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高二理圆锥曲线期末复习


高二理圆锥曲线期末复习 1..已知 F1 , F2 是双曲线的两个焦点,过 F2 作垂直于实轴的直线 PQ 交双曲线于 P ,Q 两 点,若∠ PF1Q ? A. 2 ? 2 2. 已知点 P 是抛物线

?
2

,则双曲线的离心率 e 等于( B. 2 ? 1 C. 2

) D. 2 ? 1

?7 ? y 2 ? 2 x 上的动点,且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A ? ,4 ? ,则 ?2 ?
)A.

PA ? PM 的最小值是(

7 2

B. 4

C.

9 2

D. 5

3.设 O 是坐标原点, 若直线 l : y ? x ? b ? b ? 0 ? 与圆 x2 + y 2 = 4 交于不同的两点 P1 、
???? ? ???? ???? P2 ,且 PP 1 2 ? OP 1 ? OP 2 ,则实数 b 的最大值是(

)

A. 2 B. 2 C.

6 D. 2 2

x2 y2 4. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若等边 △F1F2 P 的一个顶 a b
点 P 在椭圆 C 上,则椭圆 C 的离心率为______. 5. 已知点 A( ? ,0) , 抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,点 P 在抛物线上,且 | AP |? 2 | PF | ,

1 2 则 | OP |? ___ .

6. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,斜率为 1 的直线过 F 且交椭圆于 A、B a 2 b2
?

两点,若 OA ? OB 与 a =(3,-1)共线,则此椭圆的离心率为________。 (提示:点差法) 7. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,经过 F 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ,与
2

准线 l 交于点 B ,且 AK ⊥ l 于 K ,如果 | AF |?| BF | ,那么 △ AKF 的面积是

8.过椭圆 C :

???? ? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 的直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点. 若 AF2 ? F2 B , 4 3

则点 A 与左焦点 F1 的距离 AF1 ? ________.
9. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,? 为其六个面中的一个. 点 P ? ? 且 P 不在棱上,若 P 到 异面直线 AA1 , CD 的距离相等, 则点 P 的轨迹可能是_________. (填上所有正确的序号) ①圆的一部分 ②椭圆的一部分 ③双曲线的一部分 ④抛物线的一部分

10.(本小题共 10 分) 如图,已知直线 y ? kx(k ? 0) 与椭圆 C : 垂直,且与椭圆 C 的另一个交点为 A . ( I ) 求直线 PA 与 AQ 的斜率之积; ( II ) 若直线 AQ 与 x 轴交于点 B ,求证: PB 与 x 轴垂直.
O
Q
B

x2 ? y 2 ? 1 交于 P, Q 两点. 过点 P 的直线 PA 与 PQ 2
y P
A x

x2 y2 11. 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 a b
F1,F2,离心率为

2 ,且过点(2, 2 ) 。 2


(1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y2 ? ? 1) 8 4

(2)M,N,P,Q 是椭圆 C 上的四个不同的点,两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和 PQ 分别过点 F1,F2,且这两条直线互相垂直,求证:

1 1 为定值。 ? MN PQ

12.(本小题满分 14 分) 已知 A, B, C 为椭圆 W : x2 ? 2 y 2 ? 2 上的三个点, O 为坐标原点. (Ⅰ)若 A, C 所在的直线方程为 y ? x ? 1 ,求 AC 的长; (Ⅱ)设 P 为线段 OB 上一点,且 OB ? 3 OP ,当 AC 中点恰为点 P 时,判断 ?OAC 的 面积是否为常数,并说明理由.

x2 13. (本题满分 14 分) 已知椭圆 W : ? y 2 ? 1, 过原点 O 作直线 l1 交椭圆 W 于 A, B 4

两点, P 为椭圆上异于 A, B 的动点,连接 PA, PB ,设直线 PA, PB 的斜率分别为 ,过 O 作直线 PA , PB 的平行线 l2,l3 ,分别交椭圆 W 于 C,D k1 , k2 ( k1 , k2 ? 0 ) 和 E,F . (Ⅰ)若 A, B 分别为椭圆 W 的左、右顶点,是否存在点 P ,使 ?APB ? 90? ?说 明理由.(Ⅱ)求 k1 ? k2 的值; (Ⅲ)求 CD + EF 的值.
2 2

1.B 2.C

3.B

4.

1 5. 2

6 5 6. 7. 4 3 2 3

8. 2

5

9. ④

10.(本小题满分 10 分) 解: (I)法一:设点 P( x1 , y1 ), A( x2 , y2 ) ,

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 因为 ? , 所以 (2k 2 ? 1) x 2 ? 2 ? y ? kx
所以 x 2 ?

2 2k ? 1
2

,所以 P, Q 的横坐标互为相反数, -------------1 分

所以可设 Q(? x1 , ? y1 ) . 因为直线 PQ 的斜率为 k ,且 k ? 0 , 而 k PA ?

y2 ? y1 y ? ( ? y1 ) y2 ? y1 , k AQ ? 2 , ? x2 ? x1 x2 ? ( ? x1 ) x2 ? x1

-------------2 分

所以 k PA ? k AQ ?

y2 ? y1 y2 ? y1 y2 2 ? y12 ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 2 ? x12
x12 x2 ? y12 ? 1, 2 ? y2 2 ? 1, -------------3 分 2 2

因为点 P, A 都在椭圆上,所以

所以 kPA ? k AQ ?

y2 ? y ? x2 2 ? x
2 2 1 2 1

(1 ?

x2 2 x2 ) ? (1 ? 1 ) 2 2 x2 2 ? x12

1 2 ( x1 ? x2 2 ) ?2 2 x2 ? x12

1 ? ? -------------5 分 2
法二:设点 P( x1 , y1 ), A( x2 , y2 ) ,

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 因为 ? , 所以 (2k 2 ? 1) x 2 ? 2 y ? kx ?
所以 x 2 ?

2 2k ? 1
2

,所以 P, Q 的横坐标互为相反数, -------------1 分

所以可设 Q(? x1 , ? y1 ) .

因为直线 PQ 的斜率为 k ,且 k ? 0 ,所以直线 PA 的斜率存在, 设直线 PA 的方程为 y ? k1 x ? m .

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 所以 ? ,消元得到 (1 ? 2k12 ) x 2 ? 4k1mx ? 2m2 ? 2 ? 0 . y ? k x ? m ? 1
? ? 2 2 ? ? ? 4(4k1 ? 2m ? 2) ? 0 ? ?4k1m ? 所以 ? x1 ? x2 ? -------------3 分 1 ? 2k12 ? ? 2m 2 ? 2 ? x1 x2 ? 1 ? 2k12 ? ?
又 y1 ? y2 ? (k1 x1 ? m) ? (k1 x2 ? m) ?

-------------2 分

2m . 1 ? 2k12

-------------4 分

所以 k AQ ?

y2 ? ( ? y1 ) y2 ? y1 1 , ? ?? x2 ? ( ? x1 ) x2 ? x1 2k1 1 1 ? k1 ? ? . 2k1 2 y2 ? y1 1 ,而直线 PQ , PA 垂直, ?? x2 ? x1 2k1
-------------6 分 -------------7 分 -------------8 分 -------------9 分 -------------10 分

所以 k PA ? k AQ ? ?

-------------5 分

(II)因为 k AQ ? 所以 k1 ? ?

1 k ,所以 k AQ ? , k 2

k 所以直线 AQ 的方程为 y ? (? y1 ) ? [ x ? (? x1 )] . 2 k 令 y ? 0 ,得 y1 ? ( x ? x1 ) , 2
因为点 P( x1 , y1 ) 在直线 y ? kx 上,所以 y1 ? kx1 , 代入得到 B 的横坐标为 x0 ? x1 ,所以直线 PB 与 x 轴垂直.

11.(2)证明:由(1)知椭圆 C 的焦点坐标为 F1(-2,0) ,F2(2,0) , 根据题意,可设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 由于直线 MN 与直线 PQ 互相垂直,则直线 PQ 的方程为 y ? ? 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

1 ( x ? 2) 。 k

? y ? k ( x ? 2), ? 由方程组 ? x 2 消y得 y2 ?1 ? ? 4 ?8
(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0。

? 8k 2 8k 2 ? 8 则 x1+x2= ,x1x2= 。 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
所以 MN ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?
2 2

4 2 (1 ? k 2 ) 。 2k 2 ? 1

同理可得 PQ ?

4 2 (1 ? k 2 ) 。 k2 ? 2

所以

1 1 2k 2 ? 1 k2 ? 2 3k 2 ? 3 3 2 ? ? ? ? ? 。 MN PQ 4 2 (1 ? k 2 ) 4 2 (1 ? k 2 ) 4 2 (1 ? k 2 ) 8

12. (本小题满分 14 分) (Ⅰ解:由 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? y ? x ?1

得 3x 2 ? 4 x ? 0 解得 x ? 0 或 x ? ?

4 , ………2 分 3

所以 A, C 两点的坐标为 (0,1) 和 (? 所以 AC ?

4 1 ,? ) , 3 3

……………4 分

4 2. 3

……………5 分

(Ⅱ)①若 B 是椭圆的右顶点(左顶点一样) ,则 B( 2,0) , 因为 OB ? 3 OP , P 在线段 OB 上,所以 P( 所以 ?OAC 的面积等于

4 2 2 ,…6 分 , 0) ,求得 AC ? 3 3

? 4 2 2 4 …………7 分 ? ? = . 2 3 3 9 ②若 B 不是椭圆的左、右顶点,设 AC : y ? kx ? m(m ? 0) , A( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,

?x ? 2 y ? 2 4km 2m 2 ? 2 x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? , 2k ? 1 2k 2 ? 1
2 2

由?

? y ? kx ? m,

得 (2k ? 1) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , …………8 分
2 2 2

所以, AC 的中点 P 的坐标为 (? 所以 B ( ?

2km m , 2 ), 2 2k ? 1 2k ? 1

……………9 分

6km 3m , 2 ) ,代入椭圆方程,化简得 2k 2 ? 1 ? 9m2 …………10 分 2 2k ? 1 2k ? 1
2

计算 AC ? 1 ? k

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
………………12 分

2 2 1 ? k 2 2k 2 ? 1 ? m 2 ……11 分 2k 2 ? 1

8 1? k 2 = . 9m

因为点 O 到 AC 的距离 dO? AC ? 所以, ?OAC 的面积 S ?OAC ?

m 1? k 2

.

……………13 分

m ? 8 1? k 2 4 ? ? ? . AC ? dO ? AC ? ? 2 2 9m 9 2 1? k

综上, ?OAC 面积为常数

4 . 9

……………14

13(本题满分 14 分)

(Ⅰ)不存在点 P ,使 ?APB ? 90? .说明如下:
??? ? ??? ? , yP ? ,BP = ? xP ? 2, yP ? . 设P 此时 A ,B , 则 AP = ? xP ?2 (-2, 0) (2, 0) (xP , yP ) .依题意,

??? ? ??? ? 2 2 若 ?APB ? 90? ,则需使 AP ? BP ? 0 ,即 xP ? 4 ? yP ?0.
又点 P 在椭圆 W 上所以

…………(1)

xP 2 x 2 ? yP 2 ? 1 ,把 yP 2 ? 1 ? P 代入(1)式中解得, xP ? ?2 , 4 4

且 yP ? 0 .显然与 P 为椭圆上异于 A, B 的点矛盾,所以不存在.………4 分 (Ⅱ)设 P (-xA , ? y A ) . (xP , yP ) , A (xA , yA ) ,依题意直线 l1 过原点,则 B 由于 P 为椭圆上异于 A, B 的点,则直线 PA 的斜率 k1 ?
2 yP ? y A y 2 ? yA .即 k1 ? k2 = P . 2 2 xP ? xA xP ? xA

yP ? y A ,直线 PB 的斜率 xP ? x A

k2 ?

椭圆 W 的方程化为 x2 ? 4 y 2 ? 4 ,由于点 P 和点 A 都为椭圆 W 上的点,则
2 ? xP ? 4 y2 ? 4 2 ,两式相减得 xP 2 ? xA2 ? 4( yP 2 ? yA ) ? 0 ,因为点 P 和点 A 不重合,所 ? x 2 ? 4 yP 2 ? A A ?4

以1 ? 4 ?

2 2 2 yP 2 ? y A yP ? yA 1 ,即 ? 0 k ? k = = ? . ……………………8 分 1 2 2 2 2 2 xP ? xA xP ? xA 4

(Ⅲ)方法一: 由于 l2 , l3 分别平行于直线 PA , PB , 则直线 l2 的斜率 kCD ? k1 ,直线 l3 的斜率

kEF ? k2 .
2 2 2 设 直 线 l2 的 方 程 为 y ? k 1 x, 代 入 到 椭 圆 方 程 中 , 得 x ? 4k1 x ? 4 , 解 得

x2 ?

4 4k ? 1
2 1

.

设C (xC , yC ) ,由直线 l2 过原点,则 D (? xC , ? yC ) .

2 2 则 CD = ? xC ? (? xC ) ? ? ? yC ? (? yC ) ? = ( 4 xC +yC ).
2 2 2

2 由于 yC ? k1xC ,所以 CD = ( ,即 CD = 16 4 1+k12 ) xC

2

2

k12 ? 1 . 4k12 ? 1
4 4k ? 1
2 2

2 2 直线 l3 的方程为 y ? k2 x , 代入到椭圆方程中, 得 x2 ? 4k2 解得 x 2 ? x ?4,

.

同理可得 EF =16

2

2 2 k2 ?1 k12 ? 1 k2 ?1 2 2 CD + EF = . 则 . 16 ( + ) 2 2 2 4k2 ? 1 4k1 ? 1 4k2 ? 1

由(Ⅱ)问 k1 ? k2 = ?

1 1 ,且 k1 ? 0 ,则 k2 ? ? . 4 4k1

1 ? ? ?1 ? 2 2 ? k ? 1 16k1 2 2 ? 即 CD + EF =16 ? 1 2 + ? 4k1 ? 1 4 1 ? 1 ? ? ? 16k12 ? ?
? 4k 2 ? 4 ? 16k12 ? 1 ? 2 2 2 2 化简得 CD + EF =16 ? 1 ? .即 CD + EF =20 . 2 ( 4 4k1 ? 1 ) ? ?

………14 分

方法二: 设C (xC , yC ) , E (xE , yE ) ,由直线 l2,l3 都过原点,则 D (? xC , ? yC ) , F (? xE , ? yE ) . 由于 l2 , l3 分别平行于直线 PA , PB , 则直线 l2 的斜率 kCD ? k1 ,直线 l3 的斜率

kEF ? k2 , 由 ( Ⅱ ) 问 k1 ? k2 = ?
kEF ? ?

1 , 可 得 kC D ? k 4

EF

??

1 . 由 于 kCD ? k1 ? 0 , 则 4

x 1 .由于点 C 不可能在 x 轴上,即 yC ? 0 ,所以 k EF ? ? C ,过原点的直 4k1 4 yC xC 1 x2 2 x ,代入椭圆 W 的方程中,得 x2 ? (4 ? ? C ) x ? 4 ,化 2 4 yC 16 yC

线 l3 的方程为 y ? ?

2 16 yC 简得 x ? 2 . 2 4 yC ? xC 2

2 2 2 由于点 C ,不妨设 xE ? 2 yC , (xC , yC ) 在椭圆 W 上,所以 xC +4 yC =4 ,所以 x2 ? 4 yC

代入到直线 y ? ?

1 1 1 xC (2 yC , ? xC ) ,则 F (-2 yC , xC ) . x 中,得 yE ? ? xC .即 E 2 2 2 4 yC

2 2 2 2 2 2 2 CD + EF = 4( xC ? yC ? 4 yC ? ? yC ? yE ? xE ) = 4( xC

2

2

1 2 ? 1 2 2 ? xC ) = 4 ? 4 ? ( xC ? 4 yC )? . 4 ? 4 ?

2 2 又 xC +4 yC =4 ,所以 CD + EF =20 .

2

2

……………………14 分


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