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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第2章 第5节 指数与指数函数课件 理 苏教版


固 基 础 · 自 主 落 实

第五节

指数与指数函数

启 智 慧 · 高 考 研 析

提 知 能 · 典 例 探 究

课 后 限 时 自 测

内容 A 考纲传真 指数 指数函数 的图象与 性质 B

要 求 C √ √

1.指数幂的概念与性质 (1)根式的定义:如果 xn=a(n∈N*,n>1),则 x 叫做a的n次 n 方根 ,式子 a叫 根式. (2)根式的性质:①( a)n= a ; n

?a n n ? ? ?a?a≥0? ② a =? ?|a|=? ? ?-a?a<0? ?

n为奇数, n为偶数.

2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示: ①正分数指数幂 a = n am (a>0,m、n 均为正整数);
1

②负分数指数幂 a

=n

am

(a>0,m,n 为正整数).

(2)有理数指数幂的运算性质
r+s a ①a a = (a>0,r,s∈Q);
r s

②(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr (a>0,b>0,r∈Q).

3.指数函数的图象与性质 a>1 图象 0<a<1

a>1 图象 定义域 值域 R

0<a<1

(0,+∞) 过定点 (0,1)

性质

(0,+∞) ; 当 x>0 时, y>1 ; 当 x>0 时,
当 x<0 时, 0<y<1 当 x<0 时, y>1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误 的打“×”) (1) ?-4?4=-4.( 4 ) ) ) )

(2)(-1) =(-1) = -1.( (3)函数 y=2x-1 是指数函数.( (4)函数 y=a

(a>1)的值域是(0,+∞).(

[ 解析]

(1) ?-4? = 44=4,(1)错误.

4

4

4

(2)(-1) =1 = 1=1(2)错误. (3)y=2x-1 不是指数函数,是 y=2u,u=x-1 复合而成的复合 函数,指数函数在指数位置必须是 x.(3)错误 (4)∵x2+1≥1,又 a>1 所以 y=ax2+1 的最小值为 a, ∴值域为(a,+∞)(4)错误.

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(教材改编题)化简[(-2)6] -(-1)0 的结果为________. [ 解析] [(-2)6] -(-1)0=(26) -1=8-1=7.

[答案] 7

3.指数函数 y=(2-a)x 在定义域内是减函数,则 a 的取值范 围是________.
[解析] 由题意知 0<2-a<1,解得 1<a<2. [答案] (1,2)

4.(2014· 山东高考)设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈ [0,2]},则 A∩B=________. [解析] A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4} ∴A∩B=[1,3)
[答案] [1,3)

5.y=3|x|的单调递减区间是________.

3x x≥0, ? ? [解析] y=??1?x ∴单调递减区间为(-∞,0). ? ? x<0, ? ??3?
[答案] (-∞,0)

考向 1 【典例 1】 化简:(1)

指数幂的化简与求值

(a>0,b>0);

(2)(0.25)

-0.5

?1? 1 ? 0.25 -? - + 16 . ?27? 3 ? ?

【规律方法】 1.这类问题的求解,首先将根式、分数指数幂统一为分数指 数幂,以便利用法则计算,但应注意: (1)必须同底数幂相乘,指 数才能相加;(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母 又含有负指数.

【变式训练 1】 化简:(1) (2)1.5
? 7? 4 ? ?0 0.25 ×?-6? +8 × ? ?

3

a· ? a5?2; 3 .

2+( 2× 3)6-

考向 2

指数函数图象与性质的应用

【典例 2】 (1)已知 f(x)=|2x-1|, ①求 f(x)的单调区间; ②试确定函数 g(x)=f(x)-x2 零点的个数. (2)比较 0.30.2,30.3,(-0.3) ,0.20.3,20.5,(-0.3) 的大小.

[ 解]

(1)①由

x ? 2 ? -1,x≥0, x f(x)=|2 -1|=? x ? 1 - 2 ,x<0. ?

可作出函数的图象如图.因此函数 f(x)在(-∞, 0)上递减;函数 f(x)在(0,+∞)上递增.

②将 g(x)=f(x)-x2 的零点转化为函数 f(x)与 y= x2 图象的交点问题, 在同一坐标系中分别作出函数 f(x) =|2x-1|和 y=x2 的图象如图所示,有四个交点,故 g(x)有四个零点.

③再比较大于 0 小于 1 的数 0.30.2,0.20.3.找出一个中间数 0.30.3. 因为 y=0.3x 在(-∞,+∞)上是减函数,所以 0.30.2>0.30.3, 又因为 y=ax 的图象在 y 轴右侧底大图象高,所以 0.30.3>0.20.3. 由以上可知,0.30.2>0.20.3. 3 5 由①,②,③得(-0.3) <(-0.3) <0.20.3<0.30.2<30.3<20.5. 5 7

【规律方法】 1.指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点 等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得 到其图象,然后数形结合使问题得解. 2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数函 数图象数形结合求解.

3.比较指数幂的大小,可以按如下步骤进行. (1)与 0 比较区分正负数. (2)与 1 比较区分比 1 大的数和比 1 小的数. (3)利用指数函数的单调性比较. (4)寻找中间数,利用单调性比较大小. (5)用作差法或作商法比较大小.

[ 解析] 图所示:

(1)令 f(x)=|3x-1|≥0,其图象如

由图象知,当 k<0 时,图象无交点 当 0<k<1 时,两图象有两个交点. 当 k=0 或 k≥1 时,图象有一个交点. 所以 k 的取值范围是(0,1).

[ 答案]

(0,1)

考向 3 和指数函数相关的复合函数单调性(高频考点) 命题视角 从近年高考来看, 对指数函数的考查多以复合函数 的形式考查,主要命题角度有:(1)求复合函数的定义域,值域;(2) 求复合函数的单调区间.

【典例 3】 求下列函数的单调区间.
?1? ? 2 2x x (1)y=? x - 3 x + 2 ; (2) y = 2 - 2· 2 . ?3? ? ?

【思路点拨】 因为给定函数(1)由 合而成, 而

?1? y=?3?u 与 ? ?

u=x2-3x+2 复 u

?1? y=?3?u 是定义域上的单调减函数, 所以只需求出函数 ? ?

=x2-3x+2 的单调区间.(2)把 2x 看作整体,函数变为 y=(2x)2- 2· 2x.

[解] (1)令 u=x
2

2

? 3?2 1 -3x+2=?x-2? -4. ? ? ? 3? 的单调减区间为?-∞,2?,单调增区间为 ? ? ? 3? 的单调增区间是?-∞,2?, ? ?

所以 u=x -3x+2
?3 ? ? ,+∞?,所以函数 ?2 ?

?1? y=?3?x2-3x+2 ? ?

?3 ? 单调减区间是?2,+∞?. ? ?

(2)令 t=2x,则函数 t=2x 在区间(-∞,+∞)上是增函数,且 t>0, y=t2-2t=(t-1)2-1,当 t≤1 时,y=t2-2t 是减函数.t≤1 即 2x≤1,所以 x≤0. 所以当 x∈(-∞,0]时,y=22x-2· 2x 是减函数, 当 t>1 时,即 x>0 时,y=t2-2t 是增函数, 即 y=22x-2· 2x 是增函数. 所以函数 y=22x-2· 2x 的减区间为(-∞,0],增区间为(0,+∞).

【通关锦囊】 求复合函数的单调区间一般分三步: (1)将复合函数分解为若 干个基本初等函数;(2)求出每个基本初等函数的单调区间;(3)利 用复合函数的单调性的判断方法得到结论.

【变式训练 3】 已知函数

?1? ? 2 y=? ?2?x -6x+17. ? ?

(1)求函数的定义域和值域; (2)确定函数的单调区间.

[ 解]

(1)设 u=x

2

?1?u -6x+17,由于函数 y=?2? 及 ? ?

u=x2-6x+17 的定

义域都是 R, 故函数 -3)
2

?1? y=?2?x2-6x+17 的定义域为 ? ?

R.因为 u=x2-6x+17=(x

?1?u ?1?8 ?1?u ? 1 ? +8≥8,所以?2? ≤?2? .又因为?2? >0,所以函数的值域为?0,256?. ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)函数 u=x2-6x+17 在[3,+∞)上是增函数,即对任意的 x1,x2 ?1? ?1? ∈[3,+∞),且 x1<x2,有 u1<u2,从而?2?u1>?2?u2,就是 y1>y2,所以函 ? ? ? ? ?1? 数 y=?2?x -6x+17 在[3,+∞)上是减函数. ? ?
2

?1? 同理可知,y=?2?x2-6x+17 在(-∞,3)上是增函数. ? ?

明确 1 种关系 根式与分数指数幂的实质是相同的, 分数指数 幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算. 勿忘 2 点注意 1.指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定 的,因此解题时通常对底数 a 按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. 2. 换元时注意换元后“新元”的范围.

熟记 3 个务必

1.对和复合函数有关的问题,务必要弄清复合 2.画指数函数 y=ax(a>0,

函数由哪些基本初等函数复合而成. 且

? 1? a≠1)的图象,务必抓住三个关键点:(1,a),(0,1),?-1,a?. ? ?
x x

3.务必熟记指数函数 y=10 ,y=2

?1? ?1? x ,y=?10? ,y=?2?x ? ? ? ?

在同一坐标

系中图象的相对位置, 由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的 关系.

思想方法之 5

转化思想在有关指数型复合函数中的应用

(2014· 无锡模拟)设函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)是 定义域为 R 的奇函数; (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 (2)若 f(1)=2,且 g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞) 上的最小值.

[解] ∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,∴k-1=0,∴k=1. 1 (1)∵f(1)>0,∴a-a>0,又 a>0 且 a≠1, ∴a>1,f(x)=ax-a-x, 而当 a>1 时,y=ax 和 y=-a-x 在 R 上均为增函数, ∴f(x)在 R 上为增函数, 原不等式化为:f(x2+2x)>f(4-x), ∴x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0, ∴x>1 或 x<-4,∴不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}.

3 (2)∵f(1)=2, 1 3 ∴a-a=2,即 2a2-3a-2=0,∴a=2. ∴g(x)=22x+2
- -2x

-4(2x-2 x),
- -

=(2x-2 x)2-4(2x-2 x)+2. 令 t=2x-2 x(x≥1),


则 t=h(x)在[ 1,+∞)上为增函数(由(1)可知), 3 即 h(x)≥h(1)=2.∴g(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2, ∴当 t=2 时,g(x)min=-2,此时 x=log2(1+ 2), 当 x=log2(1+ 2)时,g(x)有最小值-2.

【智慧心语】 易错提示:(1)指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的单调性判断不准 确. (2)复合函数单调性不能正确的转化为单个函数的单调性. 防范措施: (1)y=ax(a>0 且 a≠1)中 a 的范围不确定时要分 a>1 函数为单调增函数,0<a<1 函数为单调减函数两种情况. (2)复合函数 f(g(x)), 为增函数时, f ( x) , g(x)的单调性相同, f(g(x)) 为减函数时,f(x)、g(x)的单调性相反.

【类题通关】 数.

-2x+b 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函 2 +a

(1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,求 k 的取 值范围.

[解] (1)∵f(x)是奇函数, -1+b ∴f(0)=0,即 =0,解得 b=1. 2+a -2x+1 从而 f(x)= x+1 . 2 +a 又由 f(-1)=-f(1), 1 -2+1 -2+1 知 =- ,解得 a=2. 1+a 4+a 经检验 b=1,a=2 适合题意, ∴a=2,b=1.

-2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =-2+ x . 2 +2 2 +1 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因为 f(x)为奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0?f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2 +k). ∵f(x)为减函数, ∴t2-2t>-2t2+k,即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0. 从而判别式 Δ=4+12k<0,
? 1? 1 解得 k<-3,即 k∈?-∞,-3?. ? ?


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