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高中数学第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图知识导航学案新人教A版必修2

1.2 空间几何体的三视图和直观图 知识梳理 1.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向 后投影所得的图形称为正视图,自左向右投影所得的投影图称为侧视图,自上至下投影所得 的投影图称为俯视图.用这三种视图即可刻画空间物体的集合结构,这种图称之为三视图. 2.我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图 ,用此方法画直观图,关键是掌握水平放 置的平面图形的画法,它的步骤是: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应的 x′轴与 y′轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°(或 135°),它们确定的平面表示水 平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,长度为原 来的一半. 3.空间几何体的直观图和三视图有着密切的联系,我们能够由空间几何体的三视图得到 它的直观图,同时,也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图. 4.从投影角度看,三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间 图形. 5.平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点. 知识导学 要学好本节内容,首先应复习初中学过的简单空间图形的三视图 ,在此基础上能画出空 间简单图形组合体的三视图,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能. 三视图画法的要点是:正、俯视图长对正;正、侧视图高平齐;俯、侧视图宽相等. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位 置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画 法就可归结为确定点的位置的画法. 疑难突破 1.什么叫三视图?三视图是根据什么原理画出来的呢? 剖析:三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图 .为了使空间图形的直观 图更能直观、准确地反映空间图形的大小 ,往往需要把图形向几个不同的平面分别作投影, 然后把这些投影放在同一个平面内,并有机地结合起来表示物体的形状和大小.通常,总是选 取三个两两互相垂直的平面作为投射面,如图 1-2-1,一个投射面水平放置,叫水平投射面, 投射到这个平面内的图形叫俯视图.一个投射面放置在正前方,叫直立投射面,投射到这个平 面内的图形叫正视图.和直立、 水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面,通常把这个 平面放在直立投影的右面,投射到这个平面内的图形叫侧视图.图 1-2-1 是一个长方体的三 视图,正视图是一个矩形,表示长方体的长度和高度;它的俯视图也是一个矩形,它表示长方 体的长度和宽度;它的侧视图同样也是一个矩形,它表示长方体的宽度和高度.把这三个投影 图放在一个平面内,如图 1-2-2 就是一个三视图. 图 1-2-1 图 1-2-2 (1)正视图反映物体的主要形状特征,是三视图中最重要的视图;俯视图要与正视图对正;侧 视图要画在正视图的正右方,高度方向要与正视图平齐,俯视图与侧视图共同反映物体的宽 度,宽度要相等. (2)三视图的排列规则是:先画正视图,俯视图安排在正视图的正下方,长度与正视图一样,侧 视图安排在正视图的正右方,高度与正视图一样. (3)当物体形状复杂时,三视图还不足以反映它的大小和形状,还需要更多的投射平面,或者 分解成几部分分别画三视图. 要掌握空间图形的三视图,首先要掌握平行投影与正投影这两个概念.①平行投影:已知 图形 F,直线 l 与平面 α 相交(如图 1-2-3).过 F 上任意一点 M 作直线 MM′平行于 l,交平面 α 于点 M′,则点 M′叫做点 M 在平面 α 内关于直线 l 的平行投影(或象).如果图形 F 上的 所有点在平面 α 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F′,则 F′叫做图形 F 在 α 内关于直线 l 的平行投影.平面 α 叫做投影面,l 叫做投影线. ②平行投影的性质:当图形中的直线或线段不平行于投影线时: a.直线或线段的平行投影仍是直线或线段;b.平行直线的平行投影是平行或重合的直线 ;c. 平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;d.与投射面平行的平面图形,它的投 影与这个图形全等;e.在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的 比. 图 1-2-3 ③正投影:在物体的平行投影中 ,如果投射线与投射面垂直 ,则称这样的平行投影为正投影 (如图 1-2-4). 图 1-2-4 容易知道,正投影除具有平行投影的性质外,还有如下性质:a.垂直于投射面的直线或线 段的正投影是点.b.垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分. 2.什么叫组合体?怎样画组合体的三视图? 剖析:将基本几何体,通过拼、 切、 挖手段构成组合体.作组合体三视图时,首先掌握组合体的 结构,弄清组合体是由哪些基本几何体组成的 ,是采用什么方式构成的.确定好表面的交线, 外部可见轮廓线,内部不可见轮廓线,定好正视、 俯视、 侧视的方向.注意用好“长对正,高平 齐,宽相等”的作图原则,便可完成三视图的绘画. 要画好组合体的三视图,首先要掌握常见的柱、锥、台、球等常见几何体的三视图,再结 合组合体三视图的画法与步骤画三视图. 3.斜二测画法的一般步骤是什么? 剖析:斜二测画法是一种最常用、直观性好的直观图的画法.它的步骤为: (1)在空间图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴交于点 O,再取 z 轴,使∠xOz=90°,且 ∠yOz=90°. (2) 画 直 观 图 时 把 它 们 画 成 对 应 的 x′ 轴 、 y′ 轴 和 z′ 轴 , 它 们 相 交 于 点 O′, 并 使 ∠x′O′y′=45°(或 135°),∠x′O′z′=90°,x′轴和 y′轴所确定的平面表示水平平 面. (3)已知图形中平行(或重合)于 x 轴、y 轴或


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