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【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第三章 导数3.1


第三章 第1讲 1.下列求导运算正确的是( A.'=1+ B.(log2x)'= C.(3x)'=3x·log3e 【答案】B D.(x2cos x)'=-2xsin x )

导数

导数的概念及其运算

【解析】由于'=1-,(3x)'=3xln3, (x2cos x)'=2xcos x-x2sin x,从而可知仅 B 项正确. 2.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x 2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x2-a2) 【答案】C 【 解析】f'(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). 3.若函数 f(x)=在点(x0,f(x0))处的切线平行于 x 轴,则 f(x0)等于( A.B. C. D.e2 【答案】B 【解析】∵与 x 轴平行的切线,其斜率为 0, ∴f'(x0)===0,从而可得 x0=e.故 f(x0)=. 4.已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 切于点(1 ,3),则 b 的值为( A.3 B.-3 C.5 D.-5 【答案】A 【解析】∵对 y=x3+ax+b 求导,得 y'=3x2+a, ∴k=y'|x=1=3+a. 又点(1,3)为切点,∴解得 b=3. 5.函数 f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f'(x),g'(x)满足 f'(x)=g'(x),则 f(x)与 g(x)满足 ( ) A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0 C.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数 【答案】C 【解析】因为由 f'(x)=g'(x)可得 f'(x)-g'(x)=0,即[f(x)-g(x)]'=0,所以 f(x)-g(x)=C(C 为常数). 6.已知二次函数 f(x)的图象如图甲所示,则其导函数 f'(x)的图象大致形状是( 甲 【答案】B 【解析】设二次函数为 y=ax2+b(a<0,b>0),则 y'=2ax, 又∵a <0,∴应选 B. 7.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s=t3-t2+2t,那么速度为零的时刻是( A.0 秒 B.1 秒末 C.2 秒末D.1 秒末和 2 秒末 【答案】D 【解析】∵s=t3-t2+2t,∴v=s'(t)=t2-3t+2. 令 v=0 得 t2-3t+2=0,解得 t1=1,t2=2. 8.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 f(x)=x3+3x2-1 相切的直线方程是 【答案】3x+y+2=0 . ) ) ) ) D.3 (x2+a2) )

【解析】设切点的坐标为(x0,+3-1),则由切线与直线 2x-6y+1=0 垂直,可得切线的斜率为-3,又 f'(x)=3x2+6x, 故 3+6x0=-3,解得 x0=-1,于是 切点坐标为(-1,1),从而得切线的方程为 3x+y+2=0. 9.(2012·课标全国卷,13)曲线 y=x(3ln x +1)在点(1,1)处的切线方程为 【答案】4x-y-3=0 4x-y-3=0. 10.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1'(x),f3(x)=f2'(x),…,fn(x)=fn-1'(x)(n∈N*,n≥2),则 f1+f2+…+f2012= . 【答案】0 【解析】f2(x)=f1'(x)=cos x-sin x, f3(x)=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x). 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, ∴f1+f2+…+f2012=f1+f2+f3+f4=0. 11.求下列函数的导数: (1)y=x2si n x;(2)y=;(3)y=cos2(x2- x). 【解】(1)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x. (2)方法一:y'= ==. 方法二:∵y==1+, ∴y'=1'+',即 y'=. (3)y'=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]' =2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)' =2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1) =-(2x-1)sin2(x2-x). 12.已知函数 f(x)=x2-aln x(a∈R).若函数 f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值. 【解】因为 f'(x)=x-(x>0), 又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b, 所以解得 a=2,b=-2ln2. 13.已知函数 f(x)=x3-3x 及曲线 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和曲线 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方 程; (2)求使直线 l 和曲线 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线方程. 【解】(1)由 f(x)=x3-3x 得 f'(x)=3x2-3,过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 f'(1)=0, 故所求的直线方程为 y=-2. (2)设过点 P (1,-2)的直线 l 与曲线 y=f(x)切于另一点(x0,y0),则 f'(x0)=3-3.又直线过点(x0,y0),P(1,-2), 故其斜率可表示为=. 由题意知=3-3, 即-3x0+2=3(-1)(x0-1), 解得 x0=1(舍去)或 x0=-, 因此所求直线的斜率为 k=3=-. 故所求直线的方程为 y-(-2)=-(x-1),即 9x+4y-1=0. 拓展延伸 14.已知函数 f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12 和直线 m:y=kx+9,又 f'(-1)=0. (1)求 a 的值. (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线?如果存在,求出 k 的值;如果不 存在,请说明理由. 【 解】(1)∵f'(x)=3ax2+6x-6a,f'(-1)=0, .

【解析】因为 y'=3ln x+4,所以 y'|x=1=4.故曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=4(x-1),化为一般式方程为

即 3a-6-6a=0,∴a=-2. (2)由于直线 m 恒过定点(0,9),先求直线 m 是曲线 y=g(x)的切线,设切点为(x0,3+6x0+12), ∵g'(x0)=6x0+6, ∴切线方程为 y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0). 将点(0,9)代入,得 x0=±1, 当 x0=-1 时,切线方程为 y=9; 当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9. 由 f'(x)=0 得-6x2+6x+12=0,即有 x=-1 或 x=2, 当 x=-1 时,曲线 y=f(x)的切线方程为 y=-18; 当 x=2 时,曲线 y=f(x)的切线方程为 y=9. 因此公切线方程是 y=9. 又由 f'(x)=12 得-6x2+6x+12=12, ∴x=0 或 x=1. 当 x=0 时,曲线 y=f(x)的切线方程为 y=12x-1 1; 当 x=1 时,曲线 y=f(x)的切线方程为 y=12x-10, 但公切线方程不是 y=12x+9. 综上所述,存在 k 值能使直线 m 为曲线 y=f(x)及 y=g(x)的切线,此时 k=0,切 线方程为 y=9.



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