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闸北区2014年高三数学一模试卷

闸北区 2013 学年度第一学期高三数学(理科)期末练习卷
考生注意: 1.本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在规定 区域内贴上条形码. 3.本试卷共有 17 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(60 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 6 分,否则一律得零分. 1.设 ? ? 2014 ? ? 360 ? ? k , ? ? 2014 ,若 ? 是与 ? 终边相同的最小正角,则 k ? ______.
?

2.已知双曲线 5 x ? 4 y ? 20 的右焦点与抛物线 y ? 2 px 的焦点重合,则 p ?
2 2 2



3.设 a ? ?3,?1? , b ? ?cos x, sin x ? ,则函数 f ( x) ? a ? b 的最小正周期为_______. 4.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 0,
2 ? x ,   x ? 0.

则不等式 f ( x) ? 1 的解集为_______. .

5.已知直线 l 的一个法向量 n ? ?a, b ? ,其中 ab ? 0 ,则 l 的倾斜角为

6. 相距 480 米有两个垂直于水平地面的高塔 AB 和 CD , 两塔底 B 、D 的中点为 P , 已知 AB ? 280 米, CD ? 320 米,则 cos ?APC 的值是 ① ab ? 1 ;② . 7.设 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则下列不等式恒成立的有______.(填不等式序号)

a ? b ? 2 ;③ a 2 ? b 2 ? 2 .

8. 若等差数列 ?a n ?的首项为 2, 公差为 d (d ? 0) , 其前 n 项和 S n 满足: 对于任意的 n ? N ? , 都有 是非零常数.则 d ? 为 . .
x

S 2n Sn

9.设 a ? 0, a ? 1 ,已知函数 f ( x) ? a ? 2 sin 2?x ? 2 ( x ? 0 )至少有 5 个零点,则 a 的取值范围
2 2 10.设曲线 C : x ? y ? 2 ? 2 3 ( x ? y ) ,则曲线 C 所围封闭图形的面积为_______.

二、选择题(18 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须 把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 6 分,否则一律得零分. 11.如果 S ? ?x | x ? 2n ? 1, n ? Z?, T ? ?x | x ? 4k ? 1, k ? Z? ,那么 A. S 真包含于 T B. T 真包含于 S C. S 与 T 相等
2





D. S 与 T 没有交集

12.在平面内,设 A , B 为两个不同的定点,动点 P 满足: PA ? PB ? k ( k 为实常数),则动点 【 】 P 的轨迹为 A.圆 B.椭圆
3 3 2 3

C.双曲线
3 3 2 3

D.不确定
3 3 3 2

13 . 给 出 下 列 等 式 : 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 , … , 现 设

? 1 1 1 2 ? ? ??? ? 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? ? ? n 3 ? a n ( n ? N ? , n ? 2 ),则 lim ? ? n ?? a an ? 2 a3 A. 4 B. 2 C. 1 D. 0

? ? ?? ?





三、解答题(本题满分 72 分)本大题共有 4 题,解答必须在答题纸的规定区域内. 14.本题满分 16 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分 设 ?ABC 的三个内角 A ,B,C 的对边分别为 a,b,c ,满足: (1)求角 A 的大小; (2)若 2 sin
2

a 3 cos A

?

b . sin B

B C ? 2 sin 2 ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状,并说明理由. 2 2
?x

15.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分 定义域为 R 的函数 f ( x) ? 2 ? 2
x

, g ( x) ? 2 ? 2
x

?x



(1)请分别指出函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( x) 的奇偶性、单调区间、值域和零点; (请将结论填入答题卡的表中,不必证明) (2)设 h( x) ?

f ( x) ,请判断函数 y ? h( x) 的奇偶性和单调性,并证明你的结论. g ( x)

(必要时,可以(1)中的结论作为推理与证明的依据) 16.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分 如图所示:一块椭圆形状的铁板 ? 的长轴长为 4 米,短轴长为 2 米. (1)若利用这块椭圆铁板 ? 截取矩形,要求矩形的 四个顶点都在椭圆铁板 ? 的边缘,求所能截取 的矩形面积的最大值; (2)若以短轴的端点 A 为直角顶点,另外两个锐 角的顶点 B 、 C 都在椭圆铁板的边缘,切割 等腰直角三角形,则在不同的切割方案中, 共能切割出几个面积不同的等腰直角三角形? 最大面积是多少?(结果保留一位小数) 17.本题满分 20 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 12 分 如 图 , 在 y 轴 的 正 半 轴 上 依 次 有 点 A1、A2、 ?、An、 ? , 其 中 点 A1 (0, 1) 、 A2 (0, 10) , 且

An ?1 An ? 3 An An ?1 (n ? 2,3,4, ?) ,在射线 y ? x( x ? 0) 上依次有点 B1、B2、 ?、Bn、 ? ,点 B1
的坐标为 (3,3) ,且 OBn ? OBn?1 ? 2 2 (n ? 2,3,4, ?) . (1)求点 An 、 B n 的坐标; (2)设四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 面积为 S n ,解答下列问题: ① 问 {S n } 中是否存在连续的三项 S n , S n ?1 , S n ? 2 ( n ? N )恰好成等差数列?若存在,求出所 有这样的三项;若不存在,请说明理由;
?

An+1 An A2

y

Bn+1 Bn B2

29 1 ? ② 求满足不等式 S n ? 的所有自然数 n . 2 80

A1 O

B1 x

闸北区 2013 学年度第一学期高三数学(理科)期末练习卷 参考答案与评分标准
一、1.5; 6. 2.6; 3. 2? ; 4. ?? ?,?1? ? ?2,?? ? ; 5. ? ? arctan? ? 9. ?0,1? ? ?1,2? ; 10.

? a? ?; ? b?

2 85 ; 7.①③; 8.4; 85
12.A;1 3.C.

32 ? ?8 3 . 3

二、11.C;

三、14.解:(1)由条件结合正弦定理得, 从而 sin A ?

a 3 cos A

?

b a ? sin B sin A

3 cos A , tan A ? 3 ,----------------------------------------------4 分

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? (2)∵ 2 sin
2

?
3

.-------------------------------------------------------------2 分

B C ? 2 sin 2 ? 1 2 2 ∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 , ∴ cos B ? cos C ? 1 , ------------------------------------3 分 2? ? ? B) ? 1 ,得到 sin( B ? ) ? 1 , --------------------------------------3 分 即 cos B ? cos( 3 6 2? ? ? 5? ? ? ? ?0 ? B ? ? ? B? ? ?B ? ? ? B ? ----------------3 分 3 6 6 6 6 2 3 ? ?ABC 为等边三角形. -------------------------------------------------------------1 分
15.解:(1)

奇偶性
y ? f ( x) y ? g ( x)
奇函数 偶函数

单调区间
R 上单调递增 在 ?? ?,0? 上单调递减; 在 ?0,??? 上单调递增

值域
R

零点
x?0


?2,???

(2) y ? h( x) 是奇函数. 证明:任取 x ? R ,? h(? x) ?

--------------------------------------------------------------1 分

f (? x) f ( x) ?? ? ?h( x) , ----------------------------2 分 g (? x) g ( x)

--------------------------------------------------------------1 分 ? y ? h( x) 是奇函数. y ? h( x) 是 R 上的单调递增函数. -----------------------------------------------------------1 分 证明:任取 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , 即 x1 ? x2 ? 0, f ( x1 ) f ( x 2 ) 又? h( x1 ) ? h( x 2 ) ? ------------------------------------------------------------1 分 ? g ( x1 ) g ( x 2 )

2 f ( x1 ? x 2 ) 2 2 x1 ? x2 ? 2 ? ( x1 ? x2 ) . ---------------------------------1 分 ? g ( x1 ) g ( x 2 ) g ( x1 ) g ( x 2 ) ? y ? f ( x) 是单调递增函数函数,且 f (0) ? 0 , --------------------------------------------------------------1 分 ? f ( x1 ? x2 ) ? 0 . ? y ? g ( x) 的值域为 ?2,??? ,? g ( x) ? 0 恒成立.----------------------------------------1 分 所以, h( x1 ) ? h( x2 ) . --------------------------------------------------------------1 分 故, y ? h( x) 是 R 上的单调递增函数.
?

?

?

16.解:(1)建系(略),得椭圆的标准方程为 x ? 4 y ? 4 -------------------------------3 分
2 2

设矩形的一个顶点坐标为 ? x, y ?

? S ? 4 xy ? 2 x 2 y ? x 2 ? 4 y 2 ? 4 --------------------------------------------------------------4 分

2 时等号成立.-------------------------------------------1 分 2 1 (2)设 AB 所在的直线方程为: y ? kx ? 1 ,则 AC 所在的直线方程为: y ? ? x ? 1 ---2 分 k 2 2 将 AB 所在的直线方程代入椭圆方程,得 (1 ? 4k ) x ? 8kx ? 0
当且仅当 x ? 2 y ,即 x ?

2, y ?

可求得, AB ? 1 ? k ?
2

8k 1 ? 4k 2

--------------------------------------------------------------2 分

2 8k ?1? 同理可求得 AC ? 1 ? ? ? ? 2 ,-----------------------------------------------------------1 分 ?k? k ?4 3 2 不妨设 k ? 0 ,令 AB ? AC ,得 k ? 4k ? 4k ? 1 ? 0 ,-----------------------------------1 分

即 ?k ? 1? k ? 3k ? 1 ? 0 ,
2

?

?

解得, k ? 1 或 k ?

当 k ? 1 时,所截取等腰直角三角形面积为 2.6 平方米;-----------------------------------------1 分 当k ?

3? 5 . 2

--------------------------------------------------------------1 分

3? 5 时,所截取等腰直角三角形面积为 2.1 平方米.---------------------------------1 分 2

所以,切割出的等腰直角三角形的最大面积约 2.6 平方米. -----------------------------------1 分 17.(1)?

| An An ?1 | 1 ? , 且 | A1 A2 |? 10 ? 1 ? 9 , -----------------------------------------------1 分 | An ?1 An | 3 1 1 1 ?| An An ?1 |?| A1 A2 | ( ) n ?1 ? 9( ) n ?1 ? ( ) n ?3 ----------------------------------------------1 分 3 3 3 1 27 1 1 n ? 4 | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? ? ? | An ?1 An | ? 9 ? 3 ? 1 ? ? ? ( ) n ? 4 ? ? ( ) 3 2 2 3 29 1 1 ? 点An 的坐标 (0, ? ( ) n ?4 ) , -------------------------------------------------------------2 分 2 2 3 ?| OBn | ? | OBn ?1 |? 2 2 ( n ? 2,3,? )且 | OB1 |? 3 2 -----------------------------------1 分
?{| OBn |} 是以 3 2 为首项, 2 2 为公差的等差数列

?| OBn |? 3 2 ? (n ? 1)2 2 ? (2n ? 1) 2 ---------------------------------------------------2 分 ? Bn 的坐标为 (2n ? 1, 2n ? 1) . -------------------------------------------------------------1 分 (2)连接 An Bn ?1 ,设四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积为 S n ,
则 Sn

? S ?An An?1Bn?1 ? S ?Bn Bn?1 An

1 1 1 29 1 1 2 29 n ? [( ) n ?3 ] ? (2n ? 3) ? ? 2 2 ? [ ? ( ) n ? 4 ] ? ? n ?3 .---------------------3 分 2 3 2 2 2 3 2 2 3
① 设连续的三项 S n , S n ?1 , S n ? 2 ( n ? N )成等差数列, 则有, 2Sn ?1 ? Sn ? Sn ? 2 , -------------------------------------------------------------1 分
?

n 29 n ? 2 ? 29 n ? 1 ? 29 ? n?2 ? ? ? n ?3 ? ? n ?1 , 2 3 ? 2 3 ? 2 3 解得 n ? 1.
即 2? 所以,存在连续的三项 S1 , S 2 , S 3 恰好成等差数列. -------------------------------------------------2 分 ② ? S n ? S n ?1 ?

由于数列 ?S n ? 是单调递减数列, 所以,满足不等式 S n ?

-------------------------------------------------------------2 分 ?数列 ?S n ? 是单调递减数列. 29 1 n 1 由于 S n ? ? ? n ?3 ? 2 80 80 3 8 8 1 9 1 1 用计算器可知 8?3 ? , 9 ?3 ? . ? ? 243 80 3 81 80 3

2n ? 1 ?0 3 n?2

29 1 的所有自然数 n 为不小于 9 的所有自然数. --------------4 分 ? 2 80



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