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2012年高三数学一轮复习资料第四章 解三角形第1讲 正弦定理和余弦定理


第1讲
★ 知 识 梳理 ★ 内角和定理:

正弦定理和余弦定理

在 ?ABC 中, A + B + C =

π ; sin( A + B) = sin C ; cos( A + B ) = ? cos C

cos

A+ B C = sin 2 2 S ?ABC = 1 1 1 ab sin C = bc sin A ca sin B 2 2 =2

面积公式:

3.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

a b c = = = 2R 形式一: sin A sin B sin C

(解三角形的重要工具)

形式二:

?a = 2 R sin A ? ?b = 2 R sin B ?c = 2 R sin C ?

(边角转化的重要工具)

4.余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍.. 形式一: a = b + c ? 2bc cos A ?
2 2 2

b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B (解三角形的重要工具) c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C

b2 + c2 ? a2 c2 + a 2 ? b2 a2 + b2 ? c2 2bc 2ca 2ab 形式二: cos A = ; cos B = ; cosC=
★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式,利用内角和定理实现三内角之间的转换, 解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用 2.难点:根据已知条件,确定边角转换. 3.重难点:通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换 的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题. (1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论 问题 1: 在 ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=30 , a = 2 2 , b = 4 ,那么满足条件
o

的 ?ABC (


-1-

A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 点拨:在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理,由正弦值定角的原则是大边对大

b sin A 4sin 30° 2 a b = = sin B = = a 2 ,又 b > a,∴ B > A 故有两解 2 2 角。由 sin A sin B 得
答案 B. 在解三角形时要注意充分利用平面几何的性质 问题 2: 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面 积 A 点拨 :如图连结 BD,则有四边形 ABCD 的面积
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1 1 S=S△ABD+S△CDB= 2 ·AB·ADsinA+ 2 ·BC·CD·sinC
∵A+C=180°,∴sinA=sinC

B

O C

D

1 1 故 S= 2 (AB·AD+BC·CD)sinA= 2 (2×4+6×4)sinA=16sinA
由余弦定理,在△ABD 中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA=20-16cosA 在△CDB 中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC=52-48cosC ∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA,

1 ∴64cosA=-32,cosA=- 2 ,
又 0°<A<180°,∴A=120°故 S=16sin120°=8 3 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 1: 运用正、余弦定理求角或边 题型 1.求三角形中的某些元素 [例 1] (2008 年广州市海珠区高三上期综练二)已知:A、B、C 是 ?ABC 的内角, a, b, c 分别是
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其对边长,向量 m =

(

? ?π ? ? n = ? cos? ? A ?,1? ? ? 3, cos(π ? A) ? 1 , ? ?,m ⊥ n. ? ?2

)

(Ⅰ)求角 A 的大小;

(Ⅱ)若

a = 2, cos B =

3 , 3 求 b 的长.

【解题思路】已知对边求对角,直接用正弦定理。 解析:(Ⅰ) m =

(

3, cos(π ? A) ? 1 =

)(

3 ,? cos A ? 1 ……1 分

)

-2-

? ?π ? ? n = ? cos? ? A ?,1? ? ? ? ? = (sin A,1) ……2 分 ? ?2
∵m ⊥ n

∴ 3 sin A ? cos A ? 1 = 0 ……4 分

π? 1 ? ∴ sin ? A ? ? = 6 ? 2 ……6 分 ?
0 < A < π ,∴ ?

π
6



< A?

π
6

<

5π π π ,∴ A ? = , 6 6 6 ……7 分

∴A=

π
3 .……8 分
A=

π
3 ,a = 2 ,

(Ⅱ)在 ?ABC 中,

cos B =

3 3

∴ sin B = 1 ? cos 2 B = 1 ?

1 6 = 3 3 ……9 分

a b = , 由正弦定理知: sin A sin B ……10 分 2× 6 3 =4 2 3 3 2 .

a sin B b= sin A = ∴

=

4 2 ∴ b = 3 ……12 分
【名师指引】已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,要注意解可能有多种情况 【新题导练】 1.在△ABC 中,a=1,b= 7 ,B=60°,求 c. 解析:由余弦定理得 ( 7 )2=12+c2-2ccos60°, ∴c2-c-6=0, 解得 c1=3,c2=-2(舍去).∴c=3. 2.若在△ABC 中,

∠A = 600 , b = 1, S?ABC = 3, 求△ABC 外接圆的半径 R.

-3-

1 1 3 S ?ABC = bc sin A = c × = 3, c = 4, a 2 = 13, a = 13 2 2 2 解析:

2R =

a 13 2 39 39 = = , ∴R = sin A 3 3 3 2

题型 2 判断三角形形状 [例 3]在△ABC 中,bcosA= a cosB,试判断三角形的形状. 【解题思路】判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形: (1)一个方向是边,走代数 变形之路,通常是正、余弦定理结合使用; (2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运 用正弦定理 [解析]:方法 1:利用余弦定理将角化为边.

∵bcosA= a cosB
2 2 2


2

b?
2

b2 + c 2 ? a2 a 2 + c2 ? b2 = a? 2bc 2ac
2

∴b + c ? a = a + c ?b

∴a = b
2

2

∴a = b

故此三角形是等腰三角形. 方法 2:利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA= a cosB 又 b=2RsinB, a =2RsinA ∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ∴sinAcosB-cosAsinB=0 ∴sin(A-B)=0 ∵0<A,B<π,∴-π<A-B<π ∴A-B=0,即 A=B 故三角形是等腰三角形. 【名师指引】判断三角形形状时一般从角入手,利用三角形内角和定理,实施关于三角形内 角的一些变形公式. 【新题导练】 3.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B cosA b 4. 在△ABC 中,若cosB =a ,则△ABC 的形状是.( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 cosA b cosA sinB 解析:由已知cosB = a 及正弦定理得cosB =sinA ∴sin2A=sin2B π ∴2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= 2 , 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.选 C 考点 2: 三角形中的三角变换 题型:利用正、 余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行 化简求值. ) D.等边三角形

C.等腰或直角三角形

-4-

例 1(08 重庆) 设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求:
o

a (Ⅰ) c 的值; (Ⅱ)cotB +cot C 的值. a 【解题思路】求 c 的值需要消去角和 b; 三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系
a 2 = b 2 + c 2 ? 2b cos A
解析: (Ⅰ)由余弦定理得

1 1 1 7 ( c) 2 +c 2 ? 2 c c = c 2 , 3 2 9 = 3

a 7 = . 3 故c
cos B sin C + cos C sin B sin( B + C ) sin A = , sin B sin C = sin B sin C sin B sin C (Ⅱ)解法一: cot B + cot C =

7 2 c sin A 1 a2 2 9 14 14 3 · = · . = = = sin B sin C sin A bc 9 3 1 c·c 3 3 3 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得 cot B + cot C = 14 3 . 9



解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有

7 2 2 1 2 c + c ? ( c) a +c ?b 9 3 cos B = = 5 2ac 7 . 2 cc 3 =2 7
2 2 2

sin B = 1 ? cos 2 B = 1 ?


25 3 = . 28 2 7

7 2 1 2 2 c + c ?c a2 + b2 ? c2 9 1 9 cos C = = =? , 2ab 7 1 2 7 2 c c 3 3 同理可得 sin C = 1 ? cos 2 C = 1 ? 1 3 3 = . 28 2 7

从而

cot B + cot C =

cos B cos C 5 1 14 3 + = 3? 3= . sin B sin C 3 9 9
-5-

【名师指引】在解三角形的背景下一般见“切割就化弦” 【新题导练】 5.三角形的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,设向量 m = (c ? a, b ? a ) ,

n = ( a + b, c) , 若 m // n ,求角 B 的大小;

解析:∵ m // n , ∴

c?a b?a = a+b c ∴ cos B = 1 2,

c 2 ? ac = b 2 ? a 2 B=



a 2 + c2 ? b2 =1 ac

π
3

6.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,且∠A,∠B,∠C 所对的边 a,b,c 满足 a+b=cx,求实数 x 的取值 范围.

解析.

x=

π? ? ? π? a + b sin A + sin B A ∈ ? 0, ? = = sin A + cos A = 2 sin ? A + ? 4 ? ,又 ? ? 2? c sin C

sin


π

π? π ? < sin ? A + ? ≤ sin ? 4 4? 2 ,即 x ∈ 1, 2 ? ?

(

考点 3 与三角形的面积相关的题 题型 1:已知条件求面积 例 1: (广州执信中学 09 届高三上学期期中考试)在 △ ABC 中, (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC = 5 ,求 △ ABC 的面积. 【解题思路】求角 C 的三角函数值可考虑用内角和定理;求三角形的面积直接用面积公式.

cos A = ?

5 3 cos B = 13 , 5.

解析: (Ⅰ)由

cos A = ?

5 12 sin A = 13 ,得 13 ,



cos B =

3 4 sin B = 5 ,得 5 . 又 A+ B+C =π 16 65 .

所以

sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B =

4 5× BC × sin B 5 = 13 AC = = 12 sin A 3 13 (Ⅱ)由正弦定理得 .

-6-

1 1 13 16 8 S = × BC × AC × sin C = × 5 × × = 2 2 3 65 3 . 所以 △ ABC 的面积
【名师指引】本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积、解三角形等基础知识,考查 运算求解能力. 题型 2:已知面积求线段长或角 例 2 (广东省惠州市 2009 届第二调研考试)在 △ ABC 中, ⑴、求 sin A 的值;

cos B = ?

5 4 cos C = 13 , 5.

⑵、设 △ ABC 的面积

S△ ABC =

33 2 ,求 BC 的长.

【解题思路】已知面积求边长或高,可考虑等积法.

解析:⑴、由

cos B = ?

5 12 4 3 sin B = cos C = sin C = 13 ,得 13 ,由 5 ,得 5. 33 65 .

所以

sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C =

⑵、由

S△ ABC =

33 1 33 33 × AB × AC × sin A = sin A = 2 得2 2 ,由⑴知 65 ,

故 AB × AC = 65 ,又

AC =

AB × sin B 20 20 13 = AB ? AB 2 = 65 AB = sin C 13 2 . ,故 13 ,

所以

BC =

AB × sin A 11 = sin C 2 .

【名师指引】在处理解三角形的相关问题时,逆向思维也是必不可少的. 【新题导练】

7.在三角形 ABC 中,

a = 2, C =

π
4

, cos

B 2 5 = 2 5 ,求三角形 ABC 的面积 S 。

4 3 sin B = cos B = , B 5 5, 【解析】 由题意,得 为锐角,

? 3π ? 7 2 sin A = sin( π ? B ? C ) = sin ? ?B?= ? 4 ? 10 , c= 10 1 1 10 4 8 S = ac sin B = × 2 × × = 2 2 7 5 7. 7 , ∴

由正弦定理得

-7-

S 8. 在 ABC 中, b = 8 , c = 8 3 ,
A、 30
o

ABC

= 16 3 ,则 ∠A 等于
o o

B、 60

o

C、 30 或 150

D、 60 或 120

o

o

【解析】C ★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. 在 ?ABC 中,若 sin 2 A = sin 2 B ,则 ?ABC 一定是( ) A、等腰三角形 解析: D B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

[ ∵ sin 2 A ? sin 2B = ?2cos( A + B)sin( A ? B) = 0, ∴
0

A+ B =
2

π
2

, 或A = B
]

2. 在 ?ABC 中, A = 60 ,且最大边长和最小边长是方程 x ? 7 x + 11 = 0 的两个根,则第 三边的长为( A.2 ) B.3

C.4

D.5

0 2 解析: C [∵ A = 60 ,且最大边长和最小边长是方程 x ? 7 x + 11 = 0 的两个根,则第三边

为 a, b + c = 7, bc = 11, ∴

sin 2 A ? a = b2 + c 2 ? 2bc cos A = b2 + c 2 ? 2bc cos

π
3

= (b + c) 2 ? 3bc = 7 2 ? 3 × 11 = 4 ]

π
3.在 Rt △ABC 中,C= 2 ,则 sin Asin B 的最大值是_______________.

sin A sin B = sin A sin( ? A) = sin A cos A 2 [解析] ∵在 Rt △ABC 中,C= 2 ,∴
1 π π 1 = sin 2 A 0< A< , A= 0 < 2A < π , ∴ 2 2 ∴ 4 时, sin Asin B 取得最大值 2 。 ,∵

π

π

4. 若 ?ABC 中, 解析

tan A =

1 3 10 , cos B = 2 10 ,则角 C 的大小是__________

1 3 10 10 1 Q tan A = , cos B = ,Q O < B < π ,∴ sin B = ,∴ tan B = 2 10 10 3
∴ tan C = tan(π ? A ? B ) = ? tan( A + B ) = tan A + tan B 3π = ?1,Q O < C < π ∴ C = tan A tan B ? 1 4
-8-

1 5.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a = 2, b = 3 , cos C = 3 ,则其外接圆的
半径为_______________.

1 Q c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C = 4 + 9 ? 2 × 2 × 3 × = 9 3 [解析] ,∴ c = 3

1 2 2 Q cos C = , 0 < C < 180o ,∴ sin C = 3 3

∴R =

3 9 2 c = = 2 sin C 4 2 8 3

20 3 ,求角 C。 6.在△ABC 中,已知 AB = 10 2 ,A=45°,BC= 3 sin C = AB sin A 10 20 3 = 3 BC BC ,又 BC= 3 时,故 sinC= 2 ;
∴ C 有两解 ∴ C = 60° 或 120°

解:由正弦定理得

Q AB ? sin 45° < BC < AB
综合拔高训练

7.在△ABC 中,已知 2a = b + c , sin A = sin B sin C ,试判断△ABC 的形状。
2

a b c a b = = = 2R sin A = sin B = 2R , 2R , 解:由正弦定理 sin A sin B sin C 得: sin C = c 2R 。 (

a 2 b c ) = ? 2 R 2 R ,即: a 2 = bc 。 所以由 sin A = sin B sin C 可得: 2 R
2

2 2 2 2 又已知 2a = b + c ,所以 4a = (b + c) ,所以 4bc = (b + c) ,即 (b ? c) = 0 ,

因而 b = c 。故由 2a = b + c 得: 2a = b + b = 2b , a = b 。所以 a = b = c ,△ABC 为等边三角形。 8.在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足: 2sin(A+B)- 3 =0,求△ABC 的面积。 3 解:由 2sin(A+B)- 3 =0,得 sin(A+B)= 2 , ∵△ABC 为锐角三角形

∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,∴a+b=2 3 , a·b=2, ∴c2=a2+b2-2a·bcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6,

-9-

S
∴c= 6 ,

ABC

=

1 ab sin C 1 3 3 2 =2 ×2× 2 = 2 。

9. 在△ABC 中,若 sin A + sin B = sin C (cos A + cos B ) . (1)判断△ABC 的形状; (2)在上述△ABC 中,若角 C 的对边 c = 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围。 解: (1)由 sin A + sin B = sin C (cos A + cos B )

2 sin 2
可得

C =1 ∴ cos C = 0 2

即 C=90°

∴ △ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形
r= 1 (a + b ? c ) 2 1 (sin A + sin B ? 1) 2

(2)内切圆半径

=

=

2 ? π? 1 sin ? A + ? ? ≤ 2 4? 2 ?

2 ?1 2

? 2 ?1? ? 0, ? ? 2 ? ? ∴ 内切圆半径的取值范围是 ?
10. (汕头金山中学 09 届高三 11 月考)在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是

a,b,c ,已知 c = 2 ,

C=

π 3.

(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin C + sin( B ? A) = 2 sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a + b ? ab = 4 ,
2 2

1 ab sin C = 3 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 2 ,得 ab = 4 .

?a 2 + b 2 ? ab = 4, ? ab = 4, 联立方程组 ? 解得 a = 2 , b = 2 .
(Ⅱ)由题意得 sin( B + A) + sin( B ? A) = 4sin A cos A ,

- 10 -

即 sin B cos A = 2sin A cos A ,当 cos A = 0 时,

A=

π π 4 3 2 3 B= a= b= 2, 6, 3 , 3 ,

当 cos A ≠ 0 时,得 sin B = 2sin A ,由正弦定理得 b = 2a ,

联立方程组

?a 2 + b 2 ? ab = 4, ? ?b = 2a,
S=

解得

a=

2 3 4 3 b= 3 , 3 .

所以 △ ABC 的面积

1 2 3 ab sin C = 2 3 .

- 11 -


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