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2019届高考数学一轮复习选考部分坐标系与参数方程学案理


坐标系与参数方程 第一节 坐标系 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :? ? ?x′=λ ·x ?y′=μ ·y ? λ > μ > , 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′), 称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面内取一个定点 O, 叫做极点; 自极点 O 引一条射线 Ox, 叫做极轴; 再选定一个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通 常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标 ①极径:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ . ②极角:以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ . ③极坐标:有序数对(ρ ,θ )叫做点 M 的极坐标,记为 M(ρ ,θ ). 一般不作特殊说明时,我们认为 ρ ≥0,θ 可取任意实数. 3.极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ ,θ ),则它们之间的关 系为: ?x=ρ cos θ , ? ? ?y=ρ sin θ ; ? ρ =x +y , ? ? ? y tan θ = x ? x ? 2 2 2 4.简单曲线的极坐标方程 曲线 圆心为极点,半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 极坐标方程 ρ =r(0≤θ <2π ) π? ? π ρ =2rcos θ ?- ≤θ ≤ ? 2? ? 2 ? π? 圆心为?r, ?,半径为 r 的圆 2? ? 过极点,倾斜角为 α 的直线 ρ =2rsin θ (0≤θ <π ) θ =α (ρ ∈R)或 θ =π +α (ρ ∈ R) π? ? π ρ cos θ =a?- <θ < ? 2? ? 2 ρ sin θ =a(0<θ <π ) 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ? π? 过点?a, ?,与极轴平行的直线 2? ? 1.若点 P 的直角坐标为(3,- 3),则点 P 的极坐标为______. 解析:因为点 P(3,- 3)在第四象限,与原点的距离为 2 3,且 OP 与 x 轴所成的角 π? π ? 为- ,所以点 P 的极坐标为?2 3,- ?. 6? 6 ? π? ? 答案:?2 3,- ? 6? ? 2.圆 ρ =5cos θ -5 3sin θ 的圆心的极坐标为________. 解析:将方程 ρ =5cos θ -5 3sin θ 两边都乘以 ρ , 得 ρ =5ρ cos θ -5 3ρ sin θ , 化成直角坐标方程为 x +y -5x+5 3y=0. 5 3? ?5 ? 5π ? 圆心坐标为? ,- ?,化成极坐标为?5, 3 ?. ? ? 2 2 ? ? 2 2 2 ? 5π ? 答案:?5, ?(答案不唯一) 3 ? ? π ? ? 2π ? ? 3.在极坐标系中 A?2,- ?,B?4, ?两点间的距离为________. 3? ? 3 ? ? 解析:法一:(数形结合)在极坐标系中,A,B 两点如图所示,|AB| =|OA|+|OB|=6. π? ? ? 2π ? 法二:∵A?2,- ?,B?4, ?的直角坐标为 A(1,- 3),B(- 3? 3 ? ? ? 2,2 3). ∴|AB|= 答案:6 -2- 2 + 3+ 3 2 =6. π 4.在极坐


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