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数学-排列组合方法归类

排列组合的常见题型及其解法
一. 特殊元素(位置)用优先法 把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于这类问题一般采 取特殊元素(位置)优先安排的方法。 例 1. 6 人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法? 分析:解有限制条件的元素(位置)这类问题常采取特殊元素(位置)优先安排 的方法。 解法 1:(元素分析法)因为甲不能站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端 1 之间的任一位置上,有 A4 种站法;第二步再让其余的 5 人站在其他 5 个位置上, 1 有 A55 种站法,故站法共有: A4 ? A55 =480(种) 解法 2:(位置分析法)因为左右两端不站甲,故第一步先从甲以外的 5 个人中 任选两人站在左右两端,有 A52 种;第二步再让剩余的 4 个人(含甲)站在中间 4 个位置,有 A44 种,故站法共有: A52 ? A44 ? 480 (种) 二. 相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”:即将这几个元 素看作一个整体,视为一个元素,与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进 行排列。 例 2. 5 个男生和 3 个女生排成一排, 个女生必须排在一起, 3 有多少种不同排法? 解:把 3 个女生视为一个元素,与 5 个男生进行排列,共有 A66 种,然后女生内 部再进行排列,有 A33 种,所以排法共有: A66 ? A33 ? 4320 (种) 三. 相离问题用插空法 元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元 素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例 3. 7 人排成一排,甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法? 解:先将其余 4 人排成一排,有 A44 种,再往 4 人之间及两端的 5 个空位中让甲、 乙、丙插入,有 A53 种,所以排法共有: A44 ? A53 ? 1440 (种) 四. 定序问题用除法 对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。解题方法是:先将 n 个 m 元素进行全排列有 Ann 种, m(m ? n) 个元素的全排列有 Am 种,由于要求 m 个元 素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到调序的作用,即 Ann 若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定,则有 m 种排列方法。 Am 例 4. 由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小 于十位数字的六位数有多少个? 1 解: 不考虑限制条件, 组成的六位数有 A5 ? A55 种, 其中个位与十位上的数字一定, 所以所求的六位数有: (个) 1 5 A5 ? A5 五. 分排问题用直排法 ? 300 2 A2 对于把几个元素分成若 干排的排列问题, 若没有其他特殊要 求,可采取统一成一排的方法求解。 例 5. 9 个人坐成三排,第一排 2 人,第二排 3 人,第三排 4 人,则不同的坐法共 有多少种? 解:9 个人可以在三排中随意就坐,无其他限制条件,所以三排可以看作一排来

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处理,不同的坐标共有 A99 种。 六. 复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题,可以采用转化思想,从问题的反面 去考虑,先求出无限制条件的方法种数,然后去掉不符合条件的方法种数。在应 用此法时要注意做到不重不漏。 例 6. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点,取其中 4 个不共面的点,则不同 的取法共有( ) A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 4 解: 10 个点中任取 4 个点有 C10 种取法, 从 其中 4 点共面的情况有三类。 第一类, 取出的 4 个点位于四面体的同一个面内,有 4C64 种;第二类,取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点,这 4 点共面,有 6 种;第三类,由中位线构成的平行四 边形 (其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱) 它的 4 个点共面, 3 种。 , 有 以上三类情况不合要求应减掉 七. 多元问题用分类法 按题目条件,把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类,分别计 算,最后计算总数。 例 7. 已知直线 ax ? by ? c ? 0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2, 3}中的 3 个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的 条数。 a 解:设倾斜角为 ? ,由 ? 为锐角,得 tan ? ? ? ? 0 ,即 a,b 异号。 b (1) c=0, b 各有 3 种取法, 若 a, 排除 2 个重复 3x ? 3 y ? 0 ,2 x ? 2 y ? 0 , ( x ? y ? 0 ),故有:3×3-2=7(条)。 (2)若 c ? 0 ,a 有 3 种取法,b 有 3 种取法,而同时 c 还有 4 种取法,且 其中任意两条直线均不相同,故这样的直线有:3×3×4=36(条)。 从而符合要求的直线共有:7+36=43(条) 八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素,后排列。 例 8. 将 4 名教师分派到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分派 方案共有多少种? 解:可分两步进行:第一步先将 4 名教师分为三组(1,1,2),(2,1,1), C 2 ? C1 ? C1 (1,2,1),共有: 4 2 1 ? 6 (种),第二步将这三组教师分派到 3 种中 A22 学 任 教 有 A33 种 方 法 。 由 分 步 计 数 原 理 得 不 同 的 分 派 方 案 共 有 :
1 C42 ? C2 ? C11 3 ? A3 ? 36 (种)。因此共有 36 种方案。 A22 九. 隔板模型法 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。 例 9. 有 10 个三好学生名额,分配到 6 个班,每班至少 1 个名额,共有多少种 不同的分配方案? 解:6 个班,可用 5 个隔板,将 10 个名额并排成一排,名额之间有 9 个空,将 5 5 个隔板插入 9 个空,每一种插法,对应一种分配方案,故方案有:C9 ? 126(种)

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