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甘肃省天水市第一中学2018届高三数学第一次模拟考试试题 文

天水市一中 2015 级 2017—2018 学年度第二学期第一次模拟考试 数学试卷(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)
1.设全集 U 是实数集 R, M={x|x>2},N={x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合是( )

A.{x|2<x<3} B.{x|x<3} C.{x|1<x≤2} D.{x|x≤2}

2.已知(-1+3i)(2-i)=4+3i(其中 i 是虚数单位,是 z 的共轭复数),则 z 的虚部为( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 3.已知命题 p:? x∈(-∞,0),2x<3x;命题 q:? x∈π2 ,tan x>sin x,则下列命题为 真命题的是( )
A.p∧q B.p∨( q) C.( p)∧q D.p∧( q)

OA 4.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点,则→

OB OC OD +→+→+→等于( )

OM

OM

A.→ B.2→

OM

OM

C.3→ D.4→

5..函数

f(x)=2sin(ω

x+φ

)(ω

π >0,- 2

<φ

π <2

)

的部分图象如图所示,则 ω ,φ

的值

分别是( )

π A.2,- 3
π C.4,- 6

π B.2,- 6
π D.4, 3

6.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别 得到以下四个结论:

①y 与 x 负相关且 =2.347x-6.423; ②y 与 x 负相关且 =-3.476x+5.648;

③y 与 x 正相关且 =5.437x+8.493;

其中一定不.正.确.的结论的序号是( )

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

④y 与 x 正相关且 =-4.326x-4.578.

7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥外接球的表面积是

A.

B.

C.

D.

x-y≥1, 8. 设 x,y 满足x-2y≤2,则 z=x+y( )

A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值

C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值

9.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,则

S10 的值为

( ).

A.-110 B.-90 C.90 D.110

10.某程序框图如图所示,若输出的 k 的值为 3,则输入的 x 的取值范围为( )

A.[15,60) B.(15,60] C.[12,48) D.(12,48]

11.若函数 f(x)=2x2-lnx 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k

的取值范围是( )

3

3

1

1

A.2

B.,+∞ C.2

D.,+∞

5 12.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,S1,S2,S4 成等比数列,且 a3=-2,则数

1 列an的前 n 项和 Tn=( )

n

n

2n

2n

A.-2n+1 B.2n+1 C.-2n+1 D.2n+1

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~21 题为必考题,每个试题考生都必须做答, 第 22 题~23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)
y2 x2 13.双曲线 Γ :a2-b2=1(a>0,b>0)的焦距为 10,焦点到渐近线的距离为 3,则 Γ 的实

轴长等于________.

14.已知

,则不等式

的解集为

15.设 a>b>1,

,给出下列三个结论:

① > ;② < ; ③

, 其中所有的正确结论的序

号是

(填上所有正确答案的序号.)

16. 已知

,圆

值范围为__________.

上存在点 ,满足条件

,则实数 的取

三.解答题 17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos2B+cos B=1-cos Acos C.
(1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 b=2,求△ABC 的面积的最大值.

18.(本小题满分 12 分)某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4500 人.为调 查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均 体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图 14 所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估 计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率.

图 14 (3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均 体育运动时间与性别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时 间与性别有关”.

P(K2≥k0)

0.10 0.05

k0

2.706 3.841

n(ad-bc)2 附:K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.010 6.635

0.005 7.879

19.(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1 =2,∠BAC=120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥平面 ADD1A1;
1 (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A1QC1D 的体积.(锥体体积公式:V=3Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)
20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与

圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论.
5 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x3+2x2+ax+b(a,b 为常数),其图象是曲线 C.
(1)当 a=-2 时,求函数 f(x)的单调递减区间; (2)设函数 f(x)的导函数为 f ′(x),若存在唯一的实数 x0,使得 f(x0)=x0 与 f ′(x0) =0 同时成立,求实数 b 的取值范围.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标变 为原来的 2 倍,纵坐标变为原来的 3 倍,得曲线 Γ .
(1)写出 Γ 的参数方程; (2)设直线 l:3x+2y-6=0 与 Γ 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-a|. (1)若 f(x)<b 的解集为{x|-1<x<2},求实数 a、b 的值; (2)若 a=2 时,不等式 f(x)+m≥f(x+2)对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围.

天水市一中 2015 级 2017—2018 学年度第二学期第一次模拟考试 数学答案
1.解:图中阴影部分表示集合?UM 与集合 N 的交集,∵?UM={x|x≤2},N={x|1<x<3},∴(? UM)∩N={x|1<x≤2}.故选 C.

4+3i

(4+3i(2+i

2.解析:选 A.因为= 2-i +1-3i= (2-i(2+i +1-3i=1+2i+1-3i=2-i,所以 z=

2+i,z 的虚部为 1,故选 A.

3.解析:选 C.根据指数函数的图象与性质知命题 p 是假命题,则綈 p 是真命题;根据单位圆 中的三角函数线知命题 q 是真命题,故选 C.

OA OC OM OB OD 4.解析:选 D.因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点,所以→+→=2→,→+→=

OM

OA OB OC OD OM

2→,所以→+→+→+→=4→,故选 D.

T 11π 5.解:由图可知,2= 12

5π - 12

π =2

,T=π

,ω

2π =T





=2.∵点,2在图象上,∴2· 12

+φ

π =2

+2kπ

,φ

π =- 3

+2kπ

,k∈Z.

π

π

π

又- 2 <φ < 2 ,∴φ =- 3 .故选 A.

6.解:当 y 与 x 正相关时,应满足斜率大于 0;当 y 与 x 负相关时,应满足斜率小于 0,故① ④一定不正确.故选 D. 7 案: B 提示:四棱锥的底面垂直与水平面。 8.解:画出不等式表示的平面区域,如图,由 z=x+y,得 y=-x+z,令 z=0,画出 y=- x 的图象,当它的平行线经过 A(2,0)时,z 取得最小值为 zmin=2+0=2,由于可行域是向右 上方无限延伸的非封闭区域,y=-x+z 向右上方移动时,z=x+y 也趋于无穷大,所以 z=x +y 无最大值,故选 B.

2

2

9.D.解析 [a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为-2,所以 a7=a3·a9,所以 a7=(a7+8)(a7-4),

9 所以 a7=8,所以 a1=20,所以 S10=10×20+10×2×(-2)=110.]

x 10.解析:选 B.根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果,可得不等式组-3≤3,解

得 15<x≤60,故选 B.

1 (2x-1)(2x+1)

1

11.解:∵f ′(x)=4x-x=

x

(x>0),∴当 x∈2时,f(x)单调递减;当 x

1

1

3

∈,+∞时,f(x)单调递增.由题意知, 解得 1≤k<2.故选 A.

a3-a1 3 5 12.解析:选 C.设{an}的公差为 d,S1=a1,S2=2a1+d=2a1+ 2 =2a1-4,S4=3a3+a1=

15

5 15

a1- 2 , 因为 S1,S2,S4 成等比数列,所以42= 2 a1,

2

5

1

整理得 4a1+12a1+5=0,所以 a1=-2或 a1=-2.

5

1

a3-a1

当 a1=-2时,公差 d=0 不符合题意,舍去;当 a1=-2时,公差 d= 2 =-1,

1

11

所以 an=-2+(n-1)×(-1)=-n+2=-2(2n-1),

1

2

1

所以(2n+1an=-(2n-1(2n+1=-2n+1,所以其前 n 项和

1

1

2n

Tn=-2n+1=-2n+1=-2n+1,故选 C.

a

|5b| 5b

13.解析:双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y=bx,即 ax-by=0 的距离为a2+b2= c =b=3,

所以 a=4,2a=8. 答案:8

14.【解析】

,因为

所以

是偶函数。

所以

所以

变形为:



所以



单调递增,在

单调递减。所以

等价于

15.【解析】由不等式及 a>b>1 知

,又

像与性质知②正确;由 a>b>1,



,所以 > ,①正确;由指数函数的图 ,由对数函数的图像与性质

知③正确. 填①.②.③

16.【答案】

【解析】 设

, 因为

,圆

上存

在点 ,满足条件

, 所以

,即



所以点 在圆心为 ,半径为

的圆上, 又点 在圆

上, 所以圆 与圆 有公共点,

因为圆 的圆心

,半径为 , 所以

,所以



解得



,所以实数 的取值范围为

.

17.解:(1)在△ABC 中,cos B=-cos(A+C).由已知,得(1-sin2B)-cos(A+C)=1-cos Acos C,∴-sin2B-(cos Acos C-sin Asin C)=-cos Acos C,

化简,得 sin2B=sin Asin C.由正弦定理,得 b2=ac,∴a,b,c 成等比数列.

a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 (2)由(1)及题设条件,得 ac=4. 则 cos B= 2ac = 2ac ≥ 2ac =2,

13 当且仅当 a=c 时,等号成立.∵0<B<π ,∴sin B=≤ 2=2.

1

13

∴S△ABC=2acsin B≤2×4×2=. ∴△ABC 的面积的最大值为.

4500 18..解: (1)300×15 000=90,所以应收集 90 位女生的样本数据.

(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过 4 小时的频率为 1-2×(0.100+0.025)

=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75.

(3)由(2)知,300 位学生中有 300×0.75=225(位)的每周平均体育运动时间超过 4 小时,

75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90

份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:

男生 女生 总计

每周平均体育运动时间不超过 4 小时 45

30

75

每周平均体育运动时间超过 4 小时 165

60

225

总计

210

90

300

300×(165×30-45×60)2 100 结合列联表可算得 K2= 75×225×210×90 = 21 ≈4.762>3.841.

所以有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

19.解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC,∵l?平面 A1BC,BC? 平面 A1BC,∴l ∥平面 A1BC.∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴BC⊥AD.∴l⊥AD.∵AA1⊥平面 ABC,∴AA1⊥l.又∵ AD∩AA1=A.∴直线 l⊥平面 ADD1A1.

(2)过 D 作 DE⊥AC 于 E,∵AA1⊥平面 ABC,∴DE⊥AA1.又∵AC,AA1? 平面 AA1C1C,且 AC∩AA1

=A,∴DE⊥平面 AA1C1C.由 AB=AC=2,∠BAC=120°,有 AD=1,∠DAC=60°.在△ACD

中,DE=23AD=23,又 S△A1QC1=21A1C1·AA1=1,∴VA1QC1D=VDA1QC1=31DE·S△A1QC1=31×23×1

3 =6.因此三棱锥

A1QC1D

3 的体积是6

x2 y2 20.解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 4 + 2 =1.∴a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2.因

c2 此 a=2,c=.故椭圆 C 的离心率 e=a=2.

(2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: OA OB
设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中 x0≠0.∵OA⊥OB,∴→·→=0,即 tx0

2y0

t2

+2y0=0,解得 t=- x0 . 当 x0=t 时,y0=- 2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t=±,

故直线 AB 的方程为 x=±.圆心 O 到直线 AB 的距离 d=,此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相

切.

y0-2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2=x0-t(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0,

|2x0-ty0|

22

2y0

圆心 O 到直线 AB 的距离 d=(y0-2)2+(x0-t)2 .又 x0+2y0=4,t=- x0 ,故

d=

=

=,此时直线 AB 与圆 x2+y2=2

21.解:(1)当 a=-2 时,f ′(x)=3x2+5x-2=(3x-1)(x+2).

1

1

令 f ′(x)<0,解得-2<x<3,所以 f(x)的单调递减区间为3.

232

2

(2)f ′(x)=3x2+5x+a,由题意知000+ax0+b=x0,

3 52

5

消去 a,得 2x0+2x0+x0-b=0 有唯一解.令 g(x)=2x3+2x2+x,则

g′(x)=6x2+5x+1=(2x+1)(3x+1),

11

1

所以 g(x)在区间2,,+∞上是增函数,在3上是减函数,

1 11 7

71

又 g2=-8,g3=-54,故实数 b 的取值范围是54∪,+∞.

x=2x1 22.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 Γ 上的点(x,y),依题意,得y=3y1,

y

22

xy

x2 y2

即3.由 x1+y1=1,得22+32=1.即曲线 Γ 的方程为 4 + 9 =1. 故 Γ 的参数方程为

x=2cos t y=3sin t(t 为参数).

=1

x=2 x=0

(2)由3x+2y-6=0,解得y=0,或y=3.不妨设 P1(2,0),P2(0,3),则线段 P1P2 的中点坐标为

3

2

32

2,所求直线的斜率 k=3.于是所求直线方程为 y-2=3(x-1),即 4x-6y+5=0. 化为极坐

标方程,得 4ρ cos θ -6ρ sin θ +5=0.

a-b a+b

a+b

23.解:(1)∵|2x-a|<b,∴ 2 <x< 2 ,∵f(x)<b 的解集为{x|-1<x<2},∴ =2 ,

a=1 ∴b=3.

(2)由已知,得 m≥f(x+2)-f(x)=|2x+2|-|2x-2|对一切实数 x 均成立, 又|2x+2|-|2x-2|≤|(2x+2)-(2x-2)|=4,∴m≥4.



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