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高中数学人教A版选修2-2第一章《1.1.3 导数的几何意义》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案

高中数学人教 A 版选修 2-2 第一章 《1.1.3 导数的几何意义》 优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案 【名师授课教案】 1 教学目标 1、知识与技能: 通过实验探求和理解导数的几何意义; 体会导数在刻画函数性质中的作 用;体会“以直代曲”的数学思想方法。 2、过程与方法: 培养学生分析、抽象、概括等思维能力; 通过“以直代曲”思想的具体 运用,使学生达到思维方式的迁移,从而达到培养学生的学习能力,思维能力,应用能力和创 新能力的目的。 3、 情感态度与价值观:渗透逼近和 “以直代曲” 思想,激发学生学习兴趣,培养学生不断发现、 探索新知识的精神,引导学生从有限中认识无限,体会量变和质变的辩证关系,感受数学思想 方法的魅力学生学数学,用数学的意识。 2 学情分析 学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解了瞬时变化 率就是导数,体会了导数的思想和实际背景,已经具备一定的微分思想,但是对于导数在研究 函数性质中有什么作用还不够理解,多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可 能会遇到以下困难,比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法,理解导数就是曲线上某点 的斜率等等。 3 重点难点 教学重点:理解和掌握切线的新定义、 导数的几何意义及应用于解决实际问题,体会数 “形结 合、以直代曲”的思想方法。 教学难点:1)发现和理解导数的几何意义; 2)运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。 关键:师生一同探究和理解导数的几何意义 4 教学过程 4.1 第一学时 4.1.1 教学活动 活动 1【导入】创设情境,导入新课 1.回顾旧知、引出研究的问题: 前面我们学习了函数在 处的导数 就是函数在该点处的瞬时变化率。那么:问:(1) 求导数 的步骤有哪几步? (2)观察函数 的图象,平均变化率 在图形中表示什么? 这就是平均变化率( )的几何意义,那么瞬时变化率( )在图中又表示什么呢?今天我们就来 探究导数的几何意义。 生:第一步:求平均变化率 ; 第二步:求瞬时变化率 . (即 ,平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数) 生:平均变化率表示的是割线 的斜率. 活动 2【活动】类比探讨,获得新知 1.动画类比,得到切线的新定义 要研究导数的几何意义,结合导数的概念,即要探究 ,割线的变化趋势,看下面的动画。多媒 体显示【动画 1】:圆上点 A 处的切线 AT 和割线 AB,演示点 B 从右边沿着圆逼近点 A ,然后 再从左边沿着圆逼近点 A ,即 ,割线 AB 的变化趋势。(教师引导学生观察割线与切线是否有 某种内在联系呢?)把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线,可得:多媒体显示 【动画 2】 : 动态演示(或投影)教材上点(P7) 沿着曲线 趋近于点 时,割线 的变化趋势图。 师:类比【动画 1】,当点 沿着曲线 趋近于点 时,即 ,研究割线 的变化趋势。 突破研究的难点: ,割线 点 P 处的切线,那么: ,割线的斜率 ?与导数 又有何关系呢? 生:先感知后发现,当 ,随着点 B 沿着圆逼近点 A,割线 AB 无限趋近于点 A 处的切线。 学生观察【动画 2】,类比得出一般曲线的切线定义: 当点 沿着曲线 逼近点 时,即 ,割线 趋近于确定的位置,这个确定位置上的直线 PT 称为点 P 处的切线。 生:切线的斜率对应该点处的瞬时变化率,即该点处的导数。 2.数形结合,探究导数的几何意义 结合【动画 2】的变化过程,学生思考下面的问题,探究导数的几何意义。 探究一 1.已知曲线上两点 : (1)根据切线定义可知: ,割线 趋近于切线 PT 。那么割线 的斜率 与切线 PT 的斜率 又有 何关系? (2)对比 “ 时,平均变化率趋近的确定常数就是瞬时变化率” ,又割线的斜率对应平均变化 率,那么切线的斜率对应什么? 2.结合上面的研究过程,你能指出导数 的几何意义吗? 函数 在 处的导数就是曲线在该点处的切线斜率 ,即: 当即 生:切线的斜率对应该点处的瞬时变化率,即该点处的导数。 生:函数 在 处的导数就是曲线在该点处的切线斜率 ,即: 活动 3【讲授】探索小结,重点评讲 1.获得导数的几何意义 活动后,展示学生探究成果,教师重点讲评: 割线 的斜率是 , 当点 沿着曲线无限接近点 P 时, 无限趋近于切线 PT 的斜率 ,即 ,切线 PT 的斜率 即为函数 在 处的导数。 导数的几何意义: =切线的斜率。所以,函数 在 处的导数 的几何意义就是函数 的图像在 处的切线 AD 的斜 率。 师:由导数的几何意义,我们可以解决哪些问题? 2.了解以直代曲思想 把点 P 附近函数的图象放大,引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域 内,曲线与切线的变化趋势基本一致,故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲 线。 师:在某点附近一个很小的研究区域内,曲线与切线的变化趋势有何关系?如果切线的斜率为 正,则该点附近曲线的增减情况怎样? 生:求切线方程。 生:点 P 附近,曲线和该点处的切线的增减变化情况一致。如果切线的斜率为正,则该点附近 曲线呈上升趋势。 活动 4【讲授】知识应用,巩固理解 1.导数几何意义的应用 例 1:如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象。 探究二 1.用图形来体现导数 , 的几何意义,并用数学语言表述出来。2.变式(如图):请描述、比较 曲线 在 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。在 附近呢? 分析:附近:瞬时、增减、变化率,即研究函数在该点处的瞬时变化率,也就是导数。可借助切 线的变化趋势得到导数的情况。 生:作出曲线在这些点处的切线,在 处切线平行于 轴,即 ,说明在 时刻附近变化率为 0,函 数几乎没有增减;在 作出切线,切线呈下降趋势,即 ,函数在点附近单调递减。曲线在 附近比在 附近下降得更快,则是因为 。 小结:附近:瞬时,增减:变化率,即研究函数在


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