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高考数学一轮复习:27.1 坐标系与坐标变换

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 27.1 【知识网络】 坐标系与坐标变换 1. 几种常用的坐标系:直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐标系及其相互转化. 2. 平面坐标系中几种常见变换:平移变换、伸缩变换. 【典型例题】 例 1.(1)点 M 的直角坐标是 (?1, A. (2, 3) ,则点 M 的极坐标为 (C) D. (2, 2k? ? 3 ) ? B. (2, ? ? 3 ) C. (2, 提示: (2, 2k? 2? ), (k ? Z ) 都是点 M 3 2? ) 3 ? ? 3 ), (k ? Z ) 的极坐标. (2)在极坐标系中有下列各点: A( ? ,? ), B( ? , ?? ), C ( ? ,? ? ? ), D( ? , ? ? ? ) , E(? ? ,? ) , F (? ? , ?? )( 其中 ? ? 0) .给出下列结论:① C , D 两点关于极轴所在的直线对称;② A, E 两点关于 过原点且垂直于极轴的直线对称;③ C , E 两点重合;④ B, D 两点关于极点对称;⑤ 中正确的结论是 A.①③④ B.①③⑤ C.③④⑤ D.①②③ 提示:在极坐标系中作出上述各点即可. (3)伸缩变换的坐标表达式为 ? 的方程为 A. x 2 A, F 两点重合.其 (A) ?X ?x Y2 2 ? 1 ,则曲线 C ,曲线 C 在此变换下变为椭圆 X ? 16 ?Y ? 4 y (A) ? y2 ? 1 B. x 2 ? y2 ? 4 C. x 2 ? y 2 ? 16 D. x2 ? y2 ?1 4 提示:直接将 ? ?X ?x 代入的方程. ?Y ? 4 y A 的球坐标为 (2, (4)已知空间点 ? 5? 4 , 4 ) ,则 A 点的空间直角坐标为____________. (?1, ?1, ? 2) 提示:设一点的球坐标为 (r ,? , ? ) ,直角坐标为 ( x, y, z ) , 则 x ? r sin ? cos ? , y ? r sin ? sin ? , z ? r cos? . (5)在极坐标系中,若点 ? 5, 6 A, B 的坐标分别为 (3, ), (4, ? ) ,则 | AB |? _________, S?AOB 3 6 .(其中 O 是极点) ? ? 提示: ?AOB ? ? 2 , ∴ ?AOB 为直角三角形. 例 2.设平面上伸缩变换的坐标表达式为 ? 并指出变换后的方程表示什么曲线. ? X ? 3x 2 2 ,求圆 x ? y ? 16 在此伸缩变换下的方程, Y ? 2 y ? 1 ? x? X ? ? X ? 3x ? 3 解:由 ? 可得 ? ?Y ? 2 y ?y ? 1Y ? ? 2 ,代入圆的方程得 X2 Y2 X2 Y2 ? ? 16 ,即 ? ? 1, 9 4 144 64 它表示中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆. 例 3.证明:以 A(4,1,9), B(10, ?1,6), C (2, 4,3) 为顶点的三角形是等腰三角形. 证明: AB ? (6, ?2, ?3), AC ? (?2,3, ?6) . AB ? ? AC , ∴ A, B, C 三点不共线,即可以构成三角形. ∵不存在实数 ? 满足 又因为 | AB |?| AC |? 7 , ∴ ?ABC 是等腰三角形. 例 4.在 x 轴上求一点,使它到点 解:设所求的点为 C ( x,0,0) , | A(?4,1, 7) 与到点 B(3,5, ?2) 的距离相等. AC |? ( x ? 4) 2 ? 1 ? 7 2 ? x 2 ? 8 x ? 66 , ∵| | BC |? ( x ? 3) 2 ? 52 ? (?2) 2 ? x 2 ? 6 x ? 38 , ∴ AC |?| BC | , ∴所求的点为 (?2, 0, 0) . x2 ? 8x ? 66 ? x2 ? 6x ? 38 , 解之得 x ? ?2 . 【课内练习】 1.在极坐标系中,点 (4, A. 表示同一点 C.关于极轴对称 ? ) 和 (?4, ? ) 的位置关系是 3 3 B.关于极点对称 ? (D) D.关于过极点且垂直于极轴的直线对称 (B) 2.空间一点的直角坐标为 (1,1,3) ,则其在相应的柱坐标系中的坐标为 提示:设该点在相应的柱坐标系中的坐标为 ( ? , ? , z ) ,则 ? 2 y ,z ? z . x ? ? 7? ); 3. 点 M (5, ) 为极坐标系中的一点,给出如下各点的坐标:① ( ?5, ? ) ;② (5, 6 6 6 ? 7? ) .其中可以作为点 M 关于极点的对称点的坐标的是 ③ (?5, ) ;④ ( ?5, ? (C) 6 6 ? x 2 ? y 2 , tan ? ? A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 提示:在极坐标系中画出各点,或根据极坐标的意义. 4..平面直角坐标系中,点 P(?4,3) 按向量 a ? (?1, ?5) 平移至点 Q ,则点 Q 的坐标为(B) A. (?3,8) B. (?5, ?2) C. (3, ?8) D. (5, 2) 提示:设点 Q 的坐标为 ( x?, y?) ,则 5. 点 M 的直角坐标为 ( ( x?, y?) ? (?4,3) ? (?1, ?5) ? (?5, ?2) 的要求下,它的极坐标为 . 3, ?1) ,在 ? ? 0,0 ? ? ? 2? (2, 11? ) 6 提示:点 M 的直角坐标为 x ? 3, y ? ?1, ∴? ? x 2 ? y 2 ? 2 , tan ? ? y 3 ?? x 3 . 6. 在直角坐标系中,


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