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第二章2.1 第1课时 数列的概念与简单表示法


第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与简单表示法

1. “一尺之棰,日取其半,万世不竭.”的含义是什么?
1 1 如果将初始量看成1,取其一半剩 ,再取一半还剩 , 2 4 1 1 1 ...,如此下去,即得到1, , , ,... 2 4 8



2. 三角形数

1

3

6

10

3. 正方形数

1

4

9

16

探究点1 数列的概念
思考: 1 1 1 (1)1, , , , ... 2 4 8
这些数有什么共同特点?

(2)三角形数:1,3,6,10,… (3)正方形数:1,4,9,16,…
都是一列数;2. 都有一定的顺序 (4)1,2,3,4,1. …的倒数排列成的一列数

(5)无穷多个1排列成的一列数:1,1,1, 1,…

1. 数列的概念: 按照一定顺序排列的一列数称为数列. 思考: (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个数列吗?与

“1, 3, 2, 4, 5”呢?
不是同一个数列 没有按照一定的顺序排列,不符合数列的有序性

(2)数列中的数可以重复吗?

可以

(3)数列与集合有什么区别?
集合讲究:无序性、互异性、确定性;

数列讲究:有序性、可重复性、确定性.

2. 数列的项:
数列中的每一个数叫做这个数列的项.

数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一 位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项), 排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n项.

3. 数列的一般记法:

数列a1,a2,a3,a4,…,an,… 可简记为{an}.
思考:数列{an}是集合吗? {an}与an有何区别? 集合中的元素具有无序性 、互异性,而数列 不具备这些特征,数列{an}不是集合,它是数列 的一个整体符号.{an}表示数列a1, a2, a3, a4,…, an,…,而an表示数列的第n项.

4. 数列的分类: (1)按项数分:有穷数列与无穷数列; (2)按项之间的大小关系分:递增数列、递减数列、
常数列与摆动数列.
如:1, 2, 2 2, 23, ..., 263 . 1 1 1 1, , , , ... 2 3 4 1, 2, 3, 4, ... , 62. 1, 1, 1, 1, ... -1, 1, -1, 1, ...

有穷数列 递增数列 无穷数列 递减数列 有穷数列 递增数列 无穷数列 常数列 无穷数列 摆动数列

例 观察下面的数列,哪些是递增数列、递减 数列、常数列、摆动数列?
(1)全体自然数构成的数列 万人)构成的数列 82,93,105,119,129,130,132. (3)无穷多个3构成的数列 3,3,3,3, …. 0,1,2,3, ….

(2)1996~2002年某市普通高中生人数(单位:

(4)目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成
的数列(单位:元) 100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.

(5)-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂……构成
的数列 -1,1,-1,1,….

(6) 2的精确到1,0.1,0.01,0.001,...的不足 近似值与过剩近似值分别构成的数列 1,1.4,1.41,1.414,...; 2,1.5,1.42,1.415,...

解:递增数列有:(1)、(2)、(6)中的不 足近似值构成的数列; 递减数列有:(4)、(6)中的过剩近似值构成的 数列;
常数列有:(3); 摆动数列有:(5). 思考:上面数列中哪些是无穷数列,哪些是有穷数 列?

有穷数列有:(2)、 (4);
无穷数列有:(1)、 (3)、 (5) 、 (6).

探究点2 数列中的项与序号之间的关系
(1)你能说出256是否是下面数列中的项吗?是的

话,是这个数列的第几项?
项: 1, 2, 2 , 2 , ..., 2 ? 序号:1 2 3 4 …, 9
2 3 8

256 = 28

256是数列中的一项, 是第9项

(2)同学们观察数列中的项与序号之间的关系,你
能从中得到什么启示?你能否写出它的第n项?

a n = 2n-1

(3) 你能把上述数列按照(n, an)的形式画在下面的坐 标系中吗?
64

an

32
16

图象是一些离散的 点

4

8

2 O

1

2

3

4

5

6

7

n

5.数列的实质: 从函数的观点看,数列的项 a n 是序号n的函数.
* N 即数列可以看成以正整数集 (或它的有限子集

{1,2,…,n})为定义域的函数 a n =f(n) 当自变

量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列
函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i) (i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数 列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…

总结提升 数列与函数对比表
函数 定义域
R或R的子集

数列(特殊的函数)
N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}

解析式
图象

y=f(x) 点的集合

an=f(n) 一些离散的点的集合

1.观察下面数列的特点,用适当的数填空:

(1 )2 ,4 ,
(2 ) 1

8

,16,32, 64 ,128

,4,9,16,25, 36 ,49

1 1 ? ? 1 1 1 1 7 (3) -1, ,______ - , ,______ 3 ,, 2 4 5 6

3 ,2,5,______ 6 ,7 (4)1,2,______

2.下面数列是有穷数列的是( B ) A.1,0,1,0,… B.1,1,1,1,1 C.2,22,222,… D.0,0,0,0,…

3.以下四个数中是数列{n(n+1)}中的一项的是( A. 380 B.39 C.32 D. 23 A



4.写出数列的一个通项公式,使它的前4项 分别是下列各数:

(1)1,3,5,7.

an ? 2n ? 1

1 1 1 1 , , ? , . (2 ) ? 1? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5
?1? ? an ? n ? n ? 1?
n

本节课学习的主要内容有: 1.数列的有关概念; 2.数列的通项公式; 3.数列的实质; 4.本节课的能力要求是: (1) 会由通项公式求数列的任一项; (2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式.



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