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广东省11大市2013届高三数学(理)一模试题分类汇编9:三角函数


广东省 11 大市 2013 届高三数学(理)一模试题分类汇编
三角函数
一、选择、填空题 1 、 ( 广 州 市 2013 届 高 三 3 月 毕 业 班 综 合 测 试 试 题 ( 一 ) ) 函 数
y ?

?sin x

? cos x ? ? sin x ? cos x? 是

? ?? A.奇函数且在 ? 0, ? 上单调递增 ? 2? ? ?? C.偶函数且在 ? 0, ? 上单调递增 ? 2?

B.奇函数且在 ?

??

? ,? ? 上单调递增 ?2 ? ?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ?

D.偶函数且在 ?

答案:C 2、(江门市 2013 届高三 2 月高考模拟)在 ? ABC 中,若 ? A ?
AB ? 6 2 ,则 AC ?
5 12

? ,?B ?

1 4

? ,

A. 3 答案:D

B. 2 3

C. 3 3
?
4

D. 4 3

3、 (揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟) x ? 当 取得最小值,则函数 y ? f (
3? 4 ? x) , 0) 对称

时, 函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0)

A.是奇函数且图像关于点 (

?
2

B.是偶函数且图像关于点 (? , 0) 对称 D.是偶函数且图像关于直线 x ? ? 对称

C.是奇函数且图像关于直线 x ? 答案:C

?
2

对称

4、(梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)函数 y ? sin( x ? 原来的
1 2

?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到

倍(纵坐标不变),右平移
?
4

?
3

个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为

A、 x ? ? C、 x ?
?
8

B、 x ? ? D、 x ?
?

?
2

4

答案:B 5、(汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评)把函数 y=cos2x+l 的图像上所有点的横坐标 伸长到原来的 2 倍〔纵坐标不变),然后向左 平移 l 个单位长度.再向下平移 1 个单位长度.得到的图像是

答案:A 6、(韶关市 2013 届高三调研考试)△ABC 中,角 A,B,C 所对边 a,b,c,若 a=3,C= 120°,△ABC 的面积 S=
15 3 4

,则 c=(



A、5 答案:D

B、6

C、 3 9

D、7

7、(深圳市2013届高三2月第一次调研考试)化简 sin 2013? 的结果是 A. sin 33? ? 答案:C 8、(肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟考试)在 ?ABC 中, AC ?
?B ? 60? ,则 ?ABC 的面积等于__▲__.
7学科网 ,BC=2,

B. cos 33? ?

C. ? sin 33? ?

D. ? cos 33?

答案:

3 3 2
? ?

9、(佛山市 2013 届高三教学质量检测(一))函数 y ? s in x ? s in ? x ? 为 ,最大值是 .

? ?

? 的最小正周期 3 ?

答案: 2 ? (2 分), 3 (3 分) 10、(茂名市 2013 届高三第一次高考模拟考试)已知函数 y ? sin x ? cos x ,则下列结论 正确的是( )
?
4

A. 此函数的图象关于直线 x ? ? C. 此函数在区间 ( ? 答案:C
? ?
, 4 4

对称

B. 此函数的最大值为 1 D. 此函数的最小正周期为 ?

) 上是增函数

11、(湛江市 2013 届高三高考测试(一))在△ABC 中,∠A=

?
3

,AB=2,且△ABC 的面

积为

3 2

,则边 AC 的长为

A、1

B、 3

C、2

D、1

答案:A 二、解答题 1、 (广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一))已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小正周 期为 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式;
O (2) 若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , 为坐标原点, 求△ POQ 的

?
4

)

面积. (1)解:∵ f ( x) 的最大值为2,且 A ? 0 , ∵ f ( x) 的最小正周期为 8 , ∴ f ( x) ? 2 sin(
?
4 x?

∴A? 2.
2? ? 8 ,得 ? ?

…………1分
?
4

∴T ?

?

.

……2 分

?
4

).

…………3 分
?? ?

(2)解法 1:∵ f (2) ? 2 sin ?

?? ?2

?

? ? 2 cos ? 4? 4

2,

……………4 分

?? ? ? f (4) ? 2 sin ? ? ? ? ? ?2 sin ?? 2, 4? 4 ?

………5 分

∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ?
6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .
2 2 2

…8 分

∴ cos ?POQ ?

OP

? OQ

2

? PQ

2

?

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ?
2 6 ?3 2

2

?

3 3

.…10 分

2 OP OQ

∴ sin ?POQ ? ∴
1 2

1 ? cos ?POQ ?
2

6 3

. 面
6 3

………11 分 积 为



POQ



S ?

OP OQ sin ?

POQ ?

1 2

?

6 ? 3

2?

? 3 2.

………12 分

解法 2:∵ f (2) ? 2 sin ?

?? ?2

?

??

? ? 2 cos ? 4? 4

?

2,

…………4 分

?? ? ? f (4) ? 2 sin ? ? ? ? ? ?2 sin ?? 2, 4? 4 ?

………5 分

∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) .
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OP ? OQ ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? ???? ? ? OP OQ 6 6 ?3 2 ?
??? ? ??? ?

……8 分
3 3

.

……10 分

∴ sin ?POQ ? ∴
1 2

1 ? cos ?POQ ?
2

6 3

. 面
6 3

………11 分 积 为



POQ



S ?

OP OQ sin ?

POQ ?

1 2

?

6 ? 3

2?

? 3 2.

………12 分 解法 3:∵ f (2) ? 2 sin ?
?? ?2 ?

??

? ? 2 cos ? 4? 4

?

2,

……………4 分

?? ? ? f (4) ? 2 sin ? ? ? ? ? ?2 sin ?? 2, 4? 4 ?

……………5 分

∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) .
2 2
4 ? 2 3

∴直线 OP 的方程为 y ?

x ,即 x ?

2y ? 0.

………7 分

∴点 Q 到直线 OP 的距离为 d ?

? 2 3.

…………9 分

∵ OP ?

6,
1 2 1 2

…………11 分

∴△ POQ 的面积为 S ?

OP ? d ?

?

6 ? 2 3 ? 3 2.
5? 6

………12 分

2、 (江门市 2013 届高三 2 月高考模拟) 已知函数 f ( x ) ? A sin( 2 x ? 的最小值为 ? 2 .

)( A ? 0 ,x ? R )

⑴求 f ( 0 ) ; ⑵若函数 f ( x ) 的图象向左平移 ? ( ? ? 0 )个单位长度,得到的曲线关于 y 轴对称, 求 ? 的最小值. 解:⑴因为函数 f ( x ) ? A sin( 2 x ? 所以 A = 2 , f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ?
5? 6 5? 6 ) ……2 分, f (0 ) = 2 sin 5? 6 ? 1 ……4 分 ) ( A ? 0 , x ? R )的最小值为 ? 2 ,

⑵函数 f ( x ) 的图象向左平移 ? ( ? ? 0 )个单位长度, 得 y ? 2 s in [ 2 ( x ? ? ) ?
5? 6 ] ……6 分 ] 的图像关于 y 轴对称,

因为 y ? 2 s in [ 2 ( x ? ? ) ? 所以 2 ( 0 ? ? ) ? 解得 ? ? ?
?
6 ? 5? 6 k? 2 ?

5? 6

?
2

? k ? , k ? Z ……8 分

, k ? Z ……10 分

因为 ? ? 0 ,所以 ? 的最小值为

?
3

……12 分

3、(揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为
a, b, c ,且满足 c sin A ?

3a cos C .

(1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? sin( B ?
?
2 ) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

解:(1)由 c sin A ? 3a cos C 结合正弦定理得,

a sin A

?

c 3 cos C

?

c sin C

----2 分





s i nC ?

3 c oC s



tan C ?

3



-----------------------------------------------4 分 ∵
0?C ??





C?

?
3



--------------------------------------------------------------6 分 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 2? B? ? A -------------------------------------------------------------7 分
3


3 sin A ? sin( B ?

?
2

)?

3 sin A ? cos B ---------------------------------------8 分 ? 3 sin A ? cos( 2? 3 ? A)

?

3 sin A ? cos

2? 3

cos A ? sin

2? 3

sin A ------9 分

?

3 2

sin A ?

1 2

cos A ? sin( A ?

?
6

) --------------10

分 ∵0 ? A ? 当
A?
2? 3

,∴
?
2

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

?
6

?





3 sin A ? sin( ? B

?
2

)













------------------------------11 分 此 时 ? ? . --------------------------------------------------------------A? ,B ?
3 3

--------12 分 4、(梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,满足 3 sin C cos C ? cos 2 C ? (1)求角 C (2)若向量 m ? (1, sin A) 与 n ? (2, sin B ) 共线,且 c=3,求 a、b 的值。
?? ?

1 2



5、 (汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评)△ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 向 量 m ? (2 sin
?? A 2 ? ?? ? 2 A n ? (cos A, 2 cos ? 1) ,且 m ? n 。 4 , 3) ,

(I)求角 A 的大小; (II)若 a ?
7 且△ABC 的面积为
3 3 2

,求 b 十 c 的值。

?

?

解:(1)? m// n
? 3 cos A ? 2 sin

? 3 cos A ? 2 sin A 2 ( 2 cos
2

A 2

( 2 cos A 2

2

A 4 A 2

? 1) …………………… …(2 分) ? sin A ……………… ………(4 分)

A 4

? 1) ? 2 sin ?A? 1 2

cos

? tan A ?

3

又 A ? (0, ? )
1 2

?
3

………………………………………………(6 分)
?
3 ? 3 2 3 …………………………………(8 分)

(2) ? S ?ABC ?

bc sin A ?

bc sin

? bc ? 6 ……………………………………………………………………(9 分)

由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos
2

?
3

………………………………………(10 分)

? (b ? c ) ? 7 ? 3bc ? 25 …………………………………………………………(11 分)

? b ? c ? 5 …………………………………………………………………(12 分) ? 6、(韶关市 2013 届高三调研考试)函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? )( A ? 0 , ? ? 0 ) 的部分图象 4

如右所示。 (1)求函数 f(x)的解析式 (2)设 ? ? (
?
2 , ? ) ,且 f (

?
2

?

?
8

)?

6 5

,求 tan ? 的值。

解:(1)由图可知 T= ? = 所以 f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ?
?
2 ?

2?

?

,所以, ? =2,A=2

?
4

)

(2) f (

?
8

) ? 2 s in ( ? ? 3 4

?
4

?

?
4

)?

6 5

,即 sin ? ?

3 5

,又 ? ? ( , ?) ,所以 c o s ? ? ?
2

?

4 5



所以 tan ? = ?

7、 (深圳市 2013 届高三 2 月第一次调研考试) 已知函数 f ( x) ? 2 sin( 点 A 、 B 分别是函数 y ? 图像上的最高点和最低点. (x) f

πx 6

?

π 3

)(0 ? x ? 5) ,

(1)求点 A 、 B 的坐标以及 OA ? OB 的值; (2)设点 A 、 B 分别在角 ? 、 ? 的终边上,求 tan(? ? 2 ? ) 的值.

【解析】(1)? 0 ? x ? 5 , ?
??

?
3

?

πx 6

?

π 3

?

7π 6



1 2

? sin( πx 6 πx 6 ? ? π 3 π 3

πx 6 ? ?

? π 2

π 3

) ? 1. πx 6 ? π 3 ? π 3 )?? 1 2 ) ? 1 , f (x ) 取得最大值 2 ;

当 当

,即 x ? 1 时, sin(

7π 6

,即 x ? 5 时, sin(

πx 6

, f (x) 取得最小值 ?1 .

因此,点 A 、 B 的坐标分别是 A(1, 2) 、 B (5, ? 1) .
??? ??? ? ? ? OA ? OB ? 1? 5 ? 2 ? (?1) ? 3 .

(2)? 点 A(1, 2) 、 B (5, ? 1) 分别在角 ? 、 ? 的终边上,
? tan ? ? 2 , tan ? ? ?
1 5



1 2 ? (? ) 5 ?? 5 , ? tan 2 ? ? 1 2 12 1 ? (? ) 5 ) 12 ? 29 . 5 2 1 ? 2 ? (? ) 12 2 ? (? 5

? tan(? ? 2 ? ) ?

【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,三角恒等变 换,以及平面向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 8 、 ( 肇 庆 市 2013 届 高 三 3 月 第 一 次 模 拟 考 试 ) 已 知 函 数 ? 时取得最大值 2. f ( x ) ? A sin( 4 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ?
16

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的解析式;
? ? ?

(3)若 ? ? ? ?

?? ? ? 6 ? ? ?1 ,0 , f ? ? ? ? ? ,求 sin ? 2? ? ? 的值. ? 4? 2 ? 16 ? 5 ? ?4
2? 4 ?

解:(1) f ( x) 的最小正周期为 T ?

?
2

(2 分) (3 分)

(2)由 f ( x) 的最大值是 2 知, A ? 2 ,
? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 ,即 sin ? ? ? ? ? 1 , ? ? 2 sin ? 4 ? 16 ? 16 ? ? ? ?4 ?

又 f ( x) max ? f ?

(4 分)

∵ 0 ? ? ? ? ,∴

?
4

?

?
4

?? ?

5? 4

,∴

?
4

?? ?

?
2

,∴ ? ?

?
4

(5 分) (6 分)

∴ f ( x) ? 2 sin(4 x ?

?
4

)

(3)由(2)得 f ? ? ?
?4

?1

? ?1 ? ? ?? 6 ? ? 2 sin ? 4 ? ? ? ?? ? ? , 16 ? 16 ? 4 ? 5 ? ?4
3 5
2

? ?

即 sin(? ?

?
2

)?

3 5

,∴ cos ? ?



(7 分)

4 ?3? ? ? ? ∵ ? ? ? ? , 0 ? ,∴ sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5? ? 2 ?

(8 分)

∴ sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ? ? ?
?
2

?

4? 3 24 ?? ? ? 5? 5 25

(9 分)

7 ?3? cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? 25 ?5?
2

(10 分)

∴ sin ? 2? ?
?

?

??

? ? 24 2 7 2 17 2 (12 分) ?? ? ? ? ?? ? ? sin 2? cos ? cos 2? sin 4? 4 4 25 2 25 2 50

9、(佛山市 2013 届高三教学质量检测(一)) 如图,在△ A B C 中, ? C ? 4 5 , D 为 B C 中点, B C ? 2 . 记锐角 ? A D B ? ? .且满足 c o s 2 ? ? ? (1)求 cos ? ; (2)求 B C 边上高的值. 解析:(1)∵ c o s 2 ? ? 2 c o s ? ? 1 ? ?
2
?

A

7 25



7 25

,∴ c o s ? ?
2

9C

, D

B

2 5 第 16 题图

∵? ? (0,

?
2

) ,∴ c o s ? ?

3 5


2

-----------------5 分
1 ? cos ? ?
?

(2)方法一、由(1)得 s in ? ?

4 5



∵ ? C AD ? ? AD B ? ? C ? ? ? 45 ,
?
4

∴ sin ? C A D ? sin (? ?

) ? sin ? c o s

?
4

? c o s ? sin

?
4

?

2 10



----------9 分

在 ? A C D 中,由正弦定理得:

CD s in ? C A D

?

AD s in ? C



∴ AD ?

C D ? sin ? C sin ? C A D

1? ? 2 10

2 2 ? 5,

A ----------11 分

则高 h ? A D ? s in ? A D B ? 5 ?

4 5

? 4.

-----------------12 分 C
DB AD ? 3 5

方法二、如图,作 B C 边上的高为 A H 在直角△ A D H 中,由(1)可得 c o s ? ? ,

D

B

第 16 题图

H

则不妨设 A D ? 5 m , 则 D H ? 3 m , A H ? 4 m
?

---------8 分

注意到 ? C = 4 5 ,则 ? A H C 为等腰直角三角形,所以 C D ? D H ? A H , 则1 ? 3 m ? 4 m 所以 m ? 1 ,即 A H ? 4 7、(茂名市 2013 届高三第一次高考模拟考试) 如图所示,角 A 为钝角,且 c o s A ?
4 5

----------10 分 ----------12 分

,点 P 、 Q 分别在角 A

的两边上. (1)已知 A P =5,AQ =2,求 PQ 的长; ( 2 ) 设 ? APQ ? ? , ? AQP ? ? , 且 cos ? ? 值. 解:(1)? ? A 是钝角, s in A ?
3 5
2 2

12 13

, 求 s i n (2 ? ? ? ) 的

,? c o s A ? ?

4 5
2

………………1 分

在 ? A P Q 中,由余弦定理得: P Q ? A P ? A Q ? 2 A P ? A Q co s A 所以 A Q ? 8 A Q ? 20 ? 0
2

………………4 分 …………………6 分 …………………7 分
5

解得 A Q ? 2 或 ? 1 0 (舍去负值),所以 A Q ? 2 (2)由 cos ? ?
12 13 , 得 sin ? ? 13 在三角形 APQ 中, ? ? ? ? A ? ?

又 sin (? ? ? ) ? sin ( ? ? A ) ? sin A ?
c o s (? ? ? ) ? ? c o s A ? 4

3 5

,

…………………8 分 ………………9 分

5 ? sin ( 2 ? ? ? ) ? sin [? ? (? ? ? )] ? sin ? co s(? ? ? ) ? co s ? sin (? ? ? ) ……11 分 ? 5 13 ? 4 5 ? 12 13 ? 3 5 ? 56 65

………………………12 2013

10 、 ( 湛 湛 江 市

届 高 三 高 考 测 试 ( 一 ) ) 已 知 函 数 ? f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 的部分图象如图所示。
2

(1)求函数 f(x)的表达式;

(2)若 f (? ?

?
12

)?

1 3

(? ? (0,

?
2

)) ,求 tan ? 的值。


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