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2018版高中数学(人教A版)必修2同步教师用书: 第1章 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3 1.3.1 空间几何体的表面积与体积 柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的表面积与体 积的求法.(重点) 2.会求组合体的表面积与体积.(难点、易错点) [基础· 初探] 教材整理 1 柱体、锥体、台体的表面积 阅读教材 P23~P25“例 2”以上内容,完成下列问题. 1.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积 名称 图形 公式 底面积:S 底=2πr2 圆柱 侧面积:S 侧=2πrl 表面积:S=2πrl+2πr2 底面积:S 底=πr2 圆锥 侧面积:S 侧=πrl 表面积:S=πrl+πr2 上底面面积:S 上底=πr′2 圆台 下底面面积:S 下底=πr2 侧面积:S 侧=πl(r+r′) 表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl) 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( (3)圆台的高就是相应母线的长.( ) (4)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等.( 【解析】 (1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和. ) (2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形. (3)错误.圆台的高是指两个底面之间的距离. (4)错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不相同.但 是,不论怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的. 【答案】 教材整理 2 (1)√ (2)× (3)× (4)× 柱体、锥体与台体的体积公式 阅读教材 P25“例 2”以下~P26“思考”以上内容,完成下列问题. (1)柱体:柱体的底面面积为 S,高为 h,则 V=Sh. 1 (2)锥体:锥体的底面面积为 S,高为 h,则 V=3Sh. 1 (3)台体: 台体的上、 下底面面积分别为 S′、 S, 高为 h, 则 V= (S′+ S′S 3 +S)h. 圆锥的母线长为 5,底面半径为 3,则其体积为( A.15π C.12π B.30 D.36π ) 【解析】 【答案】 圆锥的高 h= C 1 52-32=4,故 V=3π×32×4=12π. [小组合作型] 空间几何体的表面积和侧面积 一个直角梯形的两底边长分别为 2 和 5, 高为 4.将其绕较长底所在直 线旋转一周,求所得旋转体的表面积. 【精彩点拨】 【自主解答】 旋转所得到的几何体为圆柱与圆锥的组合体. 旋转所得几何体如图. 由图可知, 几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面 积之和, ∴S=S 圆柱底+S 圆柱侧+S 圆锥侧 =π×42+2π×4×2+π×4×5 =16π+16π+20π=52π. 1.求几何体的表面积时,通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体,再 通过这些基本柱、锥、台体的表面积,进行求和或作差,从而获得几何体的表面 积. 2. 组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面积. [再练一题] 1.圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4,若母线长为 10,则圆台的 表面积为( A.81π C.168π ) B.100π D.169π C [圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为 r,下底面半径为 R,则它的 母线长为 l= h2+?R-r?2= ?4r?2+?3r?2=5r=10,所以 r=2,R=8. 故 S 侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π, S 表=S 侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.] 空间几何体的体积 31 所示,在长方体 ABCDA′B′C′D′中,用截面截下一 如图 1A′DD′,求棱锥 CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 个棱锥 C- 图 131 【精彩点拨】 先求出棱锥的体积,再求得剩余部分的体积,最后求得体积 之比. 【自主解答】 法一:设 AB=a,AD=b,DD′=c, 则长方体 ABCDA′B′C′D′的体积 V=abc, 1 又 S△A′DD′=2bc, 且三棱锥 CA′DD′的高为 CD=a. 1 1 ∴V 三棱锥 CCD = A′DD′= S△A′D′D· 3 6abc. 1 5 则剩余部分的几何体体积 V 剩=abc-6abc=6abc. 1 5 故 V 棱锥 CA′DD′∶V 剩= abc∶ abc=1∶5. 6 6 法 二 : 已 知 长 方 体 可 以 看 成 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 柱 ADD′A′BCC′B′,设它的底面 ADD′A′面积为 S,高为 h,则它的体积为 V=Sh. 1 而棱锥 CA′DD′的底面面积为2S,高为 h, 1 1 1 因此棱锥 CA′DD′的体积 VCA′DD′= × Sh= Sh. 3 2 6 1 5 剩余部分的体积是 Sh-6Sh=6Sh. 所以棱锥 CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 1 5 6Sh∶6Sh=1∶5. 1.常见的求几何体体积的方法 (1)公式法:直接代入公式求解. (2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高 都易求的形式即可. (3)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. 2.求几何体体积时需注意的问题 柱、 锥、 台体的体积的计算, 一般要找出相应的底面和高, 要充分利用截面、 轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算. [再练一题]2.如图 132 所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a,过顶点 B,D,A1 截下一个三棱锥. 图 132 (1)求剩余部分的体积; (2)求三棱锥 AA1BD 的高. 【解】 1 (1)V 三棱锥 A1A1A ABD= S△ABD· 3 1 1 1 =3×2· AB· AD· A1A=6a3. 故剩余部分的体积 V=V 正方


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