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2019届高考数学一轮复习选考部分坐标系与参数方程学案理

坐标系与参数方程 第一节 坐标系 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :? ? ?x′=λ ·x ?y′=μ ·y ? λ > μ > , 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′), 称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面内取一个定点 O, 叫做极点; 自极点 O 引一条射线 Ox, 叫做极轴; 再选定一个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通 常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标 ①极径:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ . ②极角:以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ . ③极坐标:有序数对(ρ ,θ )叫做点 M 的极坐标,记为 M(ρ ,θ ). 一般不作特殊说明时,我们认为 ρ ≥0,θ 可取任意实数. 3.极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ ,θ ),则它们之间的关 系为: ?x=ρ cos θ , ? ? ?y=ρ sin θ ; ? ρ =x +y , ? ? ? y tan θ = x ? x ? 2 2 2 4.简单曲线的极坐标方程 曲线 圆心为极点,半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 极坐标方程 ρ =r(0≤θ <2π ) π? ? π ρ =2rcos θ ?- ≤θ ≤ ? 2? ? 2 ? π? 圆心为?r, ?,半径为 r 的圆 2? ? 过极点,倾斜角为 α 的直线 ρ =2rsin θ (0≤θ <π ) θ =α (ρ ∈R)或 θ =π +α (ρ ∈ R) π? ? π ρ cos θ =a?- <θ < ? 2? ? 2 ρ sin θ =a(0<θ <π ) 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ? π? 过点?a, ?,与极轴平行的直线 2? ? 1.若点 P 的直角坐标为(3,- 3),则点 P 的极坐标为______. 解析:因为点 P(3,- 3)在第四象限,与原点的距离为 2 3,且 OP 与 x 轴所成的角 π? π ? 为- ,所以点 P 的极坐标为?2 3,- ?. 6? 6 ? π? ? 答案:?2 3,- ? 6? ? 2.圆 ρ =5cos θ -5 3sin θ 的圆心的极坐标为________. 解析:将方程 ρ =5cos θ -5 3sin θ 两边都乘以 ρ , 得 ρ =5ρ cos θ -5 3ρ sin θ , 化成直角坐标方程为 x +y -5x+5 3y=0. 5 3? ?5 ? 5π ? 圆心坐标为? ,- ?,化成极坐标为?5, 3 ?. ? ? 2 2 ? ? 2 2 2 ? 5π ? 答案:?5, ?(答案不唯一) 3 ? ? π ? ? 2π ? ? 3.在极坐标系中 A?2,- ?,B?4, ?两点间的距离为________. 3? ? 3 ? ? 解析:法一:(数形结合)在极坐标系中,A,B 两点如图所示,|AB| =|OA|+|OB|=6. π? ? ? 2π ? 法二:∵A?2,- ?,B?4, ?的直角坐标为 A(1,- 3),B(- 3? 3 ? ? ? 2,2 3). ∴|AB|= 答案:6 -2- 2 + 3+ 3 2 =6. π 4.在极坐标系中,圆 ρ =4sin θ 的圆心到直线 θ = (θ ∈R)的距离是________. 3 π 解析:设圆心到直线 θ = (θ ∈R)的距离为 d, 3 π 因为圆的半径为 2, d=2·sin =1. 6 答案:1 考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 高考对平面直角坐标系下图形的伸缩变换要求较低,极少考查,属于基础题. 1 ? ?x′= x, 2 1.求椭圆 +y =1 经过伸缩变换? 4 ? ?y′=y x2 2 后的曲线方程. 1 ? ?x′= x, 2 解:由? ? ?y′=y 2 得到? ?x=2x′, ? ? ?y=y′. ① x 4x′ x 2 2 2 2 2 将①代入 +y =1,得 +y′ =1,即 x′ +y′ =1.因此椭圆 +y =1 经伸缩变 4 4 4 换后得到的曲线方程是 x +y =1. ? ?x′=3x, y2 2 2.求双曲线 C:x - =1 经过 φ :? 64 ?2y′=y, ? 2 2 2 2 变换后所得曲线 C′的焦点坐标. 解:设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′), 1 ? ?x= x′, 由上述可知,将? 3 ? ?y=2y′ 得 代入 x - =1, 64 2 y2 x′2 4y′2 9 - 64 =1,化简得 x′2 y′2 9 - 16 =1, 即 - =1 为曲线 C′的方程, 9 16 可见仍是双曲线,则焦点(-5,0),(5,0)为所求. ? ?X=ax a x2 y2 2 2 ? 3. 将圆 x +y =1 变换为椭圆 + =1 的一个伸缩变换公式为 φ : 9 4 ?Y=by b ? x2 y2 , , 求 a,b 的值. 1 ? ?x=aX, 得? 1 ?y=bY, ? ? ?X=ax, 解: 由? ?Y=by ? 代入 x +y =1 中得 2+ 2=1, 所以 a =9, b =4, 2 2 X2 Y2 a b 2 2 即 a=3,b=2. [怎样快解·准解] 伸缩变换公式应用时的 2 个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区 分变换前的点 P 的坐标(x,y)与变换后的点 P′的坐标(x′,y′),再利用伸缩


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