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高中数学第三章三角恒等变换32简单的三角恒等变换优化练习新人教A版必修4

3.2 简单的三角恒等变换 [课时作业] [A 组 基础巩固] 3 θ 1.已知 cos θ =- ,且 180°<θ <270°,则 tan =( 5 2 A.2 1 C. 2 解析:因为 180°<θ <270°, θ 所以 90°< <135°, 2 所以 tan θ <0, 2 B.-2 1 D.- 2 ) 所以 tan θ =- 2 1-cos θ =- 1+cos θ ? 3? 1-?- ? ? 5? =-2. 3? ? 1+?- ? ? 5? ?α +π ?的值等于( ?2 ? ? ? 2 4 14 4 答案:B ?π ? 3 2.已知 α 是锐角,且 sin ? +α ?= ,则 sin ?2 ? 4 A. C. 2 4 14 4 ) B.- D.- 3 ?π ? 3 解析:由 sin ? +α ?= ,得 cos α = ,又 α 为锐角. 4 ?2 ? 4 α ?α ? 所以 sin ? +π ?=-sin =- 2 ?2 ? 3 1- 4 =- 2 1 2 =- . 8 4 1-cos α 2 =- 答案:B 3.化简 2+cos 2-sin 1等于( A.-cos 1 C. 3cos 1 2 2 ) B.cos 1 D.- 3cos 1 2 2 解析:原式= 2+2cos 1-1-?1-cos 1?= 3cos 1= 3cos 1,故选 C. 答案:C 1 x ?π x? 4.函数 f(x)=2sin sin ? - ?的最大值等于( 2 ? 3 2? 1 A. 2 C.1 B. 3 2 ) D.2 π x π x? x? 解析:f(x)=2sin ?sin cos -cos sin ? 3 2 3 2? 2? = = 3 3 1-cos x 2x sin x-sin = sin x- 2 2 2 2 3 1 1 sin x+ cos x- 2 2 2 ? π? 1 =sin ?x+ ?- , 6? 2 ? 1 所以 f(x)max= . 2 答案:A α 1+tan 2 4 5.若 cos α =- ,α 是第三象限的角,则 等于( 5 α 1-tan 2 1 A.- 2 C.2 B. 1 2 ) D.-2 4 3 解析:∵α 是第三象限角,cos α =- ,∴sin α =- . 5 5 α sin 2 1+ α α α α α α α α cos 1+tan cos +sin cos +sin cos +sin 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ = = = ? α α α α α α α α 1-tan sin cos -sin cos -sin cos +sin 2 2 2 2 2 2 2 2 1- α cos 2 3 1- 5 1+sin α 1 = = =- . cos α 4 2 - 5 答案:A 1 2 sin 35°- 2 6.求值: =________. cos 10°cos 80° 2 1 1-cos 70° 1 2 sin 35°- - 2 2 2 解析: = cos 10°cos 80° cos 10°sin 10° 1 - cos 70° 2 = =-1. 1 sin 20° 2 答案:-1 π? 1 1 ?π ? ? 7.已知 θ ∈? ,π ?, + =2 2,则 sin ?2θ + ?的值为________. 3? ?2 ? sin θ cos θ ? 1 1 cos θ +sin θ 解析:由 + = sin θ cos θ sin θ ?cos θ 2? = 2 ? 2 ? cos θ + sin θ ? 2 2 ? ? 1 ?sin 2θ 2 π? ? 2 2sin ?θ + ? 4? ? = =2 2, sin 2θ π? ? ?π ? 所以 sin ?θ + ?=sin 2θ ,又 θ ∈? ,π ?, 4? ? ?2 ? π 11π 故 θ + +2θ =3π ,得 θ = , 4 12 π? 13π 1 ? sin ?2θ + ?=sin = . 3 6 2 ? ? 1 答案: 2 sin 4x cos 2x cos x 8.化简 ? ? =________. 1+cos 4x 1+cos 2x 1+cos x 解析:原式= 2sin 2xcos 2x cos 2x cos x sin 2x cos x ? ? = ? = 2 2cos 2x 1+cos 2x 1+cos x 1+cos 2x 1+cos x 2sin xcos x cos x sin x x ? = =tan . 2 2cos x 1+cos x 1+cos x 2 答案:tan x 2 12 4 β 9.已知 sin α = ,sin(α +β )= ,α 与 β 均为锐角,求 cos . 13 5 2 π 5 2 解析:因为 0<α < ,所以 cos α = 1-sin α = . 2 13 3 π π 又因为 0<α < ,0<β < , 2 2 所以 0<α +β <π . π 若 0<α +β < , 2 因为 sin(α +β )<sin α ,所以 α +β <α 不可能. π 3 故 <α +β <π .所以 cos(α +β )=- . 2 5 所以 cos β =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α = 3 5 4 12 33 - ? + ? = , 5 13 5 13 65 π β π 因为 0<β < ,所以 0< < . 2 2 4 故 cos β = 2 1+cos β 7 65 = . 2 65 2 10.已知函数 f(x)=cos x- 3sin xcos x+1. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; 5 ?π 2π ? (2)若 f(θ )= ,θ ∈? , ?,求 sin 2θ 的值. 3 ? 6


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