ,排除 A、C.再取 f (x) ? x2 ,排除 B;故选择答案 D。

评注:取特例取我们最熟悉的,这样有利于解题。

例 3 设函数 f (x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f (x) 在 x ? 5 处的切

线的斜率为( )
A. ? 1 5

B. 0

C. 1 5

D. 5

解析:联想满足题设的函数,我们取

f

(x)

?

cos

? ??

2? 5

x

? ??

,

则答案为

B

评注:以 5 为周期的可导偶函数,你不得不想到三角函数
例 4 设函数 f (x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? 1 , 2

f (x ? 2) ? f (x) ? f (2), 则 f (5) ? ( )

A.0

B.1

C. 5 2

D.5

解析:根据题意,联系我们学过的所有函数。只有一次函数 f(x)=kx 满足

题设∴ f (1) ? k ?1 ? 1 ,得 k ? 1 ;∴ f (x) ? 1 x ;得 f (5) ? 5 ;故选 C

2

2

2

2

评注:很多抽象函数都以我们学过的函数为模型,同学们可以认真体会与总结。

例 5 对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1) f ?(x)?0,则必有( )

A. f(0)+f(2)?2f(1)

B. f(0)+f(2)?2f(1)

C. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1)

解析:依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1

时,f?(x)?0,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,联想我

们学过的函数,取 f (x) ? ? x ?1?2 ,排除 A,B;再想若 f (x) 为常值函数也满足题意;故选 C

评注:当取一个特例不能排除所有的错误项,且剩余项还十分相近时,应全面考虑;做 到不重复也不遗漏。
六、 特殊位置法
例 1 设三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为V , P、Q 分别是侧棱 AA1 、 CC1 上的点,且

PA ? QC1 ,则四棱锥 B ? APQC 的体积为( )

A 1V 6

B 1V 4

C 1V 3

D 1V 2

解析:不妨取正三棱锥且满足 PA ? QC1 , 不妨取 PA ? QC1 =0;

?Q

P?

P

此时 VB ? APQC

? VB? AC1C

? VC1? ABC

?V 3

B

评注:满足题意的点 P 和 Q 有无穷多个,特殊位置也不止一个;比如 P 和 Q 都取中点,

也能得到答案;但过程较繁。取 PA ? QC1 =0,使得 P 与 A 重合;Q 与 C1 重合,特例推到
极限情形,问题就相当简单了。故特例只要满足题意,越简单越好。 例 2 已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长
为 2,则两圆的圆心距等于( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

解析:如右图,不妨设其中一个面过球心,

则圆心距= 22 ?12 ? 3
评注:高考题不怕你做不到,就怕你想不到。

B
O'
o A

七、 特殊图形法
例 1 给定函数 y ? f (x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式

an?1 ? f (an ) 得到的数列{an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是
()

A

B

C

D

解析:∵ an?1 ? an ,即f (an ) ? an

则若 x ? (0,1)有f (x) ? x ;
根据函数与不等式之间的关系得,
y ? f (x) 的函数图像应在 y ? x 的上方
∴答案为 A 评注:这道题目,是当年辽宁卷的压轴选择题;大多数学生感到无从下手,没有抓住问 题的实质;结果弄错了答案,丢了分。如果解题时,你感到题目特别难、无从下手时,是不 是要用特例法了。切记,切记! 特例法在高考中考的并不多,一旦考上,往往是大多数学生失分的题目;高考不但考知 识、能力,还考你对数学思想的理解和应用程度;一般与特殊的思想是高考考纲要求的数学 思想,同学们应掌握这种数学思想的解题技巧,并会灵活应用它。



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