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2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷(word)


2014 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟,满分 100 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( ) A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球 2.已知元素 a ∈{0,1,2,3},且 a ?{0,1,2},则 a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.在区间[0,5]内任取一个实数,则此数大于 3 的概率为( ) 1 3 2 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 4.某程序框图如图所示,若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.在 ΔABC 中,若 AB ? AC ? 0 ,则 ΔABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 6.sin120?的值为( ) 3 A. 2 B.-1 C. D.- 2 2 2 2 7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BD 与 A1C1 的 位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D. 异面且垂直 8.不等式(x+1)(x-2)≤0 的解集为( ) A.{x|-1≤x≤2} B. {x|-1<x<2} C. {x|x≥2 或 x≤-1} D. {x|x>2 或 x<-1} 9.点 P(m,1)不在不等式 x+y-2<0 表示的平面区域内,则实数 m 的取值范围是( ) A.m<1 B.m≤1 C.m≥1 D.m>1 10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了 一些时间,下列函数的图像最能符合上述情况的是( )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.样本数据-2,0,6,3,6 的众数是____. 12.在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2, 1 sinA= ,则 sinB=___. 3
1

13.已知 a 是函数 f(x)=2-log2x 的零点,则实数 a 的值为____. 14.已知函数 y=sin?x(?>0)在一个周期内的图像如图所示,则?的值为__.

15.如图 1,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,E、F 分别是 AB、CD 的中点,现在沿 EF 把这个矩形折成一个直二面角 A-EF-C(如图 2),则在图 2 中直线 AF 与平面 EBCF 所成的角的大小为______. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x ) ? ? ?4
? x , x ? [0,2], , x ? ( 2,4]. ? ?x

(1)画出函数 f(x)的大致图像; (2)写出函数 f(x)的最大值和单调递减区间。

17.(本小题满分 8 分) 某班有学生 50 人,其中男同学 30 人,用分层抽样的方法从该班抽取 5 人去参加 某社区服务活动。 (1)求从该班男、女同学中各抽取的人数; (2)从抽取的 5 名同学中任选 2 名谈此活动的感受,求选出的 2 名同学中恰有 1 名 男同学的概率。

18.(本小题满分 8 分) 已知等比数列{an}的公比 q=2,且 a2,a3+1,a4 成等差数列。 (1)求 a1 及 an; (2)设 bn=an+n,求数列{bn}的前 5 项和 S5.

2

19. (本小题满分 8 分) 已知向量 a=(1,sin?),b=(2,1)。 ? ? ? (1)当?= 时,求向量 2a+b 的坐标;(2)若 a∥b,且?∈(0, ),求 sin(?+ )的值。 6 2 4

20.(本小题满分 10 分) 已知圆 C:x2+y2+2x -3=0。 (1)求圆的圆心 C 的坐标和半径长; (2)直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合,l 与圆 C 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 1 1 求证: ? 为定值; x1 x 2 (3)斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、E 两点,求直线 m 的方程,使 ΔCDE 的 面积最大。

3

2014 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案 一、选择题 CDBBA CDACA ? 二 、填空题 11.6;12. 2 ;13.4;14.2;15.45?(或 )
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4

三 、16.解:(1)函数 f(x)的大致图象如图所示; …2 分 (2)由函数 f(x)的图象得出, f(x)的最大值为 2 …4 分 其单调递减区间为[2,4] …6 分 17.解:(1) 30 ? 5 ? 3 (人), 20 ? 5 ? 2 (人),
50 50

所以从男同学中抽取 3 人,女同学中抽取 2 人; …4 分 (2)设 3 名男同学分别为 A,B,C,2 名女同学分别 1,2. 则所有基本事件有 (A,B),(A,C),(A,1),(A,2),(B,C),(B,1),(B,2),(C,1),(C,2), (1,2) 共 10 个,其中恰有 1 名男同学的事件有 6 个, 其概率为 P=0.6 …8 分 18.解:(1)依题 2(a3+1)=a2+a4,所以 2(4a1+1)=2a1+8a1, 解得 a1=1, …2 分 故 an=a1qn-1=2n-1; …4 分 (2)因为 bn=2n-1+n,所以 S5=b1+b2+b3+b4+b5= 1 ? 2 ? 5(1 ? 5) =46
5

1? 2

2

…8 分

1 ? ,所以 a= (1, ) ,所以向量 2a+b=(2,1)+(2,1)=(4,2) …4 分 6 2 1 (2)因为 a∥b,所以 2sin?=1,解得 sin? ? , …5 分 2 ? 3 又因为?∈(0, ),所以 cos? ? , …6 分 2 2 ? ? ? 2? 6 所以 sin( . …8 分 ? ? ) ? sin? cos ? cos? sin ? 4 4 4 4 20.解:(1)配方得(x+1)2+y2=4,则圆心 C 的坐标为(-1,0), 半径长为 2; …2 分 2 2 2 2 (2)设直线 l 的方程为 y=kx,联立 x +y +2x-3=0 消去 y 得(1+k )x +2x-3=0,…4 分 x ? x2 2 2 3 1 1 则 x1 ? x 2 ? ? .…6 分 所以 ? , x1 x 2 ? ? ? 1 ? 为定值. …6 分 2 2 1? k 1? k x1 x 2 x1 x 2 3 | b ?1| (3)解:设 m 的方程为 y=x+b,则圆心 C 到直线 m 的距离为 d ? , …7 分 2

19.解:(1)因为 ? ?

2 2 所以 | DE |? 2 R 2 ? d 2 ? 2 4 ? d 2 , S ?CDE ? 1 | DE | ?d ? 4 ? d 2 ? d ≤ ( 4 ? d ) ? d ? 2 ,

2

2

当且仅当 d ? 4 ? d ,即 d ? 2 时,ΔCDE 的面积最大。
2

…9 分 …10 分

从而

| b ?1 | 2

? 2 ,解得 b=3 或 b=-1,故所求方程为 x-y+3=0 或 x-y-1=0

1 | CD | ? | CE | ? sin?DCE ? 2 sin?DCE ≤2, 2 当且仅当 CD⊥CE 时,ΔCDE 的面积最大,此时 | DE |? 2 2 (第一步相同)
解二:由(1)知|CD|=|CE|=R=2,所以 S ?CDE ? 由 | DE |? 2 R 2 ? d 2 ? 2 4 ? d 2 ? 2 2 ,解得 d ? 2 ,
4

…9 分

2014 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟,满分 100 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( )C A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球 2.已知元素 a ∈{0,1,2,3},且 a ?{0,1,2},则 a 的值为( )D A.0 B.1 C.2 D.3 3.在区间[0,5]内任取一个实数,则此数大于 3 的概率为( )B 1 3 2 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 4.某程序框图如图所示,若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值是( )B A.2 B.3 C.4 D.5 5.在 ΔABC 中,若 AB ? AC ? 0 ,则 ΔABC 的形状是( )A A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 6.sin120?的值为( )C 3 A. 2 B.-1 C. D.- 2 2 2 2 7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BD 与 A1C1 的 位置关系是( )D A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D. 异面且垂直 8.不等式(x+1)(x-2)≤0 的解集为( )A A.{x|-1≤x≤2} B. {x|-1<x<2} C. {x|x≥2 或 x≤-1} D. {x|x>2 或 x<-1} 9.点 P(m,1)不在不等式 x+y-2<0 表示的平面区域内,则实数 m 的取值范围是( )C A.m<1 B.m≤1 C.m≥1 D.m>1 10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了 一些时间,下列函数的图像最能符合上述情况的是( )A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.样本数据-2,0,6,3,6 的众数是____. 6 12.在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2, 1 sinA= ,则 sinB=___. 2 3 3
5

13.已知 a 是函数 f(x)=2-log2x 的零点,则实数 a 的值为____. 4 14.已知函数 y=sin?x(?>0)在一个周期内的图像如图所示,则?的值为__. 2

15.如图 1,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,E、F 分别是 AB、CD 的中点,现在沿 EF 把这个矩形折成一个直二面角 A-EF-C(如图 2),则在图 2 中直线 AF 与平面 ? EBCF 所成的角的大小为______. 45?(或 )
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三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x ) ? ? ?4
? x , x ? [0,2], , x ? ( 2,4]. ? ?x

(1)画出函数 f(x)的大致图像; (2)写出函数 f(x)的最大值和单调递减区间。 16.解:(1)函数 f(x)的大致图象如图所示; …2 分 (2)由函数 f(x)的图象得出, f(x)的最大值为 2 …4 分 其单调递减区间为[2,4] …6 分

17.(本小题满分 8 分) 某班有学生 50 人,其中男同学 30 人,用分层抽样的方法从该班抽取 5 人去参加 某社区服务活动。 (1)求从该班男、女同学中各抽取的人数; (2)从抽取的 5 名同学中任选 2 名谈此活动的感受,求选出的 2 名同学中恰有 1 名 男同学的概率。 17.解:(1) 30 ? 5 ? 3 (人), 20 ? 5 ? 2 (人),
50 50

所以从男同学中抽取 3 人,女同学中抽取 2 人; …4 分 (2)设 3 名男同学分别为 A,B,C,2 名女同学分别 1,2. 则所有基本事件有 (A,B),(A,C),(A,1),(A,2),(B,C),(B,1),(B,2),(C,1),(C,2), (1,2) 共 10 个,其中恰有 1 名男同学的事件有 6 个, 其概率为 P=0.6 …8 分

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18.(本小题满分 8 分) 已知等比数列{an}的公比 q=2,且 a2,a3+1,a4 成等差数列。 (1)求 a1 及 an; (2)设 bn=an+n,求数列{bn}的前 5 项和 S5. 18.解:(1)依题 2(a3+1)=a2+a4,所以 2(4a1+1)=2a1+8a1, 解得 a1=1, …2 分 故 an=a1qn-1=2n-1; (2)因为 bn=2n-1+n,所以 S5=b1+b2+b3+b4+b5= 1 ? 2 ? 5(1 ? 5) =46
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…4 分 …8 分

1? 2

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19. (本小题满分 8 分) 已知向量 a=(1,sin?),b=(2,1)。 ? ? ? (1)当?= 时,求向量 2a+b 的坐标;(2)若 a∥b,且?∈(0, ),求 sin(?+ )的值。 6 2 4 1 ? 19.解:(1)因为 ? ? ,所以 a= (1, ) ,所以向量 2a+b=(2,1)+(2,1)=(4,2) …4 分 6 2 1 (2)因为 a∥b,所以 2sin?=1,解得 sin? ? ,…5 分 2 ? 3 又因为?∈(0, ),所以 cos? ? , …6 分 2 2 ? ? ? 2? 6 所以 sin( …8 分 ? ? ) ? sin? cos ? cos? sin ? 4 4 4 4 20.(本小题满分 10 分) 已知圆 C:x2+y2+2x -3=0。 (1)求圆的圆心 C 的坐标和半径长; (2)直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合,l 与圆 C 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 1 1 求证: ? 为定值; x1 x 2 (3)斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、E 两点,求直线 m 的方程,使 ΔCDE 的 面积最大。 20.解:(1)配方得(x+1)2+y2=4,则圆心 C 的坐标为(-1,0), 半径长为 2; …2 分 2 2 2 2 (2)设直线 l 的方程为 y=kx,联立 x +y +2x-3=0 消去 y 得(1+k )x +2x-3=0,…4 分 x ? x2 2 2 3 1 1 则 x1 ? x 2 ? ? .…6 分 所以 ? , x1 x 2 ? ? ? 1 ? 为定值. …6 分 2 2 1? k 1? k x1 x 2 x1 x 2 3 | b ?1| (3)解:设 m 的方程为 y=x+b,则圆心 C 到直线 m 的距离为 d ? , …7 分 2
2 2 所以 | DE |? 2 R 2 ? d 2 ? 2 4 ? d 2 , S ?CDE ? 1 | DE | ?d ? 4 ? d 2 ? d ≤ ( 4 ? d ) ? d ? 2 ,

2

2

当且仅当 d ? 4 ? d ,即 d ? 2 时,ΔCDE 的面积最大。
2

…9 分 …10 分

从而

| b ?1 | 2

? 2 ,解得 b=3 或 b=-1,故所求方程为 x-y+3=0 或 x-y-1=0

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1 | CD | ? | CE | ? sin?DCE ? 2 sin?DCE ≤2, 2 当且仅当 CD⊥CE 时,ΔCDE 的面积最大,此时 | DE |? 2 2 (第一步相同)
解二:由(1)知|CD|=|CE|=R=2,所以 S ?CDE ? 由 | DE |? 2 R 2 ? d 2 ? 2 4 ? d 2 ? 2 2 ,解得 d ? 2 , 从而 …9 分 …10 分

| b ?1 | 2

? 2 ,解得 b=3 或 b=-1,故所求方程为 x-y+3=0 或 x-y-1=0

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