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2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案:1-3函数的基本性质第2课时课堂探究学案 精品

1.3 函数的基本性质 课堂探究 探究一 利用函数的图象求函数的最值 函数的最大值就是函数图象最高点的纵坐标, 最小值就是函数图象最低点的纵坐标, 因 而只要作出函数的图象就可以求出函数的最值,这是求函数最值的常用方法之一. 【典型例题 1】 已知函数 f(x)=|x+1|+|x-1|. (1)画出 f(x)的图象; (2)根据图象写出 f(x)的最小值. 思路分析:(1)讨论 x 与±1 的大小,化函数 f(x)为分段函数形式; (2)函数图象的最低点的纵坐标是 f(x)的最小值. ?-2x,x ? -1, ? 解:(1)f(x)=|x+1|+|x-1|= ? 2,-1 ? x ? 1, 其图象如图所示. ?2x,x ? 1, ? (2)由图象,得函数 f(x)的最小值是 2. 方法小结用图象法求函数 y=f(x)的最值的步骤: (1)画出函数 y=f(x)的图象; (2)依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值. 探究二 利用函数的单调性求最值 1.函数的单调性是其定义域的子集上的性质,是“局部”性质,而函数的最值是整个 定义域上的性质,是“整体”性质. 2.若函数 f(x)在[a,b]上是增(减)函数,则 f(x)在[a,b]上的最小(大)值是 f(a), 最大(小)值是 f(b). 3.若函数 f(x)在[a,b]上是增(减)函数,在[b,c]上是减(增)函数,则 f(x)在[a,c] 上的最大(小)值是 f(b),最小(大)值是 f(a)与 f(c)中较小(大)的一个. 函数 f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则函数 f(x)在[a,b]上一 定有最值. 【典型例题 2】 已知函数 f(x)=x+ 4 ,x∈[1,3]. x (1)判断 f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性; (2)根据 f(x)的单调性写出 f(x)的最值. 分析:(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论; (2)借助最值与单调性的关系,写出最值. 解:(1)设 x1,x2 是区间[1,3]上的任意两个实数,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=x1-x2+ 4 4 - x1 x2 =(x1-x2) ? 1 ? ? ? 4 ? ? x1 x2 ? = ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 4) . x1 x2 ∵x1<x2,∴x1-x2<0. 当 1≤x1<x2≤2 时,x1-x2<0,且 1<x1x2<4, 即 x1x2-4<0. ∴f(x1)>f(x2), 即 f(x)在[1,2]上是减函数. 当 2≤x1<x2≤3 时,4<x1x2<9,即 x1x2-4>0. ∴f(x1)<f(x2),即 f(x)在[2,3]上是增函数. (2)由(1)知 f(x)的最小值为 f(2),f(2)=2+ 4 =4. 2 又∵f(1)=5,f(3)=3+ ∴f(x)的最大值为 5. 4 13 = <f(1), 3 3 方法总结利用函数的单调性求函数最值的步骤: (1)判断函数 f(x)的单调性; (2)借助最值与单调性的关系写出最值. 探究三 二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数 f(x)=a(x-h) +k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论. 对称轴 x=h 与[m,n]的位置关 系 2 f(x)的单调性 [m,n] [m,n] 最大值 最小值 h<m h>n m≤h≤n m≤h< f(n) f(m) f(n) f(m) f(n) f(h) m?n 2 [m,h] h= m?n 2 [h,n] f(m)或 f(n) f(m) f(h) m?n <h≤n 2 2 f(h) 【典型例题 3】 求函数 y=x -2ax-1 在[0,2]上的最值. 解:y=(x-a) -1-a . 当 a<0 时,[0,2]是函数的递增区间,如图(1). 故函数在 x=0 时,取得最小值-1, 在 x=2 时取得最大值 3-4a. 当 0≤a≤1 时,结合函数图象(如图(2))知, 函数在 x=a 时取得最小值-a -1, 在 x=2 时取得最大值 3-4a. 2 2 2 当 1<a≤2 时,结合图象(如图(3))知, 函数在 x=a 时取得最小值-a -1, 在 x=0 时取得最大值-1. 当 a>2 时,[0,2]是函数的递减区间,如图(4). 函数在 x=0 时取得最大值-1, 在 x=2 时取得最小值 3-4a. 规律总结探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y=f(x)的草图,然后 根据图象的增减性进行研究. 特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系, 它 是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据. 二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系:(1)对称轴在定义域区间 2 右侧;(2)对称轴在定义域区间左侧;(3)对称轴在定义域区间内. 探究四 易错辨析 易错点 求函数的最值忽视定义域 【典型例题 4】 已知函数 f(x)=-3x+5,x∈[0,1],则函数 f(x)( A.有最大值 2,有最小值 5 C.有最大值 1,有最小值 0 B.有最大值 5,有最小值 2 D.不存在最值 ) 错解:f(x)=-3x+5 是一次函数,值域是 R,不存在最值,故选 D. 错因分析:错解中,忽视了 f(x)的定义域是[0,1],不是 R. 正解:f(x)=-3x+5 在[0,1]上是减函数,则函数 f(x)的最大值是 f(0)=-3×0+5 =5,最小值是 f(1)=-3×1+5=2. 答案:B 精品文档 强烈推荐


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