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青岛58中2016届高三5月份高考数学模拟试题(含答案word版)


2016 年全国高等学校统一招生考试模拟考试(山东卷) 数学(理科)试题
2016.5 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 第 I 卷 1—2 页, 第Ⅱ卷 3—4 页, 共 150 分,测试时间 l20 分钟。 注意事项: 选择题为四选一题目,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷上.

A.

22 7

B.

63 20

C.

78 25

D.

109 35

? x ? y ? 0, ? (5)不等式组 ? x ? y ? ?2, 的解集记为 D , 若 ? a, b ? ? D , 则 z ? 2a ? 3b 的最小值是 ? x ? 2 y ? ?2 ?
(A) ?4
n

(B) ?1

(C) 1

(D) 4

1 ? ? * (6)使 ? x2 ? 3 ? (n ? N ) 展开式中含有常数项的 n 的最小值是 2x ? ?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 l0 小题,每小题 5 分,共 50 分.把正确答案涂在答题卡上. (1)已知集合 M ? x ?1 ? x ? 1 (A) M ? N (2)已知复数 z ?

?

? , N ? ? x x 2 ? 2, x ? Z ? ,则
(C) M ? N ? ?0? (D) M ? N ? N

(7)已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?? 0 ? ? ?

? ? 3? ? ) 的图象的一个对称中心为 ? , 0 ? , 则函数 2 ? 8 ?

(B) N ? M

f ? x ? 的单调递减区间是
(A) ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) 8 8? ?

3?i

?1 ? i ?

2

,其中 i 为虚数单位, 则 z ?

?

3?

??

(B) ? 2k? ? , 2k? ? (k ? Z ) 8 8 ? ? ? (D) ? k? ? , k? ? (k ? Z ) 8 8 ? ? ?

?

?

5? ?

(A)

1 2

(B) 1

(C)

2

(D) 2

(C) ? k? ? , k? ? ? ( k ? Z ) 8 8? ?
x x
*

?

3?

??

?

?

5? ?

(3)已知 cos ?

?? ? 1 ? 5? ? ? ? ? ? , 则 sin ? ? ? ? 的值是 ? 12 ? 3 ? 12 ?
(B)

?1? ?1? * x 1? x (8)已知命题 p : ?x ? N , ? ? ? ? ? ,命题 q : ?x ? N , 2 ? 2 ? 2 2 , ? 2? ? 3?
(D) ?

(A)

1 3

2 2 3

(C) ?

1 3

2 2 3

则下列命题中为真命题的是 (A) p ? q (C) p ? ? ?q ? (B) (D)

? ?p ? ? q

(4)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理

b d b?d * 论依据是: 设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 ( a, b, c, d ? N ) , 则 是 a c a?c
x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 π ? 3.14159 ??? ,若令
第一次用“调日法”后得

? ?p ? ? ? ?q ?

31 49 ?π? ,则 10 15

31 16 16 ? π ? ,若每次都取最简 是 π 的更为精确的过剩近似值,即 10 5 5


(9)如图, 网格纸上的小正方形的边长为 1, 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是 (A) 4 ? 6? (B) 8 ? 6? (C) 4 ? 12 ? (D) 8 ? 12 ?

分数,那么第四次用“调日法”后可得 π 的近似分数为( 高三模拟考试 理科数学

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x2 y2 (10)已知圆 O: x ? y ? 1 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 交于 a b
2 2

y C B O D A x

14. 已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F ?1,0 ? ,点 F 关于直线 y ? 在椭圆 C 上,则椭圆 C 的方程为 .

1 x 的对称点 2

不同四点,且圆 O 与双曲线 C 及其渐近线在第一、第二象限交点分 别为 A、B、C、D,如图所示,若 AB= 2 CD,则 b 的值为( A. )

1 2

B. 1

C.

3 2

15. 已知函数 f ? x ? ? ?x2 ? 4x ? a ? a ? 0? 的图象与直线 x ? 0, x ? 3 及 y ? x 所围成的平面图形 的面积不小于

D. 2

第Ⅱ卷
二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从 左到右的前 3 个小组的频率依次成等差数列, 第 2 小组的频数为 10, 则抽取的学生人数为 .

第 10 题图

21 , 则 曲 线 g ? x ? ? ax ? 4ln ? ax ?1? 在 点 ?1, g ?1? ? 处 的 切 线 斜 率 的 最 小 值 2
.



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (I)求

cos B ? 2 cos A cos C ? 2a ? b c

12. 已知向量 a, b 的夹角为 60? ,且 a ? 2, b ? 3, ,设 OA ? a, OB ? b, OC ? ma ? 2b, ,? ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形,则 m ? .

? ?

?

?

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

?

?

a 的值; b

(Ⅱ)若角 A 是钝角,且 c=3,求 b 的取值范围.

13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是 17. (本小题满分 12 分) 张先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家开车到公司上班路上有 L1,L2 两条路线(如 图) ,L1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯

1 ;L2 路线上有 B1,B2 两个路口,各路口遇到 2 3 3 红灯的概率依次为 , . 4 5
的概率均为 ⑴若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; ..

A1 H B1

A2 L1 L2

A3 C B2

⑵若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; ⑶按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上 班路线,并说明理由.

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(18) (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDM 中,△ BCD 是等边三角形,△ CMD 是等腰直角三角形,

(20) (本小题满分 13 分) 已知点 F ?1,0 ? ,点 A 是直线 l1 : x ? ?1 上的动点,过 A 作直线 l2 , l1 ? l2 ,线段 AF 的 垂直平分线与 l2 交于点 P . (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若点 M , N 是直线 l1 上两个不同的点, 且△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1,直
2 2

?CMD ? 90 ,平面 CMD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD .
(Ⅰ)求证: CD ? AM ; (Ⅱ)若 AM ? BC ? 2 ,求直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值.

?

A M B C D

线 PF 的斜率为 k ,求

k MN

的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) (19).(本小题满分 12 分) 在等差数列 ?a n ?中, 首项 a1 ? lg 2 , 公差 d ? lg 3 , 数列 ?bn ?满足条件 an ? lg(bn ) , 且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求数列 ?bn ?的通项公式及其数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ; 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? a ln x ? x ? 4 x .
2

(1)若 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)设 g ( x) ? (a ? 2) x ,若 ?x ? ? , e? ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围. e (3)定义:若函数 m( x) 的图象上存在两点 A 、 B ,设线段 AB 的中点为 P( x0 , y0 ) ,若 m( x) 在 点 Q( x0 , m( x0 )) 处的切线 l 与直线 AB 平行或重合,则函数 m( x) 是“中值平衡函数”,切线 l 叫做 函数 m( x) 的“中值平衡切线”. 试判断函数 f ( x) 是否是“中值平衡函数”?若是, 判断函数 f ( x) 的 “中值平衡切线”的条数;若不是,说明理由。

?1 ? ? ?

3n * (Ⅱ)令 Cn ? ,数列 {Cn } 前 n 项和 Tn ,若 1 ? 2? ? Tn 对于任意 n ? N 恒成立,求实 Sn ? Sn?1
数 ? 的取值范围。

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2016 年全国高等学校统一招生考试模拟考试(山东卷) 数学(理科)试题参考答案
一、选择题:CBAAA CDCBB 二、填空题:11. 40 12. ?11 13. 0

3 3 9 P ( X =2)= ? ? . 4 5 20 随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

1 10

9 20

9 20
????

x2 y 2 ? ?1 14. 9 4 5 5
三、解答题: 16. (1)由正弦定理

2 15. ? 3

EX ?
??10 分

1 9 9 27 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? . 10 20 20 20
1 2

(Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ,随机变量 Y 服从二项分布, Y ? B(3, ) ,

? sin C cos B ? 2 sin C cos A ? 2 sin A cos C ? sin B cos C ……………………..1 分
? sin C cos B ? sin B cosC ? 2(sin C cos A ? sin A cosC )

?B ? C ? ? 2 s i n ?A ? C ? ?s i n
?A? B?C ?? ? sin A ? 2 sin B
(2) 由余弦定理

…………………………………………..3 分 ……………………………………………4 分

1 3 ? . 2 2 因为 EX ? EY ,所以选择 L2 路线上班最好. ??????12 分 18.解:(Ⅰ)证明:取 CD 的中点 O ,连接 OB , OM . ∵ △ BCD 是等边三角形, ∴ OB ? CD . ????????????????1 分
所以 EY ? 3 ? ∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 , ∴ OM ? CD . ????????????????2 分 ∵ 平面 CMD ? 平面 BCD ,平面 CMD ? 平面 BCD ? CD , OM ? 平面 CMD ,
?

?

a ?2 b

………………………………………….5 分

b 2 ? 9 ? a 2 b 2 ? 9 ? 4b 2 9 ? 3b 2 cos A ? ? ? ?0 2b ? 3 18b 18b
?b ? c ? a ? b ? 3 ? 2b ?b ? 3②
由①②得 b 的范围是

? b ? 3 ① ……………8 分

?

3,3

?

………………………………………….10 分 ………………………………12 分

17.解: (Ⅰ)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则

1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? 2 2 2 2
??????3 分

. H

A1

A2 L1 L2

A3 C B2

OM ? 平面 BCD . ?????????????3 分 A z AB ? 平面 BCD , N OM ∥ AB . M O , M , A , B 四点共面. ??????????4 分 B D OB ? OM ? O , OB ? 平面 OMAB , OM ? 平面 OMAB , O y C ∴ CD ? 平面 OMAB . ????????????5 分 x ∵ AM ? 平面 OMAB , ∴ CD ? AM . ?????????????????????6 分 (Ⅱ)解法 1: 作 MN ? AB ,垂足为 N ,则 MN ? OB . ∵ △ BCD 是等边三角形, BC ? 2 ,
∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ OB ? 3 , CD ? 2 . 在 Rt△ ANM 中, AN ?

1 所以走 L1 路线, 最多遇到 1 次红灯的概率为 . 2 (Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2. 3 3 1 P( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , 4 5 10 3 3 3 3 9 P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 4 5 4 5 20

B1

AM 2 ? MN 2 ? AM 2 ? OB2 ? 1 .??????7 分
?

∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 , ∴ OM ?

1 CD ? 1 . 2

∴ AB ? AN ? NB ? AN ? OM ? 2 .

?????????????8 分

如图,以点 O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, BO 所在直线为 y 轴, OM 所在直 线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 M ? 0,0,1? , B 0, ? 3, 0 , D ? ?1,0,0? , A 0, ? 3, 2 .

∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. 作 OK ? BD ,垂足为 K , ∵ AB ? 平面 BCD , OK ? 平面 BCD , ∴ OK ? AB . ∵ AB ? 平面 ABD , BD ? 平面 ABD , AB ? BD ? B ,
? ∴ OK ? 平面 ABD ,且 OK ? OD ? sin 60 ?

?

?

?

?

???? ? ???? ? ??? ? ∴ AM ? 0, 3, ?1 , BM ? 0, 3,1 , BD ? ?1, 3, 0 .

?

?

?

?

?

?

3 . 2

??????????9 分

设平面 BDM 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

在 Rt△ MOB 中, MB ? OM 2 ? OB2 ? 2 , 在 Rt△ MOD 中, MD ? OM 2 ? OD2 ? 2 ,

???? ? ??? ? ? 3 y ? z ? 0, ? 由 n ? BM ? 0 , n ? BD ? 0 ,得 ? ? ?? x ? 3 y ? 0,
令 y ? 1 ,得 x ? 3 , z ? ? 3 . ∴ n?

??????????9 分

1 7 ? MD ? 2 ∴ △ BDM 的面积为 S ? ? MD ? MB ? ? . ? ? 2 2 ? 2 ?
设点 A 到平面 BDM 的距离为 h , 由 VA? BDM ? VM ? ABD , 得 ? h ? S ?

2

?

3,1, ? 3 是平面 BDM 的一个法向量.

?

??????????10 分

设直线 AM 与平面 BDM 所成角为 ? ,

1 3

1 ? OK ? S ?ABD , 3

???? ? AM ? n ???? ? 2 3 21 则 sin ? ? cos? AM , n? ? ???? . ??????????11 分 ? ? ? 7 AM n 2 ? 7
∴直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为 解法 2: 作 MN ? AB ,垂足为 N ,则 MN ? OB . ∵ △ BCD 是等边三角形, BC ? 2 , ∴ OB ? 3 , CD ? 2 . 在 Rt△ ANM 中, AN ?

3 1 ? ? 2? 2 OK ? S ?ABD 2 21 ? 2 2 得h ? . S 7 7 2
设直线 AM 与平面 BDM 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

???????????10 分

21 . 7

??????????12 分

h 21 ? . AM 7

??????????????????11 分

∴直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为

21 . 7

?????????12 分

AM 2 ? MN 2 ? AM 2 ? OB2 ? 1 . ??????7 分
?

∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 ,

注:求 h ?

2 21 的另法. 7

1 CD ? 1 . 2 ∴ AB ? AN ? NB ? AN ? OM ? 2 .??????????????????8 分 由(Ⅰ)知 OM ∥ AB , A ∵ AB ? 平面 ABD , OM ? 平面 ABD , N ∴ OM ∥平面 ABD .
∴ OM ?
M B C O K D

由 VA? BDM ? VM ? ABD ? VO ?ABD ? VA ?BDO ?

1 1 3 ? ? OD ? OB ? AB ? , 3 2 3

1 3 3 得 ?h?S ? ,得 h ? ? 3 3 S

3 2 21 . ? 7 7 2
n?1

∴圆心 ? 0, 0 ? 到直线 PM 的距离为 1 ,即
2 2 2

y0 ? m ? m ? x0 ? 1?

? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1?
2

2

? 1 . ???5 分

19.解: (1) an ? lg 2 ? (n ?1)lg3 ? lg(2 ? 3

) ,则 lg bn ? lg(2 ? 3 ) ,

n?1

故 ? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? m ? ? 2m ? y0 ? m ?? x0 ? 1? ? m

2

? x0 ? 1?

2

.

所以 bn ? 2 ? 3n?1 ,??????????????????2 分 所以 S n ?

易知 x0 ? 1 ,上式化简得, ? x0 ?1? m2 ? 2 y0m ? ? x0 ?1? ? 0 .??????6 分 同理,有 ? x0 ?1? n2 ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 . ????????????7 分

2(1 ? 3 ) ? 3n ? 1 ??????????????????4 分 1? 2
n

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t 2 ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根. ∴m?n ?

(2) Cn ? 所以 Tn ?

3n 1 1 1 ? ( n ? n?1 ) ,?????????6 分 n n ?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 2 3 ? 1 3 ? 1

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1

????????????8 分
2 4 y0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ? n ?1 ) 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 1 Tn ? ( ? n ?1 ) ? ,?????????8 分 2 2 3 ?1 4
*

∴ MN ? m ? n ?
2

?m ? n?

2

? 4mn ?

? x0 ? 1?

2

?

4 ? x0 ? 1? .?????9 分 x0 ? 1

因为 1 ? 2? ? Tn 对于任意 n ? N 恒成立,

∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 , ∴ MN ?

1 , 4 3 5 所以 ? ? 或 ? ? ?????????12 分 8 8
所以 1 ? 2? ? 20.解析: (Ⅰ)解:依题意,点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离等于它到直线 l1 的距离, ??????1 分 ∴点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l1 : x ? ?1 为准线的抛物线. ????2 分 ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

? x0 ? 1?

16 x0

2

?

4 ? x0 ? 1? x 2 ? 4 x0 ? 1 ?2 0 . 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1?

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k ? MN

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . 1 x0 ? ? 4 x0

????????????10 分

??????????????????3 分 ∵函数 y ? x ? ∴ x0 ? ?????????4 分 ∴ x0 ?

(Ⅱ)解法 1:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? , 直线 PM 方程为: y ? m ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x

y0 ? m ? x ? 1? , x0 ? 1

1 ? 1?1 ? 0 . x0 1 ? 4 ? 4. x0

化简得, ? y0 ? m? x ? ? x0 ?1? y ? ? y0 ? m? ? m ? x0 ? 1? ? 0 . ∵△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1,
2 2

∴0 ?

1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

??????????????????11 分

∴ MN ? m ? n ?
2

?m ? n?

2

? 4mn ?

? x0 ? 1?

2 4 y0

2

?

4 ? x0 ? 1? . x0 ? 1

?????9 分

∴0 ?

k 1 ? . MN 2
的取值范围为 ? 0, ? .

∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 ,
2 4 ? x0 ? 1? x0 ? 4 x0 ? 1 ?2 ∴ MN ? . ? 2 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1? ? x0 ? 1?

16 x0



k MN

? ?

1? 2?

??????????????????13 分 直线 PF 的斜率 k ?

解法 2:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? , 直线 PM 的方程为 y ? m ? k1 ? x ? 1? ,即 k1 x ? y ? k1 ? m ? 0 ,??????4 分 ∵ 直线 PM 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, ∴ ∴

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

k ? MN

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . ??????????????10 分 1 x0 ? ? 4 x0

k1 ? m k12 ? 1

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

?1.

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x

1 ? 1?1 ? 0 . x0 1 ? 4 ? 4. x0
??????????????????11 分

1 ? m2 ∴ k1 ? . 2m
∴ 直线 PM 的方程为 y ? m ? ∵ 点 P 在直线 PM 上, ∴ y0 ? m ?

??????????????????5 分

∴ x0 ?

1 ? m2 ? ? x ? 1? . 2m

∴0 ?

1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

1 ? m2 ? ? x0 ? 1? . 2m

∴0 ?

易知 x0 ? 1 ,上式化简得, ? x0 ?1? m2 ? 2 y0m ? ? x0 ?1? ? 0 . ???????6 分 同理,有 ? x0 ?1? n ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 .
2

k 1 ? . MN 2
的取值范围为 ? 0, ? .

???????????????7 分



k MN

? ?

1? 2?

??????????????????13 分

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t 2 ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根. ∴m?n ?

解法 3:设点 P ? x0 , y0 ? ,直线 PM 的方程为 y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? ,即 k1 x ? y ? k1x0 ? y0 ? 0 , 令 x ? ?1 ,得 yM ? y0 ? k1 ?1? x0 ? , ∴ M ?1, y0 ? k1 ?1 ? x0 ? .

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1

????????????????8 分

?

?

??????????????????4 分

∵ 直线 PM 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, ∴

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ? ??????????????5 分

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x
∴ x0 ?

? k1 x0 ? y0 k ?1
2 1

? 1.

1 ? 1?1 ? 0 . x0
1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

1 ?4 ? 4. x0
??????????????????11 分

2 2 2 化简得, 1 ? x0 k1 ? 2 x0 y0 k1 ? 1 ? y0 ? 0 .

?

?

∴0 ?

同理,设直线 PN 的方程为 y ? y0 ? k2 ? x ? x0 ? ,
2 2 2 则点 N ?1, y0 ? k2 ?1 ? x0 ? ,且 1 ? x0 k2 ? 2 x0 y0 k 2 ? 1 ? y0 ? 0 . 2 2 2 ∴ k1 , k 2 是关于 k 的方程 1 ? x0 k ? 2 x0 y0 k ? 1 ? y0 ? 0 的两根.

?

?

?

?

????6 分

∴0 ?

?

?

k 1 ? . MN 2
的取值范围为 ? 0, ? .

2x y ∴ k1 ? k2 ? 2 0 0 , x0 ? 1
2 0

y ?1 . k1k2 ? x ?1
2 0 2 0

∴ ????????????????7 分

k MN

? ?

1? 2?

??????????????????13 分

依题意, x0 ? 1 , y ? 4 x0 . ∴ MN ? ?1 ? x0 ?? k1 ? k2 ? ????????????????8 分
2

解法 4:设点 P ? x0 , y0 ? ,如图,设直线 PM , PN 与圆 O 相切的切点分别为 R , T , 依据平面几何性质,得 PM ? PN ? 2 PR ? MN , 由 S ?PMN ? ??????????4 分

? ?1 ? x0 ?

? k1 ? k2 ?

? 4k1k2

1 1 MN ? ? x0 ? 1? ? ? MN ? PM ? PN ? ? OR , ???????5 分 2 2
y P

? ?1 ? x0 ?
?

2 ? 2 x0 y0 ? 4 ? y0 ? 1? ? 2 ? ? 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1 ? 2

得 MN ? ? x0 ?1? ? MN ? PM ? PN , 得 M N?? 0 x? 1? ?2 P R ?2 .N ????6 分 M
2
R M O

x T

2 2 2 x0 ? y0 ?1 x0 ? 1 2 2 x0 ? 4 x0 ? 1 . x0 ? 1
??????????????????9 分

得 MN ? ? x0 ? 1? ? 2 PR ? 2 PO ? 1 .??7 分 故 MN ?
2 2 2 x0 ? y0 ?1

N

?

x0 ? 1
2

.

??????????????????8 分

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

依题意, x0 ? 1 , y0 ? 4 x0 . ∴ MN ?



k ? MN

2 2 x0 ? 4 x0 ? 1 . x0 ? 1

??????????????????9 分

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . ??????????????10 分 1 x0 ? ? 4 x0

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k ? MN

x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 1

1 . ??????????????10 分 1 x0 ? ? 4 x0

(2)由 f ( x) ? g ( x) ,得 ( x ? ln x)a ? x 2 ? 2x ,
' 记 F ( x) ? x ? ln x( x ? 0) ,? F ( x ) ?

x ?1 ( x ? 0) x

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x
∴ x0 ?

所以当 0 ? x ? 1 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x) 递减,当 x ? 1 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x) 递增; 所以 F ( x) ? F (1) ? 1 ? 0 ,

1 ? 1?1 ? 0 . x0
1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

1 ?4 ? 4. x0
??????????????????11 分

∴0 ?

?a ?

x 2 ? 2x x ? ln x

,记 G( x) ?

x2 ? 2x ?1 ? , x ? ? , e? x ? ln x ?e ?

? G ' ( x) ?

∴0 ?

k 1 ? . MN 2
的取值范围为 ? 0, ? .

( x ? 1)(x ? 2 ln x ? 2) ?1 ? ,? x ? ? , e? , 2 ( x ? ln x) ?e ?

? x ? 2 ln x ? 2 ? 2(1 ? ln x) ? x ? x ? 0 ,



k MN

? ?

1? 2?

??????????????????13 分

?1 ? ? x ? ? ,1? 时, G' ( x) ? 0, G( x) 递减; x ? ?1, e?时, G' ( x) ? 0, G( x) 递增; ?e ?

21. (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 令 ? ( x) ? 2 x ? 4 x ? a ,
2

2 x2 ? 4x ? a ( x ? 0) x

?G( x) min ? G(1) ? ?1,? a ? G( x) min ? ?1 ,
故实数 a 的取值范围为 (??,?1] .??????9 分 (3)函数 f ( x) 的定义域为 ?0,??? , f ( x) ?
'

? ( x) ? 0 , 当 ? ? 16 ? 8a ? 0 即 a ? 2 时, 即 f ?( x) ? 0 恒成立, 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,
当 ? ? 16 ? 8a ? 0 即 0 ? a ? 2 时,令 ? ( x) ? 0 ,则 x1 ?

a 2x2 ? 4x ? a ? 2x ? 4 ? , x x

2 ? 4 ? 2a 2 ? 4 ? 2a , x2 ? , 2 2

若函数 f ( x) 是“中值平衡函数”,则存在 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))(0 ? x1 ? x2 ) 使得 f ( x0 ) ?
'

因为 0 ? a ? 2 ,所以 0 ? x1 ?

2 ? 4 ? 2a 2 ? 4 ? 2a ? x2 ? , 2 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,即 x2 ? x1

令 f ?( x) ? 0 则 x1 ? x ? x2 ,令 f ?( x) ? 0 则 0 ? x ? x1或x ? x2 此时 f ( x ) 在 ( x1 , x2 ) 上单调递减,在 (0, x1 ),( x2 , ??) 上单调递增。???????4 分

2 2a a(ln x2 ? ln x1 ) ? x2 ? x12 ? 4( x2 ? x1 ) , ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 x2 ? x1

?

2a a(ln x2 ? ln x1 ) (※) ? x1 ? x2 x2 ? x1

①当 a ? 0 时, (※)对任意的 0 ? x1 ? x2 都成立,所以函数 f ( x) 是“中值平衡函数”,且

函数 f ( x) 的“中值平衡切线”有无数条; ②当 a ? 0 时, 有

2(t ? 1) x 2( x2 ? x1 ) x 设 t ? 2 ? 1, 则方程 ln t ? 在区间 ?1,??? 上有解, ? ln 2 , t ?1 x1 x1 ? x2 x1

记函数 h(t ) ? ln t ?

1 4 (t ? 1) 2 2(t ? 1) , t ? 1 ,则 h ' (t ) ? ? ? ? 0 ,所以函数 h (t ) 在区间 t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2
t ?1

?1,??? 递增,? h(1) ? 0 ,所以当 t ? 1时, h(t ) ? h(1) ? 0 ,即方程 ln t ? 2(t ? 1) 在区间 ?1,???
上无解,即函数 f ( x) 不是“中值平衡函数”; 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 是“中值平衡函数”,且函数 f ( x) 的“中值平衡切线”有无数条; 当 a ? 0 时, f ( x) 不是“中值平衡函数”; ??????14 分



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