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宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题Word版含解析

宁夏石嘴山市第三中学 2019 届高三下学期第四次模拟考试

数学(文)试题

第 I 卷(选择题) 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合



,则

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】由题意可得 :

,则

.

本题选择 C 选项.

2. 复数

( 为虚数单位),则复数 的共轭复数为

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】由题意可得:

.

本题选择 A 选项. 3. 中国古代数学名著《九章算术》中记载:今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人,共猜得五鹿,欲 以爵次分之,问各得几何?其意是:今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人,他们共猎获五只鹿,欲 按其爵级高低依次递减相同的量来分配,问各得多少.若五只鹿的鹿肉共 500 斤,则不更、簪袅、上造这三 人共分得鹿肉斤数为

A. 200 B. 300 C.

D. 400

【答案】B

【解析】由题设五人分得的鹿肉斤数成等差数列,因为

,所以

,则由等差数列的性质可得

,即

,所以

,应选答案 B 。

点睛:本题将古代著名数学问题与等差数列紧密联系起来,彰显了数学知识的历史渊源,同时也说明数学

知识的应用无处不在。求解时巧妙运用等差数列的通项的性质,从而使得问题简捷、巧妙获解。

4. 设 为

中 边上的中点,且 为 边上靠近点 的三等分点,则

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】由题意:

.

本题选择 D 选项.

5. 已知命题 :“

”,命题 :“直线

与直线

互相垂直”,则命题 是命题

的 A. 充分不必要条件 【答案】A

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要

【解析】命题 中,直线

的斜率是 所以

命题 是命题 成立的充分

不必要条件.选 A....

6. 若 α ,β 为锐角,且满足 cosα =

,则 sinβ 的值为

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】试题分析:由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sinα 、sin(α +β )的值,再利用两角和差 的正弦公式求得 sinβ =sin 的值.

解:α ,β 为锐角,且满足 cosα =

,∴sinα =

= ,sin(α +β )

=

=,

则 sinβ =sin=sin(α +β )cosα ﹣cos(α +β )sinα = 故选:C. 考点:两角和与差的正弦函数.

﹣×= ,

7. 设 , 满足约束条件

若目标函数

的最大值为 2,则实数 的值为

A.

B. 1 C.

D.

【答案】A

【解析】试题分析:试题分析:先作出不等式组

值为 ,所以

与可行域交于如图 点,联立

的图象如图,因为目标函数

,得

,由

在直线

的最大

上,所以有

,选 A.

考点:二元一次不等式所表示的平面区域.

8. 函数

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】由函数的解析式 ,当

时,是函数的一个零点,属于排除 A,B,

当 x∈(0,1)时,cosx>0,

,函数 f(x) <0,函数的图象在 x 轴下方,排除 D.

本题选择 C 选项. 点睛:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判 断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4) 从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

9. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的外接球的表面积是

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

由三视图知四棱锥 B?ADD1A1 为长方体的一部分,

如图,所以外接球的直径



所以

,所以四棱锥的外接球的表面积是

本题选择 C 选项.

10. 如图所示是一个算法程序框图,在集合

入,则输出的 的值落在区间

内的概率为

.



中随机抽取一个数值作为 输

A. 0.8 B. 0.6 【答案】A

C. 0.5

D. 0.4

【解析】根据程序框图可知,其功能为计算



∵输出的 y 值落在区间(?5,3),即?5<y<3, ①当 x<0 时,y=x+3, ∴?5<x+3<3,解得?8<x<0, 故?8<x<0 符合题意; ②当 x=0 时,y=0∈(?5,3), 故 x=0 符合题意; ③当 x>0 时,y=x?5, ∴?5<x?5<3,解得 0<x<8, 故 0<x<8 符合题意。... 综合①②③可得,x 的取值为(?8,8), ∵在集合 A={x|?10?x?10,x∈R}中随机抽取一个数值做为 x,

故输出的 y 值落在区间(?5,3)内的概率为

.

本题选择 A 选项.

11. 已知双曲线

的右顶点为 为坐标原点,以 为圆心的圆与双曲线 的某一条渐近线交于两

点 ,若



,则双曲线 的离心率为

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】由图知

是等边三角形,设 中点是 ,圆的半径为,则





,因



,所以



,即

,所以

,即



,从而得

,故选 B.

点睛:本题考查双曲线的离心率,解题关键是建立 的一个关系式(等式),注意到条件

是正三角

形,因此取 中点 ,则

,于是渐近线 的斜率

,而

的关系可通过

及正三角形求得,这样我们找到了 的等式,从而可求得离心率.

12. 若直角坐标平面内的两点 满足条件:① 都在函数

的图象上;

② 关于原点对称。则称点对 是函数

的一对“友好点对”(点对 与

看作同一对

“友好点对”).已知函数

,则此函数的“友好点对”有

A. 3 对 B. 2 对 C. 1 对 【答案】C 【解析】由题意得:

D. 0 对

函数

“友好点对”的对数,等于函数



)的图象关于原点对称的

图象,与函数

交点个数,在同一坐标系中做出函数



)的图象关于原点对称的图

象,与函数



)的图象如下图所示:

由图象可知,两个图象只有一个交点.故选 C.

第 II 卷(非选择题) 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13. 抛物线

的焦点到双曲线

的渐近线的距离是__________

【答案】

【解析】双曲线

的焦点

到渐近线距离为

的焦点

到渐近线距离为 .

14. 已知正项等比数列 中,

【答案】15

【解析】解:由题意可知:



.

15. 若

,且

【答案】4032

【解析】令

可得:

,其前 项和为

,且

,则 __________.

,结合

解得:



,则

____________.





.

16. 已知函数 的定义域为,部分对应值如下表, 的导函数 命题:

的图象如图所示,下列关于 的

-1

0

4

5

1

2

2

1

①函数 的极大值点为 0,4;

②函数 在上是减函数;

③如果当

时, 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4;

④当 1<a<2 时,函数

有 4 个零点.

其中正确命题的序号是__________.

【答案】①②

【解析】试题分析: ①由函数 的导函数

的图像知,函数 的极大值点为 , ,所以①正

确; ②因为在

上的导函数为负,所以函数 在

上是减函数,所以②正确;

④由

知,因为极小值 未知,所以无法判断函数

有几个零点,故④不正确.

综上所述,正确命题的个数为 2. 考点:利用导数研究函数的极值;命题的真假判断与应用. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 已知向量

,向量

,函数

.

(1)求 单调递减区间;...

(2)已知 分别为

内角

的对边, 为锐角,

,且 恰是 在 上的

最大值,求 和

的面积 .

【答案】(1)

;(2)

【解析】试题分析: (1)利用平面向量数量积的运算法则得到三角函数式,化简三角函数式即可求得 的周期; (2)结合(1)中的结论首先求得函数的最大值,据此求得 的大小,然后利用余弦定理求得边长 b 即可. 试题解析:

(1)

.

.

(2)由(1)知:

,∴

时,





时 取得最大值 ,此时

.由



.

由余弦定理,得

,∴





,则

.

18. 甲、乙两人进行射击比赛,各射击 4 局,每局射击 10 次,射击命中目标得 1 分,未命中目标得 0 分.两 人 4 局的得分情况如下:

(1)已知在乙的 4 局比赛中随机选取 1 局时,此局得分小于 6 分的概率不为零,且在 4 局比赛中,乙的平

均得分高于甲的平均得分,求

的值;

(2)如果

,从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局,并将其得分分别记为 ,求

的概率;

(3)在 4 局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出的所有可能取值.(结论不

要求证明)

【答案】(1)

;(2);(3) .

【解析】试题分析:(1)由题意,得

中至少有一个不小于

,由此能得到

的值;(2)设“从甲乙的 局比赛中随机各选取 局,且得分满足

”为事件 ,记甲的 局比赛为

,各局的得分分别为

;乙局的 局比赛为

,各局的得分分别是



利用列举法能求出

的概率;(3)由题设条件能求出的可能的取值为

.

试题解析:(1)由题意得

,即

.

∵在乙的 4 局比赛中随机选取 1 局时,此局得分小于 6 分的概率不为零,

∴ 至少有一个小于 6,又∵

,且





,∴

.

(2)设“从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局,且得分满足

”为事件 ,

记甲的 4 局比赛为

,各局的得分分别是 6,6,9,9;乙的 4 局比赛为

,各局的得分

分别是 7,9,6,10.则从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局,所有可能的结果有 16 种,它们是:































.而事件 的结果有 8 种,它们是:















,∴事件 的概率

.

(3)的所有可能取值为 6,7,8.

考点:古典概型及其概率的求解.

19. 如左图:在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=900,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD 于 E 点,把△DEC 沿 CE 折

到 的位置,使

,如下图:若 G,H 分别为 , 的中点.

(1)求证:



(2)求三棱锥

的体积.

【答案】(Ⅰ)证明过程见解析;(Ⅱ)

【解析】试题分析:(Ⅰ)由勾股定理可得

又知



,再由线面垂直的判定定理可及性质得

由(1)得

试题解析:(Ⅰ) 在







,...





.





.



.

又 在平面

内,

, 分别为 , 的中点,连接

.

(Ⅱ)由(1)得

,进而得 , .
.

,从而



;(Ⅱ)

20. 已知椭圆

两点,且

的周长为 8.

(1)求椭圆 的方程;

,离心率为 ,两焦点分别为

,过 的直线交椭圆 于

(2)过点

作圆

的切线交椭圆 于 两点,求弦长 的最大值.

【答案】(1)

;(2) 的最大值为 2

【解析】试题分析:(1)求椭圆标准方程,一般利用待定系数法,即根据条件列两个独立方程:一是离心



,二是椭圆定义:

的周长为

,解方程组得



(2)涉及弦长问

题,一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理和弦长公式求弦长:设切线的方程为

,则

,再根据

直线与圆相切得

,即

,代入化简得

,最后利用基本不等式求最值

试题解析:(1)由题得:

,........................1 分

,...............................3 分

所以

.........................4 分



,所以

,........................5 分

即椭圆 的方程为

....................6 分

(2)由题意知,

,设切线的方程为





,得

...............7 分

设 则
由过点


, 的直线与圆

.....................8 分

相切得

,即



所以

....11 分



当且仅当

时,

考点:直线与椭圆位置关系

,所以 的最大值为 2...................12 分...

【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与 系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问 题往往利用点差法.

21. 已知函数

(1)求函数 的最大值;

(2)设

其中

,证明: <1.

【答案】(1)f(x)的最大值为 f(0)=0;(2)证明过程见解析

【解析】试题分析:(1)先求导

,从而求出增区间为

,减区间为

,故

;(2)由(1)知

,所以当

时,

成立,当

时,

,令

,所以

,

所以

成立.

试题解析:

(1)f?(x)=-xex.

当 x∈(-∞,0)时,f?(x)>0,f(x)单调递增;

当 x∈(0,+∞)时,f?(x)<0,f(x)单调递减.

所以 f(x)的最大值为 f(0)=0.

(2)由(Ⅰ)知,当 x>0 时,f(x)<0,g(x)<0<1.

当-1<x<0 时,g(x)<1 等价于设 f(x)>x.

设 h(x)=f(x)-x,则 h?(x)=-xex-1.

当 x∈(-1,0)时,0<-x<1,0<ex<1,则 0<-xex<1,

从而当 x∈(-1,0)时,h?(x)<0,h(x)在(-1,0]单调递减.

当-1<x<0 时,h(x)>h(0)=0,即 g(x)<1.

综上,总有 g(x)<1.

考点:利用导数研究函数的性质.

【方法点晴】求函数 在 上的最大值和最小值的步骤:(1)求函数在 内的极值;(2)求函数在

区间端点的函数值

;(3)将函数 的各极值与

比较,其中最大的一个为最大值,最小的

一个为最小值.注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念.利用导数证明不等式,可先利 用分析法分析,然后构造函数证明.

请考生在第 22、23 二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把 所选题目的题号涂黑. 22. 选修 4-4:坐标系与参数方程.

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为

(其中为参数).现以坐标原点为极点,轴的正半

轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为

.

(1) 写出直线普通方程和曲线 的直角坐标方程;

(2) 过点

且与直线平行的直线 交曲线 于 , 两点,求

....

【答案】(Ⅰ)

;(Ⅱ)2.

【解析】试题分析:(Ⅰ) 消去参数即可得到直线的普通方程,根据

即可求得曲线 的

直角坐标方程;(Ⅱ)首先求得直线 的参数方程,然后联立曲线 的直角坐标方程利用参数的几何意义求解

即可.

试题解析:(Ⅰ) 由

消去参数,得直线的普通方程为

.

又由







得曲线 的直角坐标方程为

.

(Ⅱ) 过点

且与直线平行的直线 的参数方程为

将其代入



,则

,知



所以

.

考点:1、直线的参数方程;2、极坐标方程与直角坐标方程间的互化.

23. 选修 4-5:不等式选讲

已知函数 (1)求的值;

的最大值为.

(2)若



,求

的最大值.

【答案】(1)

;(2)2.

【解析】试题分析:(1)根据绝对值定义,将函数化为分段函数形式,分别求各段最大值,最后取各段最

大值的最大者为的值;(2)利用基本不等式得

,即得

的最大值.

试题解析:(1)由于

由函数 的图象可知

.

(2)由已知

,有

因为

(当

时取等号),

所以 故

的最大值为 2.

,即



(当

时取等号),





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