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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第三节圆的方程 理

第三节 圆的方程 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 知识梳理 一、圆的标准方程 设圆心 C 坐标为(a,b),半径是 r,则圆 C 的标准方程是____________.特别地,圆心 为 O(0,0)时,标准方程为______________________. 答案: (x-a) +(y-b) =r 2 2 2 x2+y2=r2 二、圆的一般方程 2 2 2 2 当 D +E -4F>0 时, 方程 x +y +Dx+Ey+F=0 叫做圆的________________, 其圆心为 ____________,半径 r=____________. D E 答案:一般方程 (- ,- ) 2 2 D 2 ? E 2 ? 4F 2 基础自测 2 2 1.方程 x +y -4kx-2y-k=0 表示圆的充要条件是( 1 1 A. <k<1 B.k< 或 k>1 4 4 1 C.k∈R D.k= 或 k=1 4 2 2 2 2 ) 解析:因为(-4k) +(-2) -4(-k)=15k +(k+2) >0 恒成立,所以 k∈R. 故选 C. 答案:C 2.若点(1,1)在圆(x-a) +(y+a) =4 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.{a|-1<a<1} B.{a|0<a<1} C.{a|a<-1 或 a>1} D.{a|a=±1} 解析:因为点(1,1)在圆内,所以(1-a) +(1+a) <4, 即-1<a<1. 答案:A 3 . 过 点 A(1 , - 1) , B( - 1,1) , 且 圆 心 在 直 线 x + y - 2 = 0 上 的 圆 的 方 程 是 ______________________. ?x+y-2=0, ? ? ?y=x, 2 2 2 2 ) 解析:AB 的垂直平分线为 y=x,由? 得圆心 M(1,1),故半径 r=|AM|=2, 2 2 所以圆的方程为(x-1) +(y-1) =4. 第 1 页 共 3 页 答案:(x-1) +(y-1) =4 4.已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称.直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为________________________. 解析:圆心的坐标为(0,-1),所以 r =3 + 1) =18. 2 2 答案:x +(y+1) =18 2 2 2 2 2 -4- 2 5 2 =18,圆的方程为 x +(y+ 2 1.(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x-1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直 线 AB 的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 1 解析:如图所示:由题意知:AB⊥PC,kPC= ,所以 kAB=-2, 2 2 2 所以直线 AB 的方程为:y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0. 答案:A 2.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x -6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 解析:(1)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0), (3-2 2,0). 2 2 2 2 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 3 +(t-1) =(2 2) +t ,解得 t=1. 2 2 2 2 则圆 C 的半径为 r= 3 + - =3.所以圆 C 的方程为(x-3) +(y-1) =9. ? ?x-y+a=0, (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组? 消去 y 2 2 ? x- + y- =9. ? 2 2 得方程 2x +(2a-8)x+a -2a+1=0. 2 由已知可得,判别式 Δ =56-16a-4a >0. 2 a -2a+1 从而 x1+x2=4-a,x1x2= .① 2 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a, 第 2 页 共 3 页 2 2 所以 2x1x2+a(x1+x2)+a =0.② 由①②得 a=-1,满足 Δ >0,故 a=-1. 2 , 1.(2013·汕尾二模)已知圆 C 的方程为:(x-2) +y =25,则过 M(0,1)的圆 C 的对 称轴所在的直线方程为__________________. 解析:由:(x-2) +y =25,得圆心 C(2,0),又圆 C 的对称轴过 M(0,1),由直线方程 y-0 x-2 的两点式得: = ,整理得:x+2y-2=0.所以过 M(0,1)的圆 C 的对称轴所在的直 1-0 0-2 线方程为 x+2y-2=0. 答案:x+2y-2=0 2.(2013·揭阳一模)已知圆 C 经过直线 2x-y+2=0 与坐标轴的两个交点,又经过抛 2 物线 y =8x 的焦点,则圆 C 的方程为________________. 解析:抛物线 y =8x 的焦点为 F(2,0),直线 2x-y+2=0 与坐标轴的两个交点坐标分 2 2 别为 A(-1,0),B(0,2),设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0. 1-D+F=0, ? ? 将 A、B、F 三点的坐标代入圆的方程得:?4+2E+F=0, ? ?4+2D+F=0, 2 2 2 2 2 D=-1, ? ? 解得?E=-1, ? ?F=-2. ? 1?2 ? 1?2 5 2 2 于是所求圆的方程为 x +y -x-y-2=0.即?x- ? +?y- ? = . ? 2? ? 2? 2 ? 1?2 ? 1?2 5 答案: ?x- ? +?y- ? = ? 2? ? 2? 2 第 3 页 共 3 页


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