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2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学设计2


2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学设计
高一 B7 一、教材分析:
向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁,对更新和完 善中学数学知识结构起着重要的作用.向量集数与形于一身,有着极其丰富的实际背景,在现实生活中随处 可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景,有向线段是它的几何背景.向量就是从这 些实际对象中抽象概括出来的数学概念,经过研究,建立起完整的知识体系之后,向量又作为数学模型,广 泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题,因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的. 本节从物理学中的速度、力等既有大小又有方向的量出发,抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数 量的区别,然后介绍了向量的几何表示、向量的长度(模)、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等 向量等基本概念. 本课包括“章引言”和“平面向量的实际背景及基本概念”两部分,是“平面向量”的概念课,具有“统 领全局”的作用.不仅要让学生理解向量的形式化定义及几个相关概念,而且能让学生去体会认识与研究数 学新对象的方法和基本思路,进而提高提出问题,解决问题的能力.

二、学情分析:
在学生的已有经验中,与本课相关的有:知道力、位移、速度等是既有大小又有方向的物理量(矢量) , 知道可以借助有向线段来求作力的图示;了解数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度) 、数的相等、单 位长度、0 和 1 的特殊性、线段的平行与共线; 对类比的思想方法有所了解等. 虽然学生具备以上的认知基础,但是,由于学生处于高一年级,对于本节课的难点:向量概念的理解及 形成过程、零向量、相等向量、共线向量等概念,尤其在思维辨析方面,总体情况可能不是太好.所以在分 辨对向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上,适度加以引导和指导. 三、教学目标: 1.知识与技能 (1)理解向量的概念;理解数量与向量的区别;掌握向量的表示方法:几何表示、字母表示; (2)理解特殊的向量:零向量、单位向量;理解向量的几种特殊关系:平行(共线)向量、相等向量;揭 示向量可以平移这一特性; (3)在学习的过程中,学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程 度培养和提高. 2.过程与方法 (1) 了解向量概念及其产生的实际背景,让学生经历向量学习的过程,能体会出向量来自于客观现实;
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(2) 能体会到研究一个新的量的基本套路、能体会认识数学新对象的基本方法; (3) 学生经历向量概念、表示,特殊向量和特殊关系的学习,感受到类比的思想和联系的观点是科学探究 中常用的手段. 3.情感、态度与价值观 (1)学生感受向量的概念、方法源于现实放世界,激发数学学习兴趣;经历用有向线段表示向量的操作过程, 体会数学的实用性、表达的简洁美; (2) 在体会研究数学问题的基本套路的同时,进而提高提出问题、研究问题的能力.

四、教学重、难点: 教学重点:理解向量的概念、掌握向量的几何表示、零向量、单位向量、相等向量、平行(共线)向量的
概念. 突出策略:通过教师举例引导,启发学生联系既有经验,主动找寻实际生活中所存在的既有大小又有方向的 量,让学生充分感知从而提炼出“向量”的概念;引导学生从向量的两个要素出发,启发学生联想到物理学 中表示力的方式,引导学生借助有向线段来表示向量;并进一步启发学生,用类比的思想、联系的观点回忆 在学习实数时,0 与 1 的特殊性,从而发现长度(模)为零的向量(零向量) ,长度为 1 的向量(单位向量) 是特殊的,至于方向,启发学生之间互相争论,让学生主动认识从“方向”的角度去认识平行向量;最后抓 住向量的本质属性,理解相等向量、共线向量的概念.

教学难点:让学生感受抽象出向量概念的过程,平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
突破策略:通过演示实验抓住向量的内涵:既有大小又有方向;通过出示已经准备好的含有多个向量的 PPT, 让学生主动探求向量之间的特殊位置关系,用类比的思想、联系的观点,抓住向量的本质属性,启发学生结 合图形实物去区分平行向量、相等向量、共线向量等概念;并揭示向量可以平移这一特性.

五、教法学法:
以学生为学习的主体,师生互动为主线,以问题导学,提高学习效率,探索高效的教学模式. 启发式教学:学生在物理学中已经具备了一些感性经验,在生活实际中亦大量存在既有大小又有方向的量. 另一方面,向量作为一个全新的概念,需要大量实例的引导、铺垫来抽象出这个概念.教师可采取问题串的 方式进行启发式教学,引导学生积极思考,让学生从生活实例中抽象、提炼出向量的概念. 讨论、合作学习——借助学生已有知识经验,用类比的思想、联系的观点来研究向量 ,让学生在互相讨论、 合作学习的过程之中主动突破难点.在学习了相关概念之后,可以借助多媒体出示相关概念辨析题目,从而 立即获取学生学习效果的反馈.

六、教学过程:
问题设置 师生活动
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设计意图

情 境 引 入

问题 1 同学们,我用 12N 的 力作用于桌面上一个小木块, 结果小木块竟然纹丝不动, 你 们觉着奇怪吗? 演示实验:(略)

生: 观察,思考?? (可能的回答) 不奇怪! 激活学生的已有知识经 验,激发学生数学学习兴 师:总结学生观点:力是既有大小又有方向 的量,在物理学中叫矢量,为了更好地研 究这些物理量,在数学中我们叫向量. 趣,引入课题. 向量概念的核心是具有方 向,使学生体会到方向在 一个物理量中的重要意 板书课题及向量的概念. 义,为向量的学习作好准 备.

问题 2 物理学中有很多的 “量” ,如速度、质量等,你 探 究 新 知 探究:数量与向量的区别. 两个向量是否可以比较大 小? 还能列举出一些吗?并分类.

生: (可能的回答)质量、温度、力、速度、 通过多个物理量(矢量)抽 加速度、位移、路程、密度、电流、压强、 象出向量的概念,学生在 功等等. 师: (追问)你能将这些物理量进行分组 吗? 并总结出这各类物理量的特点. 生:讨论、分组、总结?? 师: 引导学生总结: 向量 (矢量) , 数量 (标 量). 思维过渡上合理、自然, 并且与数量概念对比,学 生对向量的内涵(既有大 小又有方向)会有较深刻 的认识.

问题 3 数的概念中,实数与数 轴上的点一一对应 . 类比 : 向 量是否也可以用几何来表示 呢? (几何表示和字母表示)

生:思考、讨论?? 师 : 引导学生寻找数学中既能表示大小又 能表示方向的符号-有向线段. (追问)有向线段是怎么表示向量的大小与 方向的呢? 生 :( 可能的回答 ) 线段长度表示向量的大 小(模),箭头的指向表示向量的方向. 师:介绍用字母表示向量 ,注意强调 AB 与

通过类比实数的表示方 法,结合向量的概念,最 后自觉接受用带有箭头的 线段(有向线段)来表示 向量. 有向线段能同时表示大小 与方向,符合表示向量的 需要,让学生进一步体会 向量的内涵.

a 上方和箭头不可不写.
探究 实数中 0、1,类比:向 量中有与之相对应的向量 数 吗? 生:讨论?? (可能的回答)长度为 0 的向 量,?? 师:反复引导,让学生亲自得出零向量的模
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引导学生类比实数集合中 的特殊元素 0,从而想到 长度为 0 的向量.

学 建 构 思考:零向量有没有方向?

为 0,方向为任意方向. 师:强调零向量作为向量,同样需要具备 两个要素(大小、方向) ,那么,还有特殊 的向量吗? 生:(可能的回答)长度等于 1 个单位的向 量. 练习 1. 如图 2.1-6,试根据 图中的比例尺以及三地的位 置,在图中分别用向量表示 A 地至 B、C 两地的位移,并求 出 A 地至 B、C 两地的实际距 离(精确到 1km) 位移,且 AC ? 296km . 生: 解: AB 表示 A 地至 B 地的位移,且 本例是一个简单的实际问 题,要求画出有向线段表 示位移,目的在于巩固向 量概念及其几何表示. 与前面类似,启发学生通 过类比的方法,发现单位 向量.

AB ? 232km .

AC 表示 A 地至 C 地的

练习 2.指出图中各向量的长 度.

师: (追问) 向量 AB, CD, IJ 有怎样的位置 关系? 生:(可能的回答)平行?? 这样过渡学生不会感觉新 的概念是从天而降,而是 进一步学习的需要 适时提醒和加深对向量概 念的认识.

J

I

师:可不可以借助向量概念中的大小、方 向对平行进行描述? 生:讨论、思考??(可能的回答)方向 相同或相反的向量. 师:(追问)两个向量平行是从方向上对向 量关系的刻画,与他们大小有关吗? 生:没有. 规定: 0 与任一向量平行.
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数学中的规定都有其合理 性,适当让学生进行讨论, 能使学生认识到数学的严 密性与科学性.

练习 3.在 4 ? 5 的方格中有一 个向量 AB , 分别以图中的格 点为起点和终点作向量, 其中 与 AB 相 等 的 向 量 有 多 少 个?和 AB 长度相等的平行 向量又有多少个?

师:如果既考虑方向又考虑长度,向量与 向量之间有没有更特殊的关系? 生:相等?? 师:(追问)理由是? 生:两个向量方向相同,长度相等. 师:(追问)两个向量是否相等,取决于? 生:大小、方向.

从大小与方向两个维度, 给出两个特殊的向量:零 向量、 单位向量.几种特殊 的关系:相等向量、 平行向 量、 共线向量.帮助学生理 清逻辑关系,有利于更好 地掌握向量的概念.

? 师:如果任作一条与向量 a 所在直线平行
的直线 l ,并在 l 上任取一点 O ,以 O 为起

? 点作有向线段 OA , 使其等于向量 a , 可行
吗? 思考:这 15 个向量与 AB 共 线吗? 生:讨论、思考??(保证大小相等,方向 相同) 通过引导,让学生体会并

问题 4 平行向量也叫共线向 量,你将如何理解?

讲出共线向量就是平行向 ? 师:相当于将向量 a 平移到 OA 的位置., 量.与平面几何中直线的

? 我们也可以把向量 b 平移到直线 l 上。这时
候,直线 l 上的两个向量 a、 b 形成了什么关

平行和共线不一致,有必 要帮助学生正确理解.

判断: a 与 b 共线, b 与 c 共 线,则 a 与 c 也共线.( )

系? 生:共线. 师:(追问)还是平行向量吗? 生:思考??

练习 4.概念辨析: ⑴ 两个长度相等的向量一 数 学 应 用 定相等. ⑵相等向量的起点必定相同. ⑶平行向量就是共线向量. ⑷若 AB 与 CD 共线,则 A、 B、 C、 D 四点必在同一条直线

生:思考并回答??

本例是对向量概念的考 查,可以从概念特征入手,

师:引导学生分析,并鼓励性评价.

也可以从反面进行考虑 . 即要判断一个结论不正 确,只需举一个反例即可. 要启发学生注意这两方面 的结合.

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上. ⑸向量 a 与 b 平行, 则向量 a 与 b 的方向相同或相反. 练习 5.如图 2.1-10,设 O 是 正六边形 ABCDEF 的中心,分 别写出图中所示向量与 本例是结合正六边形的一 生:思考并作答?? 师:展台展示,激励性评价. 些几何性质,让学生巩固 相等向量和平行(共线)向 量的概念.

OA 、 OB 、 OC 、相等的量.

变式: (1)与向量 OA 长度相等的向 量有多少个? (2)与向量 OA 共线的向量有 哪些? 问题 5 你是怎样研究向量 的, 能理一理本节课所学的知 归 纳 总 结 识结构吗? 生:? 师:这节课我们通过对既有大小,又有方 向的量(向量)进行了数学的归纳、抽象 和定义.围绕这个概念,探究了它的表示及 特殊向量——零向量、单位向量,特殊关 系——平行(共线) 、相等 .实际上,今天 我们不仅仅是在探究向量体系的基础,也 经历了建立一个数学知识体系的过程,即 “归纳共性——抽象定义——形象表示 ——认识特殊——研究一般——?? 作 业
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生:思考并作答?? 师:展台展示,激励性评价.

归纳总结 , 形成知识结构 体系 , 进一步加深对向量 概念的理解.

体会研究一个新的数学对 象的基本套路、 基本方法.

教科书 P77 习题 2.1A 组

平面向量的实际背景及基本概念 一、向量的概念: 板 书 设 计 二、向量的表示: ①几何表示: ②字母表示: 练习 1、 练习 3、 三、零向量与单位向量: 四、平行(共线)向量: 五、相等向量: 练习 2、

七、课后作业:
1. 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. (1) ABCD 中, AB 与 CD 是共线向量;

(2)单位向量都相等. 2. 下列命题正确的是( )

A. a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线; B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点; C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量; D.有相同起点的两个非零向量不平行. 3. 下列命题中,正确的是( A.| a |=| b |? a = b C. a = b ? a ∥ b ) B.| a |=| b |且 a ∥ b ? a = b D. a ∥ 0 ?| a |=0

4.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 ? D.一个单位圆

5. 设在平面上给定了一个四边形 ABCD,点 K、L、M、N 分别是 AB、BC、CD、DA 的中 点,则 | KL |? _______,KL ? ________ . 6.根据下列的条件,分别判断四边形 ABCD 的形状: (1) AD ? BC ; (2) AB ? DC, 且 AB ? AD .

八、向量的发展历程:

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向量,最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约 公元前 350 年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平 行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿.从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到 19 世纪末 20 世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体 系. 向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起.18 世纪末期,挪威测量学家威塞尔首 次利用坐标平面上的点来表示复数 a ? bi ( a , b 为有理数,且不同时等于 0),并利用具有几何意义的复数 运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角 问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学 中.但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需 要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19 世纪中期,英国数学家哈密尔顿发明了四元数(包括数量 部分和向量部分),以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后,电磁理 论的发现者,英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向 量分析.三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于 19 世纪 80 年代各 自独立完成的.他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数.他们引进了两种类型 的乘法,即数量积和向量积.并把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此,向量的方法被引进到分析和 解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具.

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