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江苏省常州市2016届高三上学期期末考试 数学


常州市 2016 届高三上学期期末学业水平监测 数学 I 试题
2016.01

一、填空题(70 分) 1、设复数 z 满足(z+i) (2+i)=5(i 为虚数单位) ,则 z= 2、设全集 U= ?1,2,3,4? ,集合 A= ?1,3? ,B= ?2,3? ,则 B ? CU A = 3、某地区有高中学校 10 所,初中学校 30 所,小学学校 60 所,现采用分层抽样的方法从这些学校 中抽取 20 所学校对学生进行体质健康检查,则应抽取初中学校 所。 4、已知双曲线 C: 为 5、函数 f ( x) ? log2 (?x2 ? 2 2) 的值域为 6、某校从 2 名男生和 3 名女生中随机选出 3 名学生做义工,则选 出的学生中男女生都有的概率 为 7、如图所示的流程图中,输出 S 的值是 8、已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2,锐角为 60° 的菱形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,PA=3,若点 M 是 BC 的中点,则三 棱锥 M-PAD 的体积为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线经过点 P(1,-2) ,则该双曲线的离心率 a 2 b2

?4 x ? y ? 10 ?4 x ? 3 y ? 20 ? 9、已知实数 x , y 满足 ? ,则 2 x ? y 的最大值为 x ? 0 ? ? ?y ? 0
10、 a ? (4 , 2 ), b ? (1,
x x

?

?

? ? 2x ? 2 ) , x ? R ,若 a ? b , x 2

则| a ?b |= 11 、 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a1 ? a2 ?

? ?

a3 ? a4 ? a5 ? a6 =40,则

a7 ? a8 ? a9 的值为 9

4 , 9

12、如图,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4, CD=1, 动点 P 在边 BC 上, 且满足 AP ? mAB ? nAD(m, n 均为正数) , 则

??? ?

??? ?

??? ?

1 1 ? 的最小值为 m n
·1·

13 、在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1, O1 : ( x ? 4)2 ? y2 ? 4 ,动点 P 在直线

x ? 3 y ? b ? 0 上,过 P 分别作圆 O,O1 的切线,切点分别为 AB,若满足 PB=2PA 的点 P 有且只
有两个,则实数 b 的取值范围是 14、已知函数 f ( x ) ? ?

? 2 x 2 ? 3 x, x ? 0 ? ,若不等式 f ( x) ? kx 对 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围 x 2 e ? 3 , x ? 0 ? ?

是 二、解答题(90 分) 15、 (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos( B ? C ) ? 1 ? cos A ,且 b, a, c 成等比数 列,求: sin C 的值; (1) sin B? (2)A; (3) tan B ? tan C 的值。

16、 (本小题满分 14 分) 如图,正三棱柱 A1B1C1-ABC,点 D、E 分别是 A1C、AB 的中点。 (I)求证:ED∥平面 BB1C1C; (II)若 AB= 2 BB1,求证:AB⊥平面 B1CE。

·2·

17、 (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的公为 d 为整数,且 ak ? k 2 ? 2 ,a2k ? (k ? 2)2 ,其中 k 为常数且 k ? N * 。 (1)求 k 及 an ; (2)设 a1 ? 1 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 的首项为 1,公比为 q(q>0) ,前 n 项 和为 Tn ,若存在正整数 m,使得

S2 ? T3 ,求 q。 Sm

18、 (本小题满分 16 分)如图,直线 l 是湖岸线,O 是 l 上一点,弧 AB 是以 O 为圆心的半圆形栈桥, C 为湖岸线 l 上一观景亭,现规划在湖中建一小岛 D,同时沿线段 CD 和 DP(点 P 在半圆形栈桥上 且不与点 A,B 重合)建栈桥。考虑到美观需要,设计方案为 DP=DC,∠CDP=60°且圆弧栈桥 BP 在∠CDP 的内部,已知 BC=2OB=2(km) ,没湖岸 BC 与直线栈桥 CD,DP 及圆弧栈桥 BP 围成的区域 2 (图中阴影部分)的面积为 S(km ) ,∠BOP= ? 。 (1)求 S 关于 ? 的函数关系式; (2)试判断 S 是否存在最大值,若存在,求出对应的 cos ? 的值,若不存在,说明理由。

19、 (本小题满分 16 分)

b x2 y 2 在平面直角坐标系 xoy 中,设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 e,定义直线 y ? ? 为椭圆 e a b
的“类准线” ,已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y ? ?2 3 ,长轴长为 4。 (I)求椭圆 C 的方程; (II)点 P 在椭圆 C 的“类准线”上(但不在 y 轴上) ,过点 P 作圆 O: x ? y ? 3 的切线 l ,过点
2 2

·3·

O 且垂直于 OP 的直线与 l 交于点 A,问点 A 是否在椭圆 C 上?证明你的结论。

20、 (本小题满分 14 分) 已知 a , b 为实数,函数 f ( x) ? ax3 ? bx 。 (1)当 a =1 且 b ? [1,3] 时,求函数 F ( x) ?| (2)当 a ? 0, b ? ?1 时,记 h( x) ?

f ( x) 1 ? ln x | ?2b ? 1( x ? [ , 2]) 的最大值 M(b); x 2

ln x 。 f ( x)

①函数 h( x) 的图象上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y ? y ( x) ,记 g ( x) ? h( x) ? y( x) 。 问:是否存在 x0 ,使得对于任意 x1 ? (0, x0 ) ,任意 x2 ? ( x1 , ??) ,都有 g ( x1 ) g ( x2 ) ? 0 恒成立? 若存在,求出所有可能的 x0 组成的集合,若不存在,说明理由。

?x ? ,x ? s ②令函数 H ( x) ? ? 2e ,若对任意实数 k,总存在实数 x0 ,使得 H ( x0 ) ? k 成立,求 ? ?h( x), 0 ? x ? s
实数 s 的取值集合。

·4·

数学 II(附加题)2016.01
21. 【选做题】 A.[选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图所示,△ABC 是圆 O 的内接三角形,且 AB=AC,AP∥BC,弦 CE 的延长线交 AP 于点 D。 求证:AD2=DE·DC

B.[选修 4—2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 M= ?

2? ?a   ?1? 的属于特征值 8 的一个特征向量是 e ? ? ? ,点 P(-1,2)在 M 对应的变 ? ?4 b ? ?1?

换作用下得到点 Q,求 Q 的坐标。

C.[选修 4—4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在平面直角坐标 xoy 中,曲线 C: ?

? ? x ? 6 cos ? ? ? y ? 2 sin ?

(? 为参数) ,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,

建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? (cos? ? 3sin ? ) ? 4 ? 0 ,求曲线 C 上的点到直线 l 的最大 距离。

·5·

D、选修 4-5:不等式选讲 已知 | x |? 2,| y |? 2 ,求证: | 4 ? xy |? 2 | x ? y |

[必做题](第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22、 (10 分) 如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧面 ADD1A1⊥底面 ABCD,D1A=D1D= 2 ,底面 ABCD 为 直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2。 (1)在平面 ABCD 内找一点 F,使得 D1F⊥平面 AB1C; (2)求二面角 C-B1A-B 的平面角的余弦值。

23、 (10 分)

1 a n ?1 ? a ? n?1 (n ? N *) , a ? ?1, 0,1 设 b ? a ? 。 已知数列 ?an ? 满足 an ? ?1 a a?a
(1)求证: an?1 ? ban ? an?1 (n ? 2, n ? N *)

(2)当 n(n ? N *) 为奇数, an ? 表达式,并用数学归纳法证明。

? (?1) C
i i ?0

n ?1 2

i n ? 2i n ?1

b

,猜想当 n(n ? N *) 为偶数时, an 关于 b 的

·6·

参考答案
1、2-2 i 6、 2、 ?2? 7、 3、6 8、 3 4、 5 9、7.5 5、 (??, ] 10、2 14、 [?3, e ]
2

3 2

9 10

2 3

11、117

12、

7?4 3 4

13、 ?-

? ?

20 ? ,4 ? 3 ?

·7·

·8·

·9·

·10·

·11·

·12·

·13·

·14·

·15·

·16·

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·17·



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