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(教师用书)高中数学 第三章 导数应用章末归纳提升课件 北师大版选修2-2_图文

利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一, 其步骤为: (1)求函数的定义域,并求导; (2)研究导函数f′(x)的符号,解不等式f′(x)>0或 f′(x)<0; (3)确定函数的单调性或单调区间. 在求导这一环节中,往往要将导函数变形,其目的在 于方便下一环节研究导函数的符号,常见的措施有化为基 本初等函数、通分、因式分解等. 1 求函数f(x)=ln x- (x-1)2-x的单调区间. 4 【思路点拨】 按照求单调区间的步骤求解. 【规范解答】 函数的定义域为(0,+∞). 2 1 1 1 -x -x+2 -?x+2??x-1? f′(x)=x- x- = = . 2 2 2x 2x 令f′(x)>0,得0<x<1, 令f′(x)<0,得x>1. ∴f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞). 若函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上是增加的,则实 数a的取值范围是________. 【解析】 易知f′(x)=-3x2+a,当x∈(-1,1)时,令 f′(x)≥0,即-3x2+a≥0,即a≥3x2,又x∈(-1,1),故 a≥3.当a=3时,f(x)=-x3+3x,f′(x)=-3x2+3,在区间 (-1,1)上,显然符合题意.所以实数a的取值范围是[3,+ ∞). 【答案】 [3,+∞) 用导数研究函数的极值与最值 导数是求函数极值与最值的最有力工具,求函数极值 的一般步骤为: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)解方程f′(x)=0的根; (3)检验f′(x)=0的根的两侧f′(x)的符号. 若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值; 否则,此根不是f(x)的极值点. 对于求函数的最值问题,只需直接将极值与区间端点 函数值比较即可. 2 3 2 已知函数f(x)=x +ax +bx+c在x=- 和x=1处都 3 取极值. (1)求a,b的值; 1 (2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)>c+ c 恒成立,求c的取 值范围. 【思路点拨】 2 (1)根据函数f(x)在x=1及x=- 时取到 3 极值,列方程组求解. (2)转化为求f(x)在[-1,2]上的最值问题求解. 【规范解答】 (1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c, ∴f′(x)=3x2+2ax+b. 2 ∵在x=- 和x=1处取得极值, 3 2 4 2 ? ?f′?- ?=3× +2a×?- ?+b=0, 3 9 3 ∴? ? ?f′?1?=3+2a+b=0, 1 解得a=- ,b=-2. 2 1 (2)∵a=- ,b=-2, 2 1 2 ∴f(x)=x - x -2x+c,f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x 2 3 -1). 2 当x∈[-1,- )时,f′(x)>0; 3 2 当x∈(- ,1)时,f′(x)<0; 3 当x∈(1,2]时,f′(x)>0; ∴当x=1时,f(x)取极小值. ∵f(1)<f(-1), 3 ∴当x∈[-1,2]时,最小值为f(1)=c- . 2 1 ∵当x∈[-1,2]时,不等式f(x)>c+ c恒成立, 1 3 1 ∴只需使f(x)min>c+c 即可,即c- >c+c, 2 2 解得- <c<0. 3 设函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1和x=-1处均有极 值,且f(-1)=-1,求a+b+c的值. 【解】 f′(x)=3ax2+2bx+c. 因为函数f(x)在x=1和x=-1处均有极值,所以f′(1) =0,即3a+2b+c=0,① f′(-1)=0,即3a-2b+c=0.② 由f(-1)=-1,得-a+b-c=-1.③ 1 3 联立①②③,解得a=- ,b=0,c= . 2 2 1 3 故a+b+c=- +0+ =1. 2 2 导数的实际应用 利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题: (1)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意 义去考查,不符合实际意义的值应舍去. (2)在实际问题中,由f′(x)=0常常仅解到一个根,若 能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到,则这个 根处的函数值就是所求的最大(小)值. 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为 60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等 腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重 合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状包装盒,E, F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端 点,设AE=FB=x(cm). 图3-1 (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应 取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何 值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【思路点拨】 根据侧面积和体积公式建立侧面积和 体积关于x的函数,利用配方法或导数法求出最值. 【规范解答】 cm. 设包装盒的高为h cm,底面边长为a 60-2x 由已知得a= 2x,h= = 2(30-x),0<x<30. 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, 所以当x=15时,S取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x). 由V′=0,得x=0(舍)或x=20. 当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0. 所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时 a = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 . 2 2 某种型号的电器降价10x成(0≤x<1),那么销售数量就 增加10mx成(m∈R+).某商店此种电器的定价为每台a元, 则可以出售b台,若经降价x成后,此种电器营业额为y 5 元.试建立y与x的函数关系,并求m= 时,每台降价多少 4 成其营业额


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