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【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第九章 平面解析几何9.5


第 5 讲 曲线与方程

基础巩固 1.(2012·福建泉州质检)方程 x2+xy=x 表示的曲线是( A.一个点 C.两条直线 【答案】C 【解析】方程变形为 x(x+y-1)=0,即 x=0 或 x+y-1=0, 故方程表示直线 x=0 或直线 x+y-1=0. 2. 已知两个定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所围成的 图形的面积等于( A.π B.4π C.8π D.9π 【答案】B 【解析】设 P(x,y),则由题意得=2,整理得 x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,所以轨迹是一个以(2,0)为圆心,2 为 半径的圆,其围成的图形的面积等于 4π . 3.已知||=3,A,B 分别在 y 轴和 x 轴上运动,O 为原点,=+,则动点 P 的轨迹方程是( A.+y2=1 B.x2+=1 C.+y2=1 D.x2+=1 【答案】A 【解析】设 A(0,y0),B(x0,0),P(x,y),则由||=3 得+=9, 又因为=(x,y),=(0,y0),=(x0,0), 由=+得 x=,y=,因此,x0=,y0=3y,将其代入+=9 得+y2=1. 4.已知动圆 P 与定圆 C:(x+2)2+y2=1 相外切,又与定直线 l:x=1 相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程为( A.y2=-4x C.y2=-8x B.y2=4x D.y2=8x ) ) ) B.一条直线 D.一个点和一条直线 )

【答案】C 【解析】由于动圆 P与定圆 C:(x+2)2+y2=1 相外切,又与定直线 l:x=1 相切,所以动圆的圆心 P 到点(-2,0)的 距离比到直线 l:x=1 的距离大 1,从而动圆的圆心 P 到点(-2,0)的距离与到直线 l:x=2 的距离相等,由抛物线 的定义知动圆的圆心 P 的轨迹为抛物线,其方程为 y2=-8x. 5.方程 x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,当 0<a<1 时表示一封闭曲线,那么原点( A.在曲线外 B.在曲线上 C.在曲线内 【答案】A 【解析】方程可化为(x+a)2+(y+1)2=2a,表示以(-a,-1)为圆心,为半径的圆.∵原点到 圆心的距离等于,大 于,∴原点在曲线外. 6.已知点 A(-2,0),B(3,0),动点 P(x,y)满足·=x2-6,则点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】D 【解析】∵=(-2-x,-y),=(3-x,-y), 又·=x2-6, ∴(-2-x)(3-x)+(-y)2=x2-6,化简得 y2=x. 7.已知动圆 P 与圆(x+2)2+y2=4 外切,又与直线 x-2=0 相切,则动圆圆心 P 点的轨迹方程为( A.y2=12(x -1) B.y2=-12(x-1) C.y2=-8x 【答案】B 【解析】设点 P(x,y),由题意可得=4-x,整理,得 y2=-12(x-1). 8.方程( x+y-1)=0 所表示的曲线是 . D.y2=6(x-1) ) ) D.与曲线的位置不确定 )

【答案】直线 x=1 或射线 x+y-1=0(x≥1) 【解析】由方程(x+y-1)=0 可得或即 x+y-1=0(x≥1)或 x=1.∴方程表示的曲线是直线 x=1 和射线 x+y1=0(x≥1). 9.已知圆的方程为 x2+y2=4,若抛物线过点 A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程 是 . 【答案】+=1(y≠0) 【解析】设抛物线焦点为 F,过 A,B,O 作准线的垂线 AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得 |AA1| +|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4.故 F 点的轨迹是以 A,B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端 点). 10.直线+=1 与 x 轴、y 轴相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的轨迹方程是 . 【答案】x+y =1(x≠0,x≠1) 【解析】(参数法)直线+=1 与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为 A(a,0),B(0,2-a),线段 AB 的中点为 M(x,y),则 x=,y=1-,消去 a,得 x+y=1, ∵a≠0,a≠2, ∴x≠0,x≠1. 11. 如图所示,线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O,|AB|=2a(a>0),|CD|=2b(b>0),动点 P 满足 |PA|·|PB|=|PC|·|PD|,求动点 P 的轨迹方程. 【解】以 O 为坐标原点,直线 AB,CD 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系. 设 P(x,y)是曲线上的任意一点, 则 A(-a,0),B(a,0),C(0,-b),D(0,b), 由题意知,|PA|·|PB|=|PC|·|PD|, ∴· =·. 化简,得 x2-y2=. 12.设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且=2,⊥.当 点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹方程. 【解】设 M(a,0),P(0,b),动点 N(x,y),则=(x-a,y),=(-a,b),=(1,-b). ∵=2,⊥.∴且-a-b2=0.上述两式消去 a,b,得 y2=4x. ∴动点 N 的轨迹方程为 y2=4x. 13.一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切 ,同时与圆 x2+y2-6x-91=0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什 么曲线. 【解】如图所示, 设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R.设已知圆的圆心分别为 O1,O2,将圆的方程分别配方,得(x+3)2+y2=4,(x3)2+y2=100, 当动圆与圆 O1 相外切时,有 |O1M|=R+2.① 当动圆与圆 O2 相内切时,有|O2M|=10-R.② 将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|, 即动圆圆心 M(x,y)到点 O1(-3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12, 所以点 M 的轨迹是焦点为 O1(-3,0),O2(3,0), 长轴长等于 12 的椭圆. 由 2c=6,2a=12,得 c=3,a=6,从而 b2=36-9=27, 故动圆圆心轨迹的方程为+=1,轨迹为椭圆. 拓展延伸

14.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点 运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和,求点 P 的轨迹 C. 【解】设点 P 的坐标为(x,y),则 d=4+3|x-2|. 由题设可知 d=x+18,即 4+3|x-2|=x+18.① 当 x>2 时, 由①得=6-x,化简得+=1. 当 x≤2 时,由①得=3+x,化简得 y2=12x. 故点 P 的轨 迹 C 是椭圆 C1:+=1 在直线 x=2 的右侧部分与抛物线 C2:y2=12x 在直线 x=2 的左侧部分(包括它与 直线 x=2 的交点)所组成的曲线.



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