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直线、平面平行的判定与性质知识点大全、经典例题解析、高考练习题带答案大全


直线、平面平行的判定与性质
【考纲说明】
1、理解直线与平面的位置关系,掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理; 2、会利用直线与平面、平面与平面的位置关系以及平行的判定定理和性质定理解决简单的应用与证明问题; 3、本部分内容在高考中占 5-10 分左右.

【趣味链接】
1、 在修建公路时,工人师傅会拉一条笔直的线,以此作为高度的标准,这条线与地平面是平行的,运用的就是线 面平行的原理,这样建造的楼房才会平整,不会高低不平. 2、 磁悬浮列车利用“同性相斥,异性相吸”的原理,让磁铁具有抗拒地心引力的能力,使车体完全脱离轨道,悬浮 在距离轨道约 1 厘米处,腾空行驶,创造了近乎“零高度”空间飞行的奇迹。其实,磁悬浮列车所在的平面与轨 道平面是两个互相平行的面,这样列车才能安全、高速的运动,如果不平行,非常可能发生脱轨现象。

【知识梳理】
1. 直线与平面平行的判定与性质 1、直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 公共点 符号表示 直线在平面内 有无数个公共点 a?α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α =A 直线与平面平行 没有公共点 a||α

图形表示 注:直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称此直线 L 和平面 α 平行,记作 L ||α 。 (2)判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行. 符号表示: a ? ?、b ? ? , a / /b ? a / /? .

1、性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线就和交线平 行.

1

简记为:线面平行,则线线平行. 符号表示:若 a / /? , a ? ? , ? ? ? ? b, 则a / /b . 2. 平面与平面平行的判定与性质

1、定义:没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为:平面 α、平面 β,若 a∩β=?,则 a∥β 2、判定定理: 判定 文字描述 如果两个平面无公共点, 责成这两个平面平行 一 个 平 面 内 有 两 条 相 交 如果两个平面同时垂直于一条 直线与另一个平面平行, 直线,那么这两个平面垂直。 那么这两个平面平行.

图形

条件

? ? ? =?

α,b?β α∩b=P α∥ α b∥ α

l⊥ α l⊥ β

结论 3、性质定理:

? / /?

? / /?
性质

? / /?

文字描述

如果两个平行平面 同时和第三平面相 交,那么他们的交线 平行

如果两个平行平面中有 一个垂直于一条直线, 那 么另一个平面也垂直于 这条直线

如果两个平面平行, 那么其 中一个平面内的直线平行 于另一个平面

图形

条件 结论

α∥β β∩γ=b α∩γ=a a∥b

α∥β l⊥α l⊥β

α∥β a?β a∥α

3. 解题方法 (1) 证明直线与平面平行的常用方法: 2.利用定义,证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明; 3.利用直线和平面平行的判定定理,注意定理成立时应满足的条件; 4.利用面面平行的性质定理,把面面平行转化为线面平行; 2、证明平面与平面平行的常用方法:

2

(1)利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合; (2)利用面面平行的判定定理; (3)利用两个平面垂直于同一直线; (4)证明两个平面同时平行于第三个平面;

【经典例题】
【例 1】 (2012 浙江)设 l 是直线, ? ,β 是两个不同的平面,则下列说法正确的是( A.若 l∥ ? ,l∥β ,则 ? ∥β C.若 ? ⊥β ,l⊥ ? , 则 l⊥β B.若 l∥ ? ,l⊥β ,则 ? ⊥β D.若 ? ⊥β , l⊥ ? , 则 l⊥β )

【解析】B 【例 2】 (2012 四川)下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【解析】C 【例 3】 (2011 江西)已知 ?1 , ? 2 , ?3 是三个相互平行的平面.平面 ?1 , ? 2 之间的距离为 d 1 ,平面 ? 2 , ?3 之 间的距离为 d2 .直线 l 与 ?1 , ? 2 , ?3 分别相交于 P , P2 , P ,那么“ PP2 = P P ”是“ d1 ? d 2 ”的 1 1 3 2 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】C 【例 4】 (2011 辽宁)如图,四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形,SD ? 底面 ABCD,则下列结论中不正确的是 ... A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 【解析】D 【例 5】 (2012 全国)设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( )

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 【解析】A 【例 6】 (2012 河南) l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l3 C. l2 // l3 // l3 ? l1 , l2 , l3 共面 B. l1 ? l2 , l2 // l3 ? l1 ? l3 D. l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面

3

【解析】B

E 【例 7】 (2012 江苏)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 B1 ? A1C1 , D , 分别是棱 BC , 1 上的点(点 D 不同 CC

F 于点 C) ,且 AD ? DE , 为 B1C1 的中点.
求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1F // 平面 ADE. 【解析】 (1)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC, ∵AD?平面 ABC, ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE,DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴AD⊥平面 BCC1B1, ∵AD?平面 ADE ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)∵△A1B1C1 中,A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点 ∴A1F⊥B1C1, ∵CC1⊥平面 A1B1C1,A1F?平面 A1B1C1, ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴A1F⊥平面 BCC1B1 又∵AD⊥平面 BCC1B1, ∴A1F∥AD ∵A1F?平面 ADE,AD?平面 ADE, ∴直线 A1F∥平面 ADE.

A1 B1
F

C1
E

A D B

C

【例 8】 (2012 浙江)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,且∠BAD=120°,且 PA⊥平面 ABCD,

PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)
10 . 5
?

A A1 D F C B C
图1

【例 9】 (2012 北京)如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 , D, E 分别为

AC, AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将 ?ADE 沿 DE 折起到

E D E B

?A1DE 的位置,使 A1F ? CD ,如图 2。

F
图2

4

(Ⅰ)求证: DE // 平面 A1CB ; (Ⅱ)求证: A1F ? BE ; (Ⅲ)线段 A1 B 上是否存在点 Q ,使 AC ? 平面 DEQ ?说明理由。 1 【解析】解: (1)∵D,E 分别为 AC,AB 的中点, ∴DE∥BC,又 DE?平面 A1CB, ∴DE∥平面 A1CB, (2)由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, ∴DE⊥AC, ∴DE⊥A1D,又 DE⊥CD, ∴DE⊥平面 A1DC,而 A1F?平面 A1DC, ∴DE⊥A1F,又 A1F⊥CD, ∴A1F⊥平面 BCDE, ∴A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. ∵DE∥BC, ∴DE∥PQ. ∴平面 DEQ 即为平面 DEP.由(Ⅱ)知 DE⊥平面 A1DC, ∴DE⊥A1C, 又∵P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, ∴A1C⊥DP, ∴A1C⊥平面 DEP,从而 A1C⊥平面 DEQ, 故线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ 【例 10】(2013 四川)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120° , D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 的中点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥平面 ADD1A1; (2)设(1)中的直线 l 交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,求二面角 A-A1M-N 的余弦值.

【解析】 (1) 过点 P 作直线 l∥BC,因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平面 A1BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面 A1BC. 15 . 5 【例 11】 (2012 河南)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,AB=AC=AA1=1,延长 A1C1 至点 P,使 C1P =A1C1, 连接 AP 交棱 CC1 于 D. (Ⅰ)求证:PB1∥平面 BDA1; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值. (2)二面角 A-A1M-N 的余弦值为 【解析】二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值为
2 . 3
/ / / ?

【 例 12 】 2012 辽 宁 ) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 , (

5

AB ? AC ? ? AA/ , 点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点.
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ; (Ⅱ)若二面角 A ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的值.
/ / /

【解析】(1)连结 AB′,AC′,由已知∠BAC=90° , AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱,所以 M 为 AB′中点. 又因为 N 为 B′C′的中点,所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′, 因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA′为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系 O-xyz, 设 AA′=1,则 AB=AC=λ, 于是 A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1). λ 1 λ λ 所以 M?2,0,2?,N?2,2,1?. ? ? ? ? 设=(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量,可取=(1,-1,λ). 设=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量,可取=(-3,-1,λ). 因为 A′-MN-C 为直二面角,所以-3+(-1)× (-1)+λ2=0,解得 λ= 2.

【课堂练习】
1、 (2006 陕西)已知平面α 外不共线的三点 A,B,C 到α 的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于α B.平面 ABC 必与α 相交 C.平面 ABC 必不垂直于α D.存在△ABC 的一条中位线平行于α 或在α 内 2、 (2013 新课标)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面α ,n⊥平面β ,直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l ? α ,l ? β ,则 ( ) A.α ∥β 且 l∥α B.α ⊥β 且 l⊥β C.α 与β 相交,且交线垂直于 l D.α 与β 相交,且交线平行于 l 3、 (2013 广东)设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A. 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ?

4、(2011 烟台)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,有下列四个命题:①若 m⊥α ,n⊥β ,m ⊥n,则α ⊥β ;②若 m∥α ,n∥β ,m⊥n,则α ∥β ;③若 m⊥α ,n∥β ,m⊥n,则α ∥β ;④若 m⊥α ,n∥ β ,α ∥β ,则 m⊥n.其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

5、 (2013 浙江)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面( ) A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β 6、(2011 福建)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C,则线

6

段 EF 的长度等于________.

7、(2013 山东)如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,联结 GH. (1)求证:AB∥GH; (2)求二面角 D-GH-E 的余弦值.

P

8、(2013 江苏)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB. 过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC;(2)BC⊥SA.
A

F E G B C D Q H

9、 (2013 新课标Ⅱ)如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

2 AB. 2

10、 (2013 安徽)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为 22.5°,AB 和 CD 是底面圆 O 上 的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°. (1)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)求 cos∠COD.

11、(2013 湖北)如图所示,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线 PC⊥平面 ABC,E,F 分别是 PA, PC 的中点. (1)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明; → 1→ (2)设(1)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D,且点 Q 满足DQ= CP.记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为θ ,异面直 2

7

线 PQ 与 EF 所成的角为α ,二面角 E-l-C 的大小为β ,求证:sinθ =sinα sinβ .

12、(2011 北京)如图,在四面体 P-ABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

13、(2011 天津)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,

PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点.
(1)证明:PB∥平面 ACM; (2)证明:AD⊥平面 PAC; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.

14、 (2012 浙江)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2 ,AD=2,BC=4,AA1=2, E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点. (1)证明: (i)EF∥A1D1 (1) (ii)BA1⊥平面 B1C1EF;

求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.

15、 (2009 浙江)如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E , F , O 分别为 PA ,

PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .
(I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; (II)证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE ,并求点 M 到 OA , OB 的距离.
8

【课后作业】
1、(2011 潍坊)已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若α ⊥γ ,α ⊥β ,则γ ∥β B.若 m∥n,m? α ,n? β ,则α ∥β C.若 m∥n,m∥α ,则 n∥α D.若 n⊥α ,n⊥β ,则α ∥β 2、(2011 日照)若 l、m、n 为直线,α 、β 、γ 为平面,则下列命题中为真命题的是( ) A.若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β B.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n C.若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ⊥β D.若α ⊥β ,l? α ,则 l⊥β 3、(2011 山东)已知直线 m、n 及平面α ,其中 m∥n,那么在平面α 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是: ①一条直线;②一个平面;③一个点;④空集.其中正确的是( ) A.①②③ B.①④ C.① ②④ D.②④ 4、设 a、b 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列四个命题正确的命题的个数是( ) ①若 a ? b, a ? ? , 则b // ? ②若 a // ? ,? ? ? , 则a ? ? ③ a ? ? ,? ? ? , 则a // ? A.0 个 B.1 个 5、 (2011 浙江) 下列命题中错误的是( ④ 若a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ? C.2 个 D.3 个 )

A.如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ? 平面? ,平面 ? ? 平面? , ? ? ? =l ,那么 l ? 平面? D.如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 6、 (2007 北京)平面 ? ∥ 平面 ? 的一个充分条件是( A.存在一条直线 ?,a ∥?,a ∥ ? B.存在一条直线 a,a ? ?,a ∥ ? C.存在两条平行直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? D.存在两条异面直线 a,b,a ? ?,a ∥ ?,b ∥? )

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7、设 m,n 是平面 ? 内的两条不同直线, l1 , l2 是平面 ? 内的两条相交直线,则 ? // ? 的一个充分不必要条件 ( ) A. m// ? 且 l// ? B. m//l 且 n//l 2 C. m// ? 且 n// ? D. m // ? 且 n//l 2

8、(2011 琼海)下面给出四个命题: ①若平面α ∥平面β ,AB,CD 是夹在α ,β 间的线段,若 AB∥CD,则 AB=CD; ②a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 一定是异面直线 ③过空间任一点,可以做两条直线和已知平面α 垂直; ④平面α ∥平面β ,P∈α ,PQ∥β ,则 PQ? α ; 其中正确的命题是________(只填命题号) 9、 (2013 江西)如图所示,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正方体的六 个面所在的平面相交的平面个数为________.

10、(2011 枣庄)已知α ,β ,γ 是三个不同的平面,命题“α ∥β ,且α ⊥γ ? β ⊥γ ”是真命题,如果把α , β ,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有________个. 11、已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点 (1)求证: MN // 平面 PAD ;
王新敞
奎屯 新疆

(2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 , 求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.

C 12、 正方体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 中,M 、N 、P 分别是 C 1 C 、B 1 C 1 、 1 D 1 的中点, 求证: 平面 M N P ∥ 平面 A 1 B D .
D A B M D1 A1 P B1 N C1 C

13、如下图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=

1 AB,点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中点,过点 A1、B、M 三点的平面 2

A1BMN 交 C1D1 于点 N. (1)求证:EM∥平面 A1B1C1D1; (2)求二面角 B—A1N—B1 的正切值;

14、 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b. (1)设 E、F 分别为 AB1、BC1 的中点,求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:A1C1⊥AB;

D1 A1 D A E

N B1

C1 M C B

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15、 (2013 广东) 如图,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 1-4(2)所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= (1)证明:DE∥平面 BCF;(2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积.[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 3 2 . 2

16、 (2013 福建)在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=6 0°. → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥 P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D-PBC 的体积.

17、 (2013 北京) 如图,在四棱 锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

18、 (2013 辽宁)如图 1-4,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC.

19、(2013 陕西)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2. (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

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20、 (2013 天津)如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等,D,E,F 分别为棱 AB, BC,A1C1 的中点. (1)证明 EF∥平 面 A1CD; (2)证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

21、(2006 北京)如图,在底面为平行四边表的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)求证: PB // 平面 AEC ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的大小.

22、 (2012 福建)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AA1=AD=1,E 为 CD 中点。 (Ⅰ)求证:B1E⊥A D1 (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的行;若存在,求 AP 的长;若不存在,说 明理由。 (Ⅲ)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,求 AB 的长。AB=2

【参考答案】
【课堂练习】 1、D 2、D 3、D 4、B 5、C 4 6、 27、(2)- 5

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8、 (1)∵△ASB 中,SA=AB 且 AF⊥SB,∴F 为 SB 的中点. ∵E、G 分别为 SA、SC 的中点, ∴EF、EG 分别是△SAB、△SAC 的中位线,可得 EF∥AB 且 EG∥AC. ∵EF?平面 ABC,AB?平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC,同理可得 EG∥平面 ABC 又∵EF、EG 是平面 EFG 内的相交直线, ∴平面 EFG∥平面 ABC; (2)∵平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=SB, AF?平面 ASB,AF⊥SB. ∴AF⊥平面 SBC. 又∵BC?平面 SBC,∴AF⊥BC. ∵AB⊥BC,AF∩AB=A,∴BC⊥平面 SAB. 又∵SA?平面 SAB,∴BC⊥SA. 9、 6 3 10、17-12 2

11、 (1)直线 l∥平面 PAC 12、(3)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点. 1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG, 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 1 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q,且 QM=QN= EG. 2 所以 Q 为满足条件的点. 4 5 13、 5 14、(1)证明:(ⅰ)因为 C1B1∥A1D1,C1B1?平面 A1D1DA,所以 C1B1∥平面 A1D1DA, 又因为平面 B1C1EF∩平面 A1D1DA=EF, 所以 C1B1∥EF, 所以 A1D1∥EF. (ⅱ)因为 BB1⊥平面 A1B1C1D1, 所以 BB1⊥B1C1. 又因为 B1C1⊥B1A1, 所以 B1C1⊥平面 ABB1A1, 所以 B1C1⊥BA1.

13

在矩形 ABB1A1 中,F 是 AA1 的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B= 即∠A1B1F=∠AA1B, 故 BA1⊥B1F, 所以 BA1⊥平面 B1C1EF. (2)设 BA1 与 B1F 交点为 H,连结 C1H.



由(1)知 BA1⊥平面 B1C1EF,所以∠BC1H 是 BC1 与面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 AA1B1B 中,AB= ,AA1=2,得 BH= .

在直角△BHC1 中,BC1=2

,BH=

,得

sin∠BC1H=





所以 BC1 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是

.

15、I)连接 OP,以 O 为坐标原点,分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz, 则 O(0,0,0) ,A(0,-8,0) ,B(8,0,0) ,C(0,8,0) ,P(0,0,6) ,E(0,-4,3) ,F(4,0,3) , 由题意得,G(0,4,0)因 OB=(8,0,0),OE=(0,?4,3), 因此平面 BOE 的法向量为 n=(0,3,4),…(4 分)FG=(?4,4,?3)得 n?FG=0, 又直线 FG 不在平面 BOE 内,因此有 FG∥平面 BOE …(6 分) (II)设点 M 的坐标为(x0,y0,0) ,则 FM=(x0?4,y0,?3), 因为 FM⊥平面 BOE,所以有 FM∥n,因此有 x0=4,y0=?94, 即点 M 的坐标为 (4,?94,0),… 在平面直角坐标系 xoy 中, △AOB 的内部区域满足不等式组 x>0y<0x?y<8, 经检验,点 M 的坐标满足上述不等式组,所以在△AOB 内存在一点 M,使 FM⊥平面 BOE. 【课后作业】 1、D 2、B 3、C 4、 5、D 6、D 7、B 8、①④ 9、4 10、2 11、30 度

12、证明:连结 B1D1,则由正方体可知 BD∥B1D1,又可知 PN∥B1D1,所以可知 PN∥BD 同理可证得 MN∥A1D 且 PN 和 MN 在平面 PMN 中交于点 N,BD 和 A1D 在平面 A1BD 中交于点 D 所以可知平面 PMN∥平面 A1BD

14

13、 (Ⅰ)证明:取 A1B1 的中点 F,连 EF,C1F

∵E 为 A1B 中点

∴EF∥

BB1

又∵M 为 CC1 中点 ∴EF∥ C1M∴四边形 EFC1M 为平行四边形

∴EM∥FC1

而 EM

平面 A1B1C1D1 . FC1

平面 A1B1C1D1 .∴EM∥平面 A1B1C1D1

(Ⅱ)由⑴EM∥平面 A1B1C1D1 EM 平面 A1BMN 平面 A1BMN∩平面 A1B1C1D1=A1N ∴A1N// EM// FC1 ∴N 为 C1D1 中点 过 B1 作 B1H⊥A1N 于 H,连 BH, 根据三垂线定理 BH⊥A1N ∠BHB1 即为二面角 B―A1N―B1 的平面角 设 AA1=a, 则 AB=2a, ∵A1B1C1D1 为正方形 ∴A1H= , 又∵△A1B1H∽△NA1D1

∴B1H=

,在 Rt△BB1H 中,tan∠BHB1=

即二面角 B―A1N―B1 的正切值为 14、 (1)可由 (2)先证 从而得到 得到 证得 得到 ,又由 ,故 ,

(3) 15(1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中也成立, DB EC ? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ; ?
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ?

1 . 2

15

? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ? 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2
? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? ? 3 ? 324 . ? 3 2 3 2 3 ? ?
16、VD-PBC=8 3 17、略 18、证明:(1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC . 由 PA⊥平面 ABC,BC⊥平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA⊥平面 PAC,AC⊥平面 PAC,所以 BC⊥平面 PAC. (2)联结 OG 并延长交 AC 于 M,联结 QM,QO,由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 中点, 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC.又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM 平面 QMO.MO 平面 QMO, BC∩PC=C,BC 平面 PBC,PC 平面 PBC,所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG 平面 QMO,所以 QG∥平面 PBC. 19、证明:由题设知,BB1∥DD1,∴四边形 BB1D1D 是平行四边∴BD∥B1D1. 又 BD1 平面 CD1B1,∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1∥B1C1∥BC,∴四边形 A1BCD1 是平行四边形,∴A1B∥D1C. 又 A1B1 平面 CD1B1,∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B=B,∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)∵A1O⊥平面 ABCD,∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 2 2 又∵AO= AC=1,AA1= 2,∴A1O= AA1-OA =1, 2 1 又∵S△ABD= × 2× 2=1,∴VABD-A1B1D1=S△ABD·A1O=1. 2 20、 5 5 21、 135 .
0

22、AB=2

2 0 0 9 0 4 2 3

16



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