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【K12教育学习资料】高中数学 常见的对数函数解题策略素材 新人教A版必修1

教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 常见的对数函数解题策略 一、分类讨论 例1 若实数 a 满足 log a 2 ? 1 ,求 a 的取值范围。 3 分析:需对 a 进行分类讨论。 2 2 ? log a a ,∴ a ? ; 3 3 2 2 2 当 0 ? a ? 1 时,∵ log a ? log a a ,∴ a ? ,即 0 ? a ? 。 3 3 3 当 a ? 1 时,∵ loga a ? 1 ,∴ log a ? 2? 故 a ? ? 0, ? (1, ??) 。 ? 3? 评注: 解含有对数符号的不等式时, 必须注意对数的底数是大于 1 还是小于 1, 然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。理解会用以下几个结论很有必 要:①当 a ? 1 时,若 loga x ? 0 ,则 x ? 1 ,若 l o g a x? 0 ,则 0 ? x ? 1 ;②当 0 ? a ? 1 时,若 loga x ? 0 ,则 0 ? x ? 1 ,若 loga x ? 0 ,则 x ? 1 。 二、数形结合 例2 若 x 满足 log2 x ? 3 ? x ,则 x 满足区间( B. (1,2) ) D. (3,4) A. (0,1) C. (1,3) 分析:本题左边是一个对数函数,右边是一个一次函数,可通过作图象求解。 解析:在同一直角坐标系中画出 y ? log2 x , y ? 3 ? x 的图象,如图所示,可观 察两图象交点的横坐标满足 1 ? x ? 3 ,答案选 C 。 y y ? log2 x x O 1 3 y ? 3? x 评注:解决该类问题的关键是正确作出函数 y ? log2 x , y ? 3 ? x 的图象,从而 观察交点的横坐标的取值范围。 三、特殊值法 用心 爱心 专心 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 1 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 例3 已知 y ? loga (2 ? ax) 在 [0,1] 上为 x 的减函数,则 a 的取值范围为( B . (1, 2) ) A . (0,1) C . (0, 2) D . [2, ??) 分析:由函数的单调性求底数 a 的取值范围,逆向考查,难度较大,可采用特 殊值法进行判断。 解 析 : 取 特 殊 值 a ? 0 . 5, x1 ? 0 , x2 ? 1 , 则 有 l o g 2ax1 ?) a (? log a (2 ? ax2 ) ? log 0.5 3 ,与 y 是 x 的减函数矛盾,排除 A 和 C ; 2 l0o g ,2 .5 取特殊值 a ? 3 , x1 ? 1 ,则 2 ? ax ? 2 ? 3 ? 0 ,所以 a ? 3 ,排除 D 。 答案选 B 。 评注:本题由常规的具体函数判断其单调性,变换为已知函数的单调性反过来 确定函数中底数 a 的范围,提高了思维层次。 四、合理换元 例4 ? ? 若 2 ? x ? 8 ,求函数 y ? ? log 1 x ? ? log 1 x 2 ? 5 的值域。 ? 4 ? 4 2 分析:通过对函数式进行变形,此题是一个二次函数求值域问题,可换元进行 求解。 解析:设 t ? log 1 x ,∵ 2 ? x ? 8 ,∴ log 1 8 ? t ? log 1 2 ,即 ? 4 2 2 4 4 3 1 ?t?? 。 2 2 ? ? ? ? 又 y ? ? log 1 x ? ? log 1 x 2 ? 5 ? log 1 x ? ? 2 log 1 x ? 5 , ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 3 1 ∴ y ? t 2 ? 2t ? 5 ? (t ? 1)2 ? 4 ,∵ ? ? t ? ? , 2 2 3 1 ∴当 t ? ?1 时, y 最小值为 4;当 t ? ? 或 t ? ? 时, y 值相等且最大, y 最大 2 2 17 为 。 4 ? 17 ? 故函数 y 的值域为 ? 4, ? 。 ? 4? 评注:换元法是一种常见的数学思想,也是一种常用的解题技巧,希望同学们 在今后的学习中合理转化,灵活运用。 用心 爱心 专心 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 2


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