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2010年高考数学(理)试题及答案(新课标全国卷)


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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)-(24) 题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、 选择题答案使用 2B 铅笔填涂, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案的标号, 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,L x n 的标准差 锥体体积公式

s=

1 [( x1 ? x) 2 + ( x2 ? x)2 + L + ( xn ? x) 2 ] n

1 V = Sh 3
其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式[来源:Z。xx。

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 k.Com]

V = Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S = 4π R 2

4 V = π R3 3

其中 R 为球的半径

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

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合题目要求的。 (1)已知集合 A = {| x | ≤ 2, x ∈ R } }, B = {x | (A)(0,2) (2)已知复数 z = (B)[0,2]

x ≤ 4, x ∈ Z } ,则 A ∩ B =
(D){0,1,2}

(C){0,2]

3 +i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z = (1 ? 3i ) 2
B.

A.

1 4

1 2

C.1

D.2

(3)曲线 y =

x 在点(-1,-1)处的切线方程为 x+2
(B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2

(A)y=2x+1

(4)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 ,- 2 ) ,角速度 为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

(5)已知命题

p1 :函数 y = 2 x ? 2? x 在 R 为增函数, p2 :函数 y = 2 x + 2 ? x 在 R 为减函数,
则在命题 q1 : p1 ∨ p2 , q2 : p1 ∧ p2 , q3 : ( ? p1 ) ∨ p2 和 q4 : p1 ∧ ( ? p2 ) 中,真命 题是

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(A) q1 , q3

(B) q2 , q3

(C) q1 , q4

(D) q2 , q4

(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需 再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 (A)100 (B)200 (C)300 (D)400

(7)如果执行右面的框图,输入 N = 5 ,则输出的数等于

(A)

5 4 4 (B) 5 6 (C) 5 5 (D) 6

(8)设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = x 3 ? 8( x ≥ 0) ,则 {x | f ( x ? 2) > 0} = (A) {x | x < ?2或x > 4} (C) {x | x < 0或x > 6} (B) {x | x < 0或x > 4} (D) {x | x < ?2或x > 2}

1 + tan 4 2 = (9)若 cos α = ? , α 是第三象限的角,则 α 5 1 ? tan 2 1 1 (A) ? (B) (C) 2 (D) -2 2 2
(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为 (A) π a
2

α

(B)

7 2 πa 3

(C)

11 2 πa 3

(D) 5π a

2

?| lg x |, 0 < x ≤ 10, ? (11)已知函数 f ( x ) = ? 1 若 a, b, c 互不相等,且 f ( a ) = f (b) = f (c ), 则 ? ? 2 x + 6, x > 10. ? abc 的取值范围是
(A) (1,10) (B) (5, 6) (C) (10,12) (D) (20, 24)

(12)已知双曲线 E 的中心为原点, P (3, 0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B

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两点,且 AB 的中点为 N ( ?12, ?15) ,则 E 的方程式为

(A)

x2 y 2 ? =1 3 6 x2 y 2 ? =1 6 3

(B)

x2 y 2 ? =1 4 5 x2 y 2 ? =1 5 4

(C)

(D)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)设 y = f ( x) 为区间 [0,1] 上的连续函数,且恒有 0 ≤ f ( x) ≤ 1 ,可以用随机模拟方法 近似计算积分



1

0

f ( x)dx , 先产生两组 (每组 N 个) 区间 [0,1] 上的均匀随机数 x1 , x2 , …xN 和

y1 , y2 , …y N , 由 此 得 到 N 个 点 ( x1 , y1 )(i = 1, 2, …,N ) , 再 数 出 其 中 满 足 y1 ≤ f ( x1 )(i = 1, 2, …,N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方案可得积分 ∫ f ( x)dx 的近似值
0 1





(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种) (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为____ (16)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=

1 DC, ∠ ADB=120°,AD=2,若△ADC 的面积为 2

3 ? 3 ,则 ∠ BAC=_______
三,解答题:解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 ? an = 3 2 (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 令 bn = nan ,求数列的前 n 项和 Sn (18)(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,
2 n ?1

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AB CD,AC ⊥ BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高 ,E 为 AD 中点 (1) 证明:PE ⊥ BC (2) 若 ∠ APB= ∠ ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值

(19)(本小题 12 分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老 年人,结果如下: 是否需要志愿 需要 不需要 性别 男 40 160 女 30 270

(1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2) 能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3) 根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人,需要志愿帮助的 老年人的比例?说明理由 附:

(20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左、 右焦点, F1 斜率为 1 的直线 i 与 过 a 2 b2

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E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。
(1)求 E 的离心率; (2) 设点 p (0, ?1) 满足 PA = PB ,求 E 的方程 (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = e x ? 1 ? x ? ax 2 。 (1) 若 a = 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若当 x ≥ 0 时 f ( x ) ≥ 0 ,求 a 的取值范围

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 、 、 分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已经圆上的弧 (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; (Ⅱ)BC =BF×CD。
2

,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 ?

? x = 1 + t cos α ? x = cos θ (t 为参数) 2 ? ,C ( θ 为参数) , ? y = t sin α ? y = sin θ

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(Ⅰ)当 α =

π
3

时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 α 变化时,求 P 点的轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选项 设函数 f ( x ) = 2 x ? 4l + 1 (Ⅰ)画出函数 y = f ( x) 的图像 (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ ax 的解集非空,求 a 的取值范围。

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年普通高等学校招生全国统一考试 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案
一、 选择题 (1)D (7)D (2)A (8)B (3)A (9)A (4)C (10)B (5)C (11)C (6)B (12)B

二、填空题 (13)

N1 N

(14)三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分) (16)60°

(15) ( x ? 3) 2 + y 2 = 2 三、解答题 (17)解:

(Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

an +1 = [(an +1 ? an ) + (an ? an ?1 ) + L + (a2 ? a1 )] + a1 = 3(22 n ?1 + 2 2 n ?3 + L + 2) + 2 = 22( n+1)?1 。
而 a1 = 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an = 2 (Ⅱ)由 bn = nan = n ? 2
2 n ?1 2 n ?1



知 ①

S n = 1 ? 2 + 2 ? 23 + 3 ? 25 + L + n ? 22 n ?1
从而

22 ? S n = 1 ? 23 + 2 ? 25 + 3 ? 27 + L + n ? 22 n +1
①-②得



(1 ? 2 2 ) ? S n = 2 + 23 + 25 + L + 2 2 n ?1 ? n ? 22 n +1 。
即 (18)解:

1 S n = [(3n ? 1)22 n +1 + 2] 9

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以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为 x, y , z 轴,线段 HA 的长为单位长, 建立空间直角坐 标系如图, 则 A(1, 0, 0), B (0,1, 0) (Ⅰ)设 C ( m, 0, 0), P (0, 0, n)( m p 0, n f 0)

1 m D(0, m, 0), E ( , , 0). 2 2 1 m 可得 PE = ( , , ? n), BC = ( m, ?1, 0). 2 2 m m 因为 PE ? BC = ? + 0 = 0 2 2
则 所以

PE ⊥ BC

(Ⅱ)由已知条件可得 m = ?

3 3 , n = 1, 故 C( ? ,0,0) 3 3

D(0, ?

3 1 3 , 0), E ( , ? , 0), P (0, 0,1) 3 2 6

设 n = ( x, y , x ) 为平面 PEH 的法向量



?n ? HE = o, ? ? ?n ? HP = o, ?

? 1 x ? 3 y =0 ?2 6 即? ? z=0 ?

因此可以取 n = (1, 3, 0) , 由 PA = (1, 0, ?1) ,

uuu r

可得

uuur 2 cos PA,n = 4

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所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 (19)解:

2 4

(1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要 帮助的老年人的比例的估算值为

70 = 14% 500

(2) K =
2

500 × (40 × 270 ? 30 ×160) 2 = 9.967 。 200 × 300 × 70 × 430

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知, 该地区老年人是否需要帮助与性别有关, 并且从样本数据能看出该地 区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异, 因此在调查时, 先确定该地区老 年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样 方法更好. (20.)解: (I)由椭圆定义知 AF2 + BF2 + AB = 4a ,又 2 AB = AF2 + BF2 , 得 AB =

4 a 3

l 的方程为 y = x + c ,其中 c = a 2 ? b 2 。
设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 A、B 两点坐标满足方程组

?y = x + c ? 2 ?x y2 + 2 =1 ? 2 b ?a
化简的 a 2 + b 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 ? b 2 = 0

(

)

(

)

a2 ( c2 ? b2 ) ?2 a 2 c 则 x1 + x2 = 2 , x1 x2 = a + b2 a2 + b2
因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB =
2 2 x2 ? x1 = 2 ?( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ?

4 4ab 2 得 a= 2 , 故 a 2 = 2b 2 2 3 a +b

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所以 E 的离心率 e =

c a 2 ? b2 2 = = a a 2

(II)设 AB 的中点为 N ( x0 , y0 ) ,由(I)知

x0 =

x1 + x2 ?a 2c 2 c = 2 = ? c , y0 = x0 + c = 。 2 2 a +b 3 3

由 PA = PB ,得 k PN = ?1 , 即

y0 + 1 = ?1 x0

得 c = 3 ,从而 a = 3 2, b = 3

故椭圆 E 的方程为 (21)解: )

x2 y 2 + = 1。 18 9

(1) a = 0 时, f ( x ) = e x ? 1 ? x , f '( x ) = e x ? 1 . 当 x ∈ ( ?∞, 0) 时, f '( x ) < 0 ;当 x ∈ (0, +∞ ) 时, f '( x ) > 0 .故 f ( x ) 在 (?∞, 0) 单调减 少,在 (0, +∞ ) 单调增加 (II) f '( x ) = e x ? 1 ? 2ax 由(I)知 e ≥ 1 + x ,当且仅当 x = 0 时等号成立.故
x

f '( x) ≥ x ? 2ax = (1 ? 2a ) x ,
从而当 1 ? 2a ≥ 0 ,即 a ≤

1 时, f '( x ) ≥ 0 ( x ≥ 0) ,而 f (0) = 0 , 2

于是当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ 0 . 由 e x > 1 + x ( x ≠ 0) 可得 e ? x > 1 ? x ( x ≠ 0) .从而当 a >

1 时, 2

f '( x) < e x ? 1 + 2a (e ? x ? 1) = e? x (e x ? 1)(e x ? 2a ) ,
故当 x ∈ (0, ln 2a ) 时, f '( x ) < 0 ,而 f (0) = 0 ,于是当 x ∈ (0, ln 2a ) 时, f ( x ) < 0 . 综合得 a 的取值范围为 ( ?∞, ] .

1 2

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(22)解: ) (I)因为 AC = BC , 所以 ∠BCD = ∠ABC . 又因为 EC 与圆相切于点 C ,故 ∠ACE = ∠ABC , 所以 ∠ACE = ∠BCD . (II)因为 ∠ECB = ∠CDB, ∠EBC = ∠BCD , 所以 ?BDC ∽ ?ECB ,故 即 BC = BE × CD .
2

BC CD = , BE BC

(23)解:

(Ⅰ)当

α=

π
3 时, C1 的普通方程为 y = 3( x ? 1) , C2 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1 。联立
,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ? , ?

方程组 ?

? ? y = 3( x ? 1)
2 2 ?x + y = 1 ?

?1 ?2 ?

3? ?。 ? 2 ?

(Ⅱ) C1 的普通方程为 x sin α ? y cos α ? sin α = 0 。 A 点坐标为 sin 2 α ? cos α sin α , 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为:

(

)

1 2 ? ? x = 2 sin α ? (α为参数 ) ? 1 ? y = ? sin α cos α ? ? 2

1? 1 ? 2 ?x? ? + y = 4? 16 。 P 点轨迹的普通方程为 ?
故 P 点轨迹是圆心为 ? ,? ,半径为 0 (24) 解:

2

?1 ?4

? ?

1 的圆。 4

??2 x + 5,x < 2 f ( x) = ? ?2 x ? 3,x ≥ 2 则函数 y = f ( x) 的图像如图所示。 (Ⅰ)由于

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(Ⅱ)由函数 y = f ( x) 与函数 y = ax 的图像可知,当且仅当

a≥

1 2 或 a < ?2 时,函数

y = f ( x) 与函数 y = ax 的图像有交点。故不等式 f ( x) ≤ ax 的解集非空时, a 的取值范围


? ( ?∞, 2 ) U ? ?

1 ? , ∞? + ?2 ?。

高考试题来源:http://www.gaokao.com/zyk/gkst/


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