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2.2.2对数函数及其性质(第一课时——对数函数概念、图像、性质)(1)


2.2.2对数函数 及其性质
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复习引入
1. 指数与对数的相互转化 ax=N ? logaN=x.

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2. 指数函数的图象和性质

a>1
图 象
y (0,1) y=ax (a>1) y=1 x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y (0,1) O y=1 x

O

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 在R上是减函数 x>0时,ax>1; x>0时,0<ax<1; x<0时,0<ax<1 x<0时,ax>1
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3. 某种细胞分裂时,得到的细胞的 个数y是分裂次数x的函数,这个函数 可以用指数函数y=2x表示.
这种细胞经过多少次分裂,大约 可以得到1万个,10万个……细胞? 分裂次数x就是细胞个数y的函 数.这个函数写成对数的形式是x= log2y.
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x=log2y
如果用x表示自变量,y表示函 数,这个函数就是y=log2x.

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讲授新课
1. 对数函数的定义: 一般的,我们把函数y=logax (a>0

且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,
函数的定义域为(0,+∞),
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例1:求下列函数的定义域: ①y=logax2 ②y=loga(4-x) ③y=loga(9-x2) 分析:此题主要利用对数函数y=logax的定义域 为(0,+∞)求解。

解: ①因为x2 >0,即x≠0,
所以函数y=logax2 的定义域是{x│x≠0} ②因为4-x>0,即x<4, 所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x│x<4} ③因为9-x2>0,即-3<x<3, 所以函数y=loga(9-x2)的定义域是{x│-3<x<3}
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2. 对数函数的图象: 通过列表、描点、连线作 y ? log 2 x 与 y ? log 1 x 的图象.
2

y

思 考:

y ? log 2 x

两图象有什么 关系?

O
y ? log 1 x
2

x

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练习:教材P.73:练习1

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练习 教材P.73练习第1题 画出函数 y ? log 3 x 及 y ? log 1 x 的图象,并且说明这两个函数的相 同点和不同点.
3

y
y ? log 3 x

O

y ? log 1 x
3

x

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3. 对数函数的性质:
a>1 0<a<1
y

图 象

y
O

x

O

x

性 x∈(0, 1)时,y<0; x∈(0, 1)时,y>0 质 x∈(1, +∞)时,y>0. x∈(1, +∞)时,y<0.
在(0,+∞)上是增函数

定义域:(0, +∞); 值域:R 过点(1, 0),即当x=1时,y=0.

在(0,+∞)上是减函数
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例2.较下列各组数中两个值的大小: ⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 解:⑴考察对数函数 y = log 2x,因为 它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增 函数,于是log 23.4<log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x, 因为它的底数为0.3,即0<0.3<1,所以 它在(0,+∞)上是减函数,于是 log 0.31.8>log 0.32.7

0

3.4 y

8.5

x

log28.5 log23.4 0

y=log2x
3.4 8.5 x

y 1.8 2.7 x

0 log0.31.8 log0.32.7

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y=log0.3x

⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 对数函数的增减性决定于对数的底 数是大于1还是小于1. 而已知条件 中并未指出底数a与1哪个大,因此需 log 5.9 a loga5.1 要对底数a进行讨论: 0 当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 增函数,于是 log a5.1<log a5.9 当0<a<1时,函数y=log ax在 (0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1>log a5.9
0 loga5.1 loga5.9 y

y=logax (a>1)

5.1 5.9 y 5.1 5.9

x

x

y=logax (0<a<1)

注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底数进行 讨论来比较两个对数的大小.
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练习: 比较下列各题中两个值的大小:
y

⑴ log106 < log108 ⑵ log0.56 < log0.54

log108 log106 0 y 0 log0.54 log0.56 y

y=log10x

6 10

x

4 6x
y=log0.5x

⑶ log0.10.5 > log0.10.6

log0.10.5 log0.10.6 0 0.5 0.6 y

x
y=log0.1x y=log1.5x

⑷ log1.51.6 > log1.51.4

log1.51.6 log1.51.4 0

1.4 1.6 x

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练习
1. 教材P.73练习第2、3题

2. 函数y=loga(x+1)-2 (a>0, a≠1)
的图象恒过定点 .

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课堂小结

对数函数定义、图象、性质;

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课后作业
1、教材P74:7、8 2、选作
已知函数y=loga(x+1) (a>0, a≠1) 的定义域与值域都是[0, 1],求a的值.
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讨论

y

1.如图 :曲线C1 , C2 , C3 , C4 分别为函数 o y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,的 图像,试问a,b ,c, d的大小关系如何?

c1 c2 x
1 c4

c3

2.如何比较log2a与log3a的大小?
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