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2013-2014学年第二学期第一学段考试高二级理科数学试题卷及答案 (1)


2013~2014 学年度第 2 学期第一学段考试 高二级理科数学试题及答案
命题人: 审题人:

6.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于 四个侧面( C ) B.各正三角形的某高线上的点 D.各正三角形外的某点

A.各正三角形内任一点 C.各正三角形的中心

注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息; 2.请将答案填写在答题卷指定位置上。
.

7. 曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( B )
A.30° B.45° C.60° D.120°

第 I 卷(选择题每题 5 分共 50 分) 1. 3 等于( A ) ?1-i?2
3 A. i 2 3 B.- i 2 C.i D.-i

8. 函数 f(x)=x2-2lnx 的单调递减区间是( A A.(0,1]

)

B.[1,+∞) )

C.(-∞,-1],(0,1) D.[-1,0),(0,1] 3 2 9.函数 f(x)=x -3x +2 在区间[-1,1]上的最大值是( C A.-2 B.0 C.2 D.4

2.由①y=2x+5 是一次函数;②y=2x+5 的图像是一条直线;③一次函数的图像是一条直 线.写一个“三段论”形式的正确推理,则作为大前提、小前提和结论的分别是( B ) A.②①③ C.①②③ B.③①② D.②③① ?n+3??n+4? (n∈N*)时,第一步验证 2

10.已知函数 f(x)=-x3+ax2-x-1 在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 ( B ) A.(-∞,- 3]∪[ 3,+∞) C.(-∞,- 3)∪( 3,+∞) B.[- 3, 3] D.(-2,2)

3.用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= n=1 时,左边应取的项是( D ) A.1
C.1+2+3
2

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)
11.若复数 z 满足方程 z i=i-1,则 z =________.

B.1+2
D.1+2+3+4

4.如图,抛物线 y=-x +2x+1 与直线 y=1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分), 则该闭合图形的面积是( B )

答案:1-i
12.已知 p: ? ? ?0?, q :

?? 1 ?? 1,2? . 由他们构成的新命题“ p ? q ” , “ p ? q ”,
个.(答真命题的个数)

“ ? p ”中,

真命题有 答案:1 A.1 4 B.3

13. 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示,则此汽车在这 1 min 行驶的路程为________. C. 3 D.2

5.用反证法证明命题“ 2+ 3是无理数”时,假设正确的是( D ) A.假设 2是有理数 C.假设 2或 3是有理数 B.假设 3是有理数 D.假设 2+ 3是有理数
1

答案:1 350 m

14.设函数 f(θ)=

sin θ 3cos θ + 3 2 +tan θ,则 f′(0)=________.

18. (本小题满分 14 分) 求证:

4 答案:3 三、解答题(共 6 小题,80 分) 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax3+bx+1 的图像经过点(1,-1),且在 x=1 处,f(x)取得极值. 求:(1)函数 f(x)的解析式; (2)f(x)的单调递增区间.

6 + 7 >2 2 + 5 (必须用分析法,否则记零分)

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax
2

+1(a>0),g(x)=x +bx.

3

(1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; 16. (本小题满分 12 分) 已知复数 z1=2-3i,z2=1-3i. 求:(1) z1z2; z1 (2) z . 2 (2)当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值 范围.

17.(本小题满分 14 分) 计算由曲线 y=x2+1,直线 x+y=3 以及两坐标轴正半轴所围成的图形的面积 S.

20. (本小题满分 14 分) 1 1 在各项为正的数列{an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2(an+a ).
n

(1)求 a1,a2,a3; (2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

2

2013~2014 学年第 2 学期第一学段考试 高二级理科数学答题及答案


座位号

16.(12 分) 解: (1)z1z2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i. ????6 分 z1 2-3i ?2-3i??1+3i? 11+3i 11 3 (2)z = = = 10 =10+10i. ????12 分 ?1-3i??1+3i? 2 1-3i 17. ( 14 分)

命题人: 题号 选择题 填空题 15 16 17

审题人: 18 19 20 总分






解:如图,由 y=x2+1 与直线 x+y=3 在点(1,2)相交,????4 分

得分

一、选择题答案填写处: 题号
线

1 A

2

3 D

4 B

5 D

6 C

7 B

8 A

9 C

10 B

答案

B
1-i

二、填空题答案填写处:


所以 S=? ?0f(x)dx,

3

11 13

12 14

1 4 3






1 350 m

2 ?x +1?0≤x≤1? 其中被积函数 f(x)=? ????8 分 ?3-x?1<x≤3?

三、解答题(共 6 小题,80 分) 15.(12 分) 解:(1)由 f(x)=ax3+bx+1 的图像过点(1,-1)得

? 2 ∴S=? ?0(x +1)dx+?1(3-x)dx????12 分 x3 x2 10 ?1 = ? 3 +x??0 +(3x- 2 ) |3 1= .????14 分 3 ?
18. (14 分)

1

3

班 级



a+b=-2. ????1 分 ∵f′(x)=3ax2+b,????2 分 又 f′(1)=3a+b=0,????3 分









?a+b=-2, ?a=1, ∴由? 得? ????5 分 ?3a+b=0, ?b=-3.


∴f(x)=x3-3x+1. ????6 分 (2)∵f′(x)=3x2-3,????7 分 ∴由 f′(x)>0 得 x>1 或 x<-1. ????10 分 ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞).????12 分

3

19.(14 分) 解:(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b. ????2 分 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线, 所以 f(1)=g(1), 且 f′(1)=g′(1), 即 a+1=1+b,且 2a=3+b,????4 分 解得 a=3,b=3. ????6 分 (2)记 h(x)=f(x)+g(x),当 a=3,b=-9 时,

20. ( 14 分) 1 1 解:(1)S1=a1=2(a1+a ),得 a2 1=1,????2 分
1



∵an>0,∴a1=1. 1 1 2 S2=a1+a2=2(a2+a ),得 a2 +2a2-1=0,
2

1 1 ∴a2= 2-1,S3=a1+a2+a3=2(a3+a ).
3



h(x)=x3+3x2-9x+1,????7 分 h′(x)=3x2+6x-9. ????8 分
令 h′(x)=0,得 x1=-3,x2=1. ????9 分

得 a2 3+2 2a3-1=0,∴a3= 3- 2.????6 分 (2)猜想 an= n- n-1(n∈N*).????7 分 证明如下:①n=1 时,a1= 1- 0命题成立;????8 分 ②假设 n=k 时,ak= k- k-1成立,????9 分 则 n=k+1 时, (1,2 ) + 3
内 线

h(x)与 h′(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:

x h′(x) h(x)
????11 分

(-∞, -3) +

-3 0 28

(- 3,1) -

1 0 -4

2

ak+1=Sk+1-Sk 1 ? 1? 1? 1? =2?ak+1+a ?-2?ak+a ?, ? k? ? k+1? 1 ? 1? 即 ak+1=2?ak+1+a ? ? k+1? 1 ? 1? ? -2? k- k-1+ k - k - 1 ? ? 1 ? 1? =2?ak+1+a ?- k. ? k+1? ∴a2 k+1+2 kak+1-1=0.∴ak+1= k+1- k. 即 n=k+1 时,命题成立.????13 分
由①②知,n∈N ,an= n- n-1.????14 分
*



由此可知: 当 k≤-3 时,函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值为 h(-3)=28; 当-3<k<2 时,函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值小于 28. 因此,k 的取值范围是(-∞,-3].????14 分







4



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