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2013届高考理科数学第一轮复习测试题08

A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.(2011· 陕西)(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是( A.-20 B.-15 C.15 D.20

).

2x 6-r 解析 Tr+1=Cr (-2-x)r=(-1)rCr (2x)12-3r,r=4 时,12-3r=0,故第 5 6(2 ) 6·

项是常数项,T5=(-1)4C4 6=15. 答案 C 2? ? 2.(2012· 泰安月考)若二项式? x-x?n 的展开式中第 5 项是常数项,则正整数 n ? ? 的值可能为( ). D.15

A.6 B.10 C.12

n-3r n-3r 2? n-r? ?- x?r=(-2)rCr 解析 Tr+1=Cr ,当 r=4 时, 2 =0,又 n∈N*, n( x) nx 2 ? ? ∴n=12. 答案 C ? x 2? 3.(2011· 天津)在? 2 - ?6 的二项展开式中,x2 的系数为( x? ? 15 A.- 4 15 B. 4 3 C.-8 3 D.8 ).

? x 2? 解析 在? 2 - ?6 的展开式中,第 r+1 项为 x? ? ? x?6-r? 2 ?r ?1?6-r 3-r ? ?- ? =Cr Tr+1=Cr x (-2)r,当 r=1 时,为含 x2 的项,其系数是 6? 6?2? ? ? 2 x ? ? ? ? 3 ?1?5 C1 6?2? (-2)=- . 8 ? ? 答案 C ? a? 4.(2012· 临沂模拟)已知?x-x?8 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数, ? ? 则展开式中各项系数的和是( A.28 B.38 C.1 或 38 ). D.1 或 28

解析 由题意知 C4 (-a)4=1 120,解得 a=± 2,令 x=1,得展开式各项系数和 8·
1

为(1-a)8=1 或 38. 答案 C 1? ? 5.设?5x- ?n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N x? ? =240,则展开式中 x 的系数为( ).

A.-150 B.150 C.300 D.-300 解析 由已知条件 4n-2n=240,解得 n=4, 1 ?r 3r 4-r?- ? ? =(-1)r54-rCr Tr+1=Cr 4(5x) 4x4- , 2 x? ? 3r 令 4- 2 =1,得 r=2,T3=150x. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) ? 1? 6.(2010· 辽宁)(1+x+x2)?x- x?6 的展开式中的常数项为________. ? ? ? 1? r 6-2r 3 解析 ?x-x?6 的一般项为 Tr+1=Cr ,当 r=3 时,T4=-C6 =-20,当 6(-1) x ? ? r=4 时,T5=C4 6=15,因此常数项为-20+15=-5. 答案 -5 1 ?18 ? ? 的展开式中含 x15 的项的系数为________.(结果用数值 7.(2011· 湖北)?x- ? 3 x? 表示) 1 ?r 3 3 ?1?r 18-r?- ? ? =(-1)rCr 解析 Tr+1=Cr 18x 18?3? x18- r,令 18- r=15,解得 r=2. 2 2 ? ? ? 3 x? 所以所求系数为

?1?2 (-1)2C2 18?3? =17. ? ? 答案 17 8. (2012· 天津质检)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12, 则 a2+a4+…+a12 =________. 解析 令 x=1,则 a0+a1+a2+…+a12=36,令 x=-1,则 a0-a1+a2-…+a12 =1,
2

36+1 ∴a0+a2+a4+…+a12= 2 . 36+1 令 x=0,则 a0=1,∴a2+a4+…+a12= 2 -1=364. 答案 364 三、解答题(共 23 分) ?3 1? 9.(11 分)已知二项式? x+ ?n 的展开式中各项的系数和为 256. x? ? (1)求 n;(2)求展开式中的常数项.
0 1 2 n 解 (1)由题意得 Cn +Cn +Cn +…+Cn =256,即 2n=256,解得 n=8.

8-4r 8-4r 3 8-r ?1?r ? x ? =Cr (2)该二项展开式中的第 r+1 项为 Tr+1=Cr · x 3 ,令 3 =0, 8( x) 8· ? ? 得 r=2,此时,常数项为 T3=C2 8=28. 10.(12 分)(2012· 厦门质检)在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每 个数都等于它肩上的两数之和. (1)试用组合数表示这个一般规律: (2)在数表中试求第 n 行(含第 n 行)之前所有数之和; (3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是 3∶4∶ 5,并证明你的结论. 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 …
r r-1 解 (1)Cr n+1=Cn+Cn

1 1 1 1 1 1 1 6 5 15 4 10 20 … 3 6 2 3 4 10 15 1 1 1 1 5 6 1 1

(2)1+2+22+…+2n=2n+1-1
r-1 r+1 (3)设 Cn ∶Cr n∶Cn =3∶4∶5

3

-1 Cr 3 r 3 n 由 Cr =4,得 =4 n - r + 1 n

即 3n-7r+3=0① r+1 4 Cr 4 n 由 r+1=5,得 = Cn n-r 5 即 4n-9r-5=0② 解①②联立方程组得 n=62,r=27
27 28 即 C26 62∶C62∶C62=3∶4∶5.

B级

综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1? ? a?? 1.(2011· 全国新课标)?x+x??2x-x?5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式 ? ?? ? 中常数项为( ).

A.-40 B.-20 C.20 D.40 解析 令 x=1,由已知条件 1+a=2,则 a=1 1? 1? 1?2 1?3 ? ? 1? 4 0 4? 2 3? 3 2? 4 ?2x-x?5=C5 (2x)5+C 1 5(2x) ?-x ? + C 5(2x) ?-x ? +C5(2x) ?- x? +C5(2x) ?- x? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?5 ?- x ? ? ? 1 1 1 =32x5-80x3+80x-40x+10x3-x5,则常数项为 40. 答案 D 2.(2012· 杭州质检)在(x- 2)2 006 的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S, 当 x= 2时,S 等于( A.23 008 解析
006 005

). D.-23 009
005 2 2 (- 2)+C2 006 x 006 004

B.-23 008 C.23 009
006

(x- 2)2

=x2

006

1 2 + C2 006 x

(- 2)2+…+(- 2)2
006

2 ,由已知条件 S=-C1 2 006( 2)

006

3 2 - C2 006 ( 2)

005 2 - …-C 2 2 006( 2)

=-22

· 21 003=-23 008.

答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
4

1? ? 3 . (2012· 大同调研 ) 已知 (1 + x + x2) ?x+x3? n 的展开式中没有常数项, n ∈ N* 且 ? ? 2≤n≤8,则 n=________. 1? ? 解析 ?x+x3?n 展开式中的通项为 ? ?
n-r? 1 ?r ?x3? Tr+1=Cr nx ? ? n -4 r =Cr (r=0,1,2,…,8), nx

将 n=2,3,4,5,6,7,8 逐个检验可知 n=5. 答案 n=5 a? ? 4.(2011· 浙江)设二项式?x- ?6(a>0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为 B. x? ? 若 B=4A,则 a 的值是________. 解析 此题主要考查二项式定理中的特定项的计算,解题的关键是理解通项,结 合方程便可求解. 对于
6-r? Tr+1=Cr 6x ?

?-a? 3 r 1 ?r=Cr 6(-a) x6- r, ? 2 x ? 2?

4 2 2 B=C4 6(-a) ,A=C6(-a) .∵B=4A,a>0,∴a=2.

答案 2 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)已知等差数列 2,5,8,…与等比数列 2,4,8,…,求两数列公共项按原来 顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式. 解 等差数列 2,5,8,…的通项公式为 an=3n-1, 等比数列 2,4,8,…的通项公式为 bk =2k ,令 3n-1=2k ,n∈N*,k ∈N*, 即 n= 2k +1 ?3-1?k +1 3 = 3
-1

k 1 k C0 k 3 -Ck 3 =

+…+Ck k

-1

3?-1?k

-1

k +Ck k ?-1? +1

3



当 k =2m-1 时,m∈N*,
2m-1 2m-2 m-2 C0 -C1 +…+C2 2m-13 2m-13 2m-13 n= ∈N*, 3

5

Cn=b2n-1=22n-1(n∈N*). 2x-1 6.(12 分)(2012· 三门峡月考)已知 f(x)= x . 2 +1 (1)试证:f(x)在(-∞,+∞)上为单调递增函数; (2)若 n∈N*,且 n≥3,试证:f(n)> n . n+1

证明 (1)任取 x1,x2∈(-∞,+∞).设 x1<x2, f(x1)-f(x2)= 2x1-1 2x2-1 - 2x1+1 2x2+1

?2x1-1??2x2+1?-?2x2-1??2x1+1? = ?2x1+1??2x2+1? 2?2x1-2x2? = , ?2x1+1??2x2+1? 由 x1<x2 则 2x1<2x2,∴2x1-2x2<0.因此 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 因此 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 2n-1 n n (2)当 n∈N*且 n≥3,要证 f(n)> ,即 n > ,只须证 2n>2n+1, n+1 2 +1 n+1
1 2 n 0 1 n-1 ∵2n=C0 n+Cn+Cn+…+Cn>Cn+Cn+Cn =2n+1.

∴f(n)>

n . n+1

6



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