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高二上期末考试文科数学 (1)_图文

奎屯市第一高级中学 2018------2019 学年上学期期末试卷 高二数学(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.)
1. 设 x ? 0 , y ? R ,则“ x ? y ”是“ x ?| y | ”的( ) (A)充要条件 (B)充分而不必要条件 C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ) (D)

2. 执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为(
(A)-

3 2

(B)

3 2

(C)-

1 2

1 2

3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是 “乙降落在指定范围 ”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A. (?p) ∨ (?q) 4.已知向量 BA ? ( , (A) 30 0 B. p ∨ (?q) C. (?p) ∧ (?q) D. p ∨ q ) )

uuv

? 3 1? 1 3 ?ABC ? ( ) , CB ? ? ? 2 ,2? ? 则 2 2 , ? ?
(B) 60 0 (C) 1200 (D 1500

5.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 ? 项的和为( (A) ) (B)

?

1 ? ? 的前 2019 a a ? n n?1 ?

2019 2020

2017 2018

(C)

2018 2019
)

(D)

2020 2019

6. 某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为(

( A) 72?

( B ) 48?

(C ) ???

( D ) ???


7. 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? A. y ? f ( x) 的图象关于 x ? C. y ? f ( x) 的图象关于 (

?
?
6

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则(
对称

?
3

3

B. y ? f ( x) 的图象关于 x ? D. y ? f ( x) 的图象关于 (

?
6

对称

,0) 对称

?
6

,0) 对称

8 . 在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)如图 I 所示;

1

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间 ?139,151? 上的 运动员人数为( A、 3 9. 设双曲线 A.4 ) B、 4 C、 5 D、 6 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为( a2 9
B.3 C.2 D.1

10. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 (??,0) 上单调递增,若实数 a 满足 f (2

| a ?1|

) ? f (? 2 ) ,则

a 的取值范围是(
(A) (?? , )

) (B) ( ?? , ) ? ( ,?? ) (C) ( , ) (D) ( ,?? ) )

?a+b?2 11. 已知 x ? 0, y ? 0 , x、a、b、y 成等差数列,x、c、d、y 成等比数列,则 的最小值是 ( cd A.0 B.1 C.2 D.4

1 2

1 2

3 2

1 3 2 2

3 2

12. 已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 准线与 E 的两个交点,则 AB ? ( (A) 3 (B) 6 ) (C) 9

1 2 ,E 的右焦点与抛物线 C : y ? 8 x 的焦点重合, A, B 是 C 的 2

(D) 12

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13 .已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 =________. 14.某医院为了了解感冒受昼夜温差的影响,随机收集了四天的昼夜温差 t (?C ) 及感冒患者的人数 y ,得到如 下表: 昼夜温差 t ( ?C ) 患者人数 y 6 10
^

x 轴的正半轴重合,终边与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 tan ?

8 15
^
^

10 25

12 30

若 y 与 t 线性相关,且回归方程为 y ? 3.5t ? a ,则 a =________.

15. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1

,且 f (a ) ? ?3 ,则 f (6 ? a ) ?

.

x2 y 2 sin ?PF2 F1 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 椭圆的离心率为 e ,若椭圆上一点 P 使 16.已知椭圆 ?e, 4 3 sin ?PF1F2
则 F2 P F2 F 1 的值为 .

2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 10 分)的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,向量 m ? ( a , 3b) 与 n ? (cos A,sin B ) 平行. (1)求 A ; (2)若 a ?

7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为

[40,50],[50, 60], ,[80,90],[90,100]
(Ⅰ)求频率分布图中 a 的值; (Ⅱ)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (Ⅲ)从评分在 [40, 60] 的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在 [40,50] 的概率.

第 18 题图

19. (本小题满分 12 分)如图 3 ,三角形 ?DC 所在的平面与长方形 ??CD 所在的平面垂直, ?D ? ?C ? 4 ,

?? ? 6 , ?C ? 3 .
(1)证明: ?C// 平面 ?D? ; (2)证明: ?C ? ?D ; (3)求点 C 到平面 ?D? 的距离. 20. 设 Sn 为数列 ?an ? 的前项和,对任意 n ? N ,都有 Sn ? 2an ?1 .
?

3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?

?1? 1 成立的的最小值. ? 的前项和为 Tn ,求使得 Tn ? 2 ? 500 ? an ?

21. (本小题满分 12 分)已知 a ?R,函数 f ( x ) = log 2 ( ? a ) . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ? x ? ? 1 ; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) + log 2 ( x 2 ) =0 的解集中恰有一个元素,求 a 的值; (3)设 a ? 0 ,若对任意 t ? [ ,1] ,函数 f ( x ) 在区间 [t , t ? 1] 上的最大值与最小值的差不超过 1,求

1 x

1 2

a 的取值范围.

22 . (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系

x o y 中,已知椭圆 C1 : x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为
a b

2

2

1) 在 C1 上。 F1 (? 1, 0),且点 P (0 ,
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程。

4

参考答案: 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 15. ? 4 D 5 A 6 C 7 B 8 B 9 C 10 C 11 D 12 B

二:填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 2

14. ?11.5

7 4

1 6.

42 9

17.解:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 ,由正弦定理,得 sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 , 又 sin B ? 0 ,从而 tan A ?

3 ,由于 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3



(II) 解法一:由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,代入数值求得 c ? 3 ,由面积公式得 ?ABC 面积



1 3 3 21 7 2 . 解法二:由正弦定理,得 ,从而 sin B ? ,又由 a ? b 知 A ? B , bc sin A ? ? ? 2 2 7 sin B sin 3 3 21 2 7 ? ,由 sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ? ) , 计算得 sin C ? , 所以 ?ABC 面 积为 7 3 14

所 以 cos B ?

1 3 3 . ab sin C ? 2 2
试题解析:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 由正弦定理,得 sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 , 又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 由于 0 ? A ? ? 所以 A ?

3,

?
3

(II)解法一:由余弦定理,得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ?
得 7 ? 4 ? c 2 ? 2c ,即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 , 故 ?ABC 面积为

?
3



1 3 3 . bc sin A ? 2 2

解法二:由正弦定理,得

7 sin

?
3

?

2 sin B

5

从而 sin B ?

21 7
2 7 7

又由 a ? b 知 A ? B ,所以 cos B ? 故 sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ?

?
3

)

? sin B cos

?
3

? cos B sin

?
3

?

3 21 , 14

所以 ?ABC 面积为

1 3 3 . ab sin C ? 2 2

【考点定位】1.正弦定理和余弦定理;2.三角形的面积. 18.解: (Ⅰ)因为 (0.004 ? a ? 0.0018 ? 0.022 ? 2 ? 0.028) ? 10 ? 1 ,所以 a ? 0.006 (Ⅱ)由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为 (0.022 ? 0.018) ? 10 ? 0.4 , 所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4 . (Ⅲ)受访职工评分在[50,60)的有:50× 0.006× 10=3(人) ,即为 A1 , A2 , A3 ; 受访职工评分在[40,50)的有: 50× 0.004× 40=2(人) ,即为 B1 , B2 . 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种,它们是 ?A1 , A2 ?, ?A1 , A3 ?, ?A1 , B1 ?, ?A1 , B2 ?,

?A2 , A31 ?, ?A2 , B1 ?, ?A2 , B2 ?, ?A3 , B1 ?, ?A3 , B2 ?, ?B1 , B2 ?, 又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种,即

?B1 , B2 ? ,故所求的概率为 p ?
?C// 平面 ?D?

1 . 10

19.解: (1)因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C//?D ,因为 ?C ? 平面 ?D? , ?D ? 平面 ?D? ,所以

( 2 )因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C ? CD ,因为平面 ?DC ? 平面 ??CD ,平面 ?DC

平面

??CD ? CD , ?C ? 平面 ??CD ,所以 ?C ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC ,所以 ?C ? ?D

( 3 ) 取 CD 的 中 点 ? , 连 结 ?? 和 ?? , 因 为 ?D ? ?C , 所 以 ?? ? CD , 在 Rt???D 中 ,

?? ? ?D 2 ? D? 2

? 42 ? 32 ? 7 ,因为平面 ?DC ? 平面 ??CD ,平面 ?DC 平面 ??CD ? CD , ?? ? 平面 ?DC ,所以
6

?? ? 平面 ??CD ,由( 2 )知: ?C ? 平面 ?DC ,由( 1 )知: ?C//?D ,所以 ?D ? 平面 ?DC ,因为
?D ? 平面 ?DC ,所以 ?D ? ?D ,设点 C 到平面 ?D? 的距离为 h ,因为 V三棱锥C??D? ? V三棱锥???CD ,所以

1 S ??CD ? ?? 2 ? 3 ? 6 ? 7 3 7 3 7 1 1 ,所以点 C 到平面 ?D? 的距离是 ? ? S ??D? ? h ? S ??CD ? ?? ,即 h ? 1 S ??D? 2 2 3 3 ? 3? 4 2
【考点定位】1、线面平行;2、线线垂直;3、点到平面的距离. 20.【解析】 (1)由 Sn ? 2an ?1 ,得 Sn?1 ? 2an?1 ?1? n ? 2? ,两式相减整理得 an ? 2an?1 ,所以 ?an ? 为等比 数列,公比 q ? 2 .

S1 ? 2a1 ?1 ,?a1 ? 1 ,?an ? 1? 2n?1 ? 2n?1 .
1 1? n 1 1 2 ? 2 ? 1 ,? T ? 2 ? 1 ? 1 ,解得 n ? 10 , ? n?1 ,?Tn ? n 1 2n ?1 500 an 2 2n ?1 1? 2

(2)

即使得 Tn ? 2 ?

1 成立的的最小值为 10 . 500

考点:等比数列的通项公式,等比数列的前项和公式. 21. (1)由 log 2 ?

1 ?1 ? ? 1 ? ? 1 ,得 ? 1 ? 2 ,解得 ?x | 0 ? x ? 1? . x ?x ?

(2) log 2 ?

?1 ? ? a ? ? log 2 ? x 2 ? ? 0 有且仅有一解, ?x ?

等价于 ?

?1 ? ? a ? x 2 ? 1 有且仅有一解,等价于 ax 2 ? x ? 1 ? 0 有且仅有一解. ?x ?

当 a ? 0 时, x ? 1 ,符合题意; 当 a ? 0 时, ? ? 1 ? 4a ? 0 , a ? ? 综上, a ? 0 或 ?

1 . 4

1 . 4

(3)当 0 ? x1 ? x2 时,

?1 ? ?1 ? 1 1 ? a ? ? a , log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? , x1 x2 ? x1 ? ? x2 ?

所以 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减.

7

22. 解:(1)由题意得: b ? 1, c ? 1 ? a ? b2 ? c 2 ? 2 ,故椭圆 C1 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1。 2

(2) ① 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 , 设 直 线 l : x ? m , 直 线 l 与 椭 圆 C1 相 切 ? m ? ? 2 , 直 线 与 抛 物 线

C2 : y 2 ? 4x 相切 ? m ? 0 ,得: m 不存在。
②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? m ,直线 l 与椭圆 C1 相切 ? (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m 2 ?2 ? 0 两 根相等 ? ?1 ? 0 ? m2 ? 2k 2 ? 1 ;直线与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切 ? k 2 x2 ? 2(km ? 2) x ? m 2 ? 0 两根相等

? ?2 ? 0 ? km ? 1,解得: k ?

2 2 2 ,m ? 2 或 k ? ? ,m ? ? 2 ? l : y ? ? ( x ? 2) 2 2 2

8



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