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2013清华北大自主招生测评试题


2013 清华北大自主招生测评试题 数学 自主招生数学与逻辑测评试题
(考试时间:90 分钟,总分 100 分) 一、选择题:本大题共 6 小题.每小题 6 分,共 36 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设 z1 ,z2 为一对不相等的共轭复数,且 z1 = 3, ( ) A. 3 B. 6 C .3 D . 2 3
z12 为实数,则 z1 -z2 的值为 z2

2.若点 P 在曲线 y=-x2 -1 上,点 Q 在曲线 x=1+y 2 上,则 PQ 的最小值为 ( ) A. 3 2 B.
3 2 2

C.

3 2 4

D.

3 2 2 8
3 5 tan A =( tan B

3.在 ? ABC 中,三边和三角满足 a cos B -b cos A= c 则



A。3 B。4 C。5 D。6 4.如图,在正四棱锥 P?ABCD 中,∠APC=60°,则二面角 A?PB?C 的平面角的余弦值为( )
1 7 1 C. 2

A.

1 7 1 D. ? 2

B. ?

P

D

M C B

A

5.设 P 是函数 y =x + ? x >2 ? 图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y =x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A、B,则 PA ? PB = ( A.1 B.2 C.-1 D.-2 6.某情报站有 A、B、C、D 四种互不相同的密码,每周使用一种,且每
1

2 x

??? ? ??? ?



周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种,设第一周使 用 A 密码,则第七周也使用 A 密码的概率为( A.
43 81

) (用最简分数表示)

B.

61 243

C.

48 243

D. C )

61 81

选择题答题处: 1.( 6.( )

C ) 2.(

3.( B

) 4.(

B ) 5.(

C )

二、解答题(每题 16 分,共 64 分)
? 7.设函数 f n ? x ? =x n ?1-x ? 在 ? ,1? 上的最大值为 an ? n=1,2,3,?? ? ?2 ?
2

1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:对任何正整数 n ? n ? 2? ,都有 an ?
1

? n+2?

2

成立;
7 成 16

(3) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn , 求证: 对任意正整数 n, 都有 Sn < 立。

2

8.在平行四边形 ABCD 中,AB=x,BC=1,对角线 AC 与 BD 的夹角
?BOC =45? ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h ? x ? ,求 h ? x ? 的表达式,并写出

x 的取值范围。

3

9. 已知x ? 0, y ? 0, a ? x ? y , b ?

x 2 ? xy ? y 2 , c ? m

xy ,

问是否存在正数m使得对于任意正数x, y可使a, b, c为 一个三角形的三条边?如果存在, 求出m的值; 如果不 存在, 请说明理由.

4

10.20 个巫师孤岛聚会。在这期间,任何三个巫师都曾在一起诅咒过别 的某些巫师;证明:其中必存在某个巫师,他至少受到过其他 9 个巫师 的诅咒。

5

数学与逻辑测评试题答案 (考试时间:90 分钟,总分 100 分) 二、选择题:本大题共 6 小题.每小题 6 分,共 36 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.中学联盟网 1、C 2 、C 3、B 4、B 5、C 6、B

二、解答题(每题 16 分,共 64 分)
? 7.设函数 f n ? x ? =x n ?1-x ? 在 ? ,1? 上的最大值为 an ? n=1,2,3,?? ? ?2 ?
2

1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:对任何正整数 n ? n ? 2? ,都有 an ?
1

? n+2?

2

成立;
7 成 16

(3) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn , 求证: 对任意正整数 n, 都有 Sn < 立。

?1 ? 8 , ? n=1? 解:(1)利用导数可求得 an = ? ………………………5 分 ? 4n n ? , n ? 2 ? n +2 ? ? ? ? n+2 ?

(2)当 n ? 2 时,欲证

4n n

? n+2 ?

n +2

? 2? ? ,只需证 ?1+ ? ? 4 2 ? n? ? n+2 ? 1

n

利用二项式展开式可以得出结论。………………………10 分 (3)当 n=1,2 时结论显然成立 当 n ? 3 时由 (2) 可知 16 分
6

4n n

? n+2 ?

n +2

?

1

? n+2 ?

2

<

1 1 结论得证。 ………………… n +1 n +2

8.在平行四边形 ABCD 中,AB=x,BC=1,对角线 AC 与 BD 的夹角
?BOC =45? ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h ? x ? ,求 h ? x ? 的表达式,并写出

x 的取值范围。 解:由广义勾股定理(平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方 和) OB2 +OC 2 =
1 1 AB 2 +BC 2 ? = ? x 2 +1?? (1) ………………………2 分 ? 2 2

在 ? OBC 中,有余弦定理
BC2 =OB 2 +OC 2 -2OB ? OC cos ?BOC ? OB 2 +OC2 - 2OB ? OC =1? (2)

………………………4 分

由(1)(2)得 OB ? OC =

x 2 -1 ?(3) ………………………6 分 2 2

1 x 2 -1 ? S ABCD =4S? OBC =4 OB ? OC sin ?BOC = 2OB ? OC = ………………………8 分 2 2 x 2 -1 x 2 -1 ?h ? x? = 故 AB ? h ? x ? = ………………………10 分 2 2x

由(3)可得 x2 -1>0, ? x>1 ………………………12 分 因为由(2)(3)得 分
x 2 -1 ,1<x < 2+1 ………………………16 分 综上所述 h ? x ? = 2x

1 2 x 2 -1 x +1? ? 2 解得(结合x>1)1<x< 2+1 …………………14 ? 2 2 2

9. 已知x ? 0, y ? 0, a ? x ? y, b ? x 2 ? xy ? y 2 , c ? m xy , 问是否存在正数m使得对于任意正数x, y可使a, b, c为 一个三角形的三条边?如果存在, 求出m的值; 如果不 存在, 请说明理由.

7

解:设存在这样的正数m, 使a ? x ? y, b ? x 2 ? xy ? y 2 , c ? m xy为三角形的三条边.?????????4分

若x ? y, 则a ? 2 x ? 0, b ? 3x ? 0, c ? mx ? 0, ???????8分

由a ? b ? c, a ? c ? b, b ? c ? a, 解得2 ? 3 ? m ? 2 ? 3, 此为m需要满足的必要条件.????????12分

易知当 m=1 时成立,所以这样的 m 存在。……………………16 分 10.20 个巫师孤岛聚会。在这期间,任何三个巫师都曾在一起诅咒过别 的某些巫师;证明:其中必存在某个巫师,他至少受到过其他 9 个巫师 的诅咒。 解析:20 个巫师,共可作成 C3 20 个“三巫组”,每个组至少诅咒过一人, 故被诅咒过的巫师至少有 C3 20 人次,………………………4 分 设 W 是受到诅咒最多的一个巫师,他被 m 个“三巫组”诅咒过,则
m?
3 C20 =57 ,………………………8 分 20

8

若这 m 个“三巫组”中,总共含有 k 个巫师,这 k 人共可组成 Ck3 个“三 巫组”, ………………………10 分 因此, Ck3 ? m ? 57 ,………………………12 分 注意到,当 k ? 3 时,组合数 Ck3 严格递增;因为
3 3 C8 =56<57,C9 =84>57 ,………………………14 分

由此得 k ? 9 。………………………16 分

9


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