9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高三数学 >>

2.4


正态分布

知识网络

主页

要点梳理
1.正态曲线及性质 .

忆一忆知识要点

(1)正态曲线的定义 正态曲线的定义
函数 ? ? ,σ ( x ) =
1 2π ? σ e
? ( x ? ? )2 2σ 2

, x ∈ ( ?∞ , +∞ ) ,其中实数

? 和 σ(σ>0)

为参数, 的图象(如图 为正态分布密度曲线, 如图)为正态分布密度曲线 为参数,我们称 ? ? ,σ ( x ) 的图象 如图 为正态分布密度曲线,简 称正态曲线. 称正态曲线.

主页

要点梳理

忆一忆知识要点

(2)正态曲线的性质: 正态曲线的性质: 正态曲线的性质 与 轴不相交; ①曲线位于 x 轴 上方 ,与 x 轴不相交;
1 _______ ③曲线在 x = ? 处达到峰值 ; σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为 1 ; 一定时,曲线随着 ⑤当 σ 一定时 曲线随着 ②曲线是单峰的,它关于直线 曲线是单峰的 它关于直线

x=?

对称; 对称;

?

的变

轴平移,如图甲所示 如图甲所示; 化而沿 x 轴平移 如图甲所示;
一定时,曲线的形状由 确定,σ ⑥当 ? 一定时 曲线的形状由 σ 确定 瘦高” 表示总体的分布越集中 表示总体的分布越集中;σ “瘦高”,表示总体的分布越集中
主页

越小 ,曲线越 曲线越 越大 ,曲线越 曲线越

表示总体的分布越分散,如图乙所示 “矮胖”,表示总体的分布越分散 如图乙所示. 矮胖” 表示总体的分布越分散 如图乙所示.

要点梳理
2. 正态分布

忆一忆知识要点

(1)正态分布的定义及表示 正态分布的定义及表示 如 果 对 于 任 何 实 数 a , b (a<b) , 随 机 变 量 X 满 足
P (a < X < b) = ∫ ? ? ,σ ( x )dx , 则称 X 的分布为正态分布 , 记作 的分布为正态分布, a
2
b

N(?,σ ________ ). 如 果 随 机 变 量
2

标准差 总体的期望 X ? N(?,σ ) ______________. ______________.μ,σ分别表示____________与_________. 分别表示____________与_________.

X 服从正态分布,记作

主页

要点梳理
2. 正态分布

忆一忆知识要点

(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

0.6826 ; ②P(?-2σ<X≤?+2σ)= 0.9544 ; - ≤ + = ③P(?-3σ<X≤?+3σ)= 0.9974 . - ≤ + =
①P(?-σ<X≤?+σ)= - ≤ + =

主页

要点梳理

忆一忆知识要点

3. 3σ原则 原则 σ σ 正态总体几乎总取值于区间 (? ?3 , ? + 3 ) 之内.而在此区间以外取值的概率只有0.26%,通 之内.而在此区间以外取值的概率只有 %通 常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 在实际应用中, 在实际应用中 , 通常认为服从于正态分布 N(?,σ2)的随机变量只取 ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) 之间的 的随机变量只取 并称为3σ原则 原则. 值,并称为 原则.

主页

题 型一

正态分布的性质

【例 1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数, 】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数, 1 . 且该函数的最大值为 4 2π (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式; 求该正态分布的概率密度函数的解析式; 求该正态分布的概率密度函数的解析式 (2)求正态总体在 -4,4]的概率. 求正态总体在(- 的概率. 求正态总体在 的概率

要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式, 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式 关键是求解析式中的两个参数?,σ的值 其中?决定曲 关键是求解析式中的两个参数 的值,其中 决定曲 的值 其中 线的对称轴的位置,σ则与曲线的形状和最大值有 线的对称轴的位置 则与曲线的形状和最大值有 关.
主页

题 型一 正态分布的性质 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数, 解: (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数, 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数
轴对称, 所以其图象关于 y 轴对称, 1 1 = 1 ,得 σ=4, 1 即 ?=0.由 = 由 = , 2πσ 2π·4 故该正态分布的概率密度函数的解析式是 x 1 ? 32 φ?,σ(x)= e ,x∈(-∞,+∞). = ∈ - ,+∞ . 4 2π (2)P(-4<X≤4)=P(0-4<X≤0+4) - ≤ = - ≤ +
2

探究提高

=P(?-σ<X≤?+σ)=0.682 6. - ≤ + =

解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态 曲线的关系, 曲线的关系 , 掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线 的影响. 的影响.
主页

变式训练 1 服从正态分布, 某地区数学考试的成绩 X 服从正态分布,其密度曲线如图 所示. 所示. (1)求总体随机变量的期望和方差; 求总体随机变量的期望和方差; 求总体随机变量的期望和方差 (2)求成绩 位于区间 求成绩X位于区间 的概率. 求成绩 位于区间(52,68]的概率. 的概率

从给出的密度曲线图可知, 解:(1)从给出的密度曲线图可知, 从给出的密度曲线图可知

1 x= 对称, 该正态曲线关于 x=60 对称,最大值为 , 4 2π 1 1 1 1 ∴?=60, = , = ,解得 σ=4. = 4 2π σ 2π (x-60)2 - ) 1 e- ∴φ?,σ= - ,x∈[0,100], ∈ , 32 4 2π ∴总体随机变量的期望是 ?=60,方差是 σ2=16. = , (2)成绩 位于区间 成绩X位于区间 成绩 位于区间(52,68]的概率为 的概率为 P(?-2σ<X≤?+2σ)=0.954 4. - + =
主页

题 型 二 服从正态分布的概率计算 【例 2】设 X~N(1,22),试求 】 ~ ,
(1)P(-1<X≤3); (2)P(3<X≤5); (3)P(X≥5). - ≤ ; ≤ ; ≥ .

解: ∵X~N(1,22),∴?=1,σ=2. ~ , = , =

(1) P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) - ≤ = - ≤ +

=P(?-σ<X≤?+σ) - ≤ + =0.682 6.

主页

题 型 二 服从正态分布的概率计算 【例 2】设 X~N(1,22),试求 】 ~ ,
(1)P(-1<X≤3); (2)P(3<X≤5); (3)P(X≥5). - ≤ ; ≤ ; ≥ .

(2)∵P(3<X≤5)=P(-3<X≤-1) ∵ ≤ = - ≤ 1 1 ∴P(3<X≤5)=2[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] ≤ = - ≤ - - ≤ 1 =2[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] - ≤ + - - ≤ +

1 =2[P(?-2σ<X≤?+2σ)-P(?-σ<X≤?+σ)] - ≤ + - - ≤ + 2 1 1 =2×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9. - =
主页

题 型 二 服从正态分布的概率计算 【例 2】设 X~N(1,22),试求 】 ~ ,
(1)P(-1<X≤3); (2)P(3<X≤5); (3)P(X≥5). - ≤ ; ≤ ; ≥ . (3)∵P(X≥5)=P(X≤-3), ∵ ≥ = ≤ , 1 ∴P(X≥5)=1[1-P(-3<X≤5)] ≥ = - - ≤ 2 1 =2[1-P(1-4<X≤1+4)] - - ≤ + 1 =1[1-P(?-2σ<X≤?+2σ)] - ≤ + 2 - 1 =1(1-0.954 4)=0.022 8. = 2 - 探究提高 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概 只需借助于正态曲线的性质, 率 ,只需借助于正态曲线的性质 , 把所求问题转化为 只需借助于正态曲线的性质 已知概率的三个区间上. 已知概率的三个区间上.
主页

变式训练 2

(1)(2012·天津模拟 在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态 天津模拟)在某项测量中 天津模拟 在某项测量中, . 内取值的概率为 , 分布 N(1,σ2) (σ>0).若 ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ξ , ,+∞ 上取值的概率为________. 在(2,+∞)上取值的概率为 0.1 . ,+ 上取值的概率为

由正态分布的特征易得
1 P(ξ>2)= ×[1-2P(0<ξ<1)] =2 - 1 1 =2×(1-0.8)=0.1. - =

主页

变式训练 2

(2) ( 2012·杭州模拟 )若 X~ N (0, 1 ) , X 落在 - 落在(- 杭州模拟 若 ~ 则

9

,+∞ 内的概率为________. ∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为 0.0026 . ,- ∪ ,+ 内的概率为

1 ∵?=0,σ= , = , = 3 P(X<- ∴P(X<-1 或 x>1)

=1-P(-1≤X≤1) - - ≤ ≤ =1-P(?-3σ≤X≤?+3σ) - - ≤ ≤ + =1-0.997 4=0.002 6. - =
主页

题 型三

正态分布的应用

服从正态分布, 【例 3】在某次数学考试中,考生的成绩 ξ 服从正态分布,即 】在某次数学考试中, ξ~N(100,100),已知满分为 150 分. ~ , 内的概率; (1)试求考试成绩 ξ 位于区间 试求考试成绩 位于区间(80,120]内的概率; 内的概率 (2)若这次考试共有 2 000 名考生参加,试估计这次考试及格 若这次考试共有 名考生参加, (不小于 90 分)的人数. 不小于 的人数. 的人数

解: (1)由 ξ~N(100,100)知 ?=100,σ=10. 由 ~ 知 = , =
∴P(80<ξ≤120)=P(100-20<ξ≤100+20)=0.954 4, ≤ = - ≤ + = , 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为 0.954 4. 内的概率为 即考试成绩位于区间
主页

题 型三

正态分布的应用

服从正态分布, 【例 3】在某次数学考试中,考生的成绩 ξ 服从正态分布,即 】在某次数学考试中, ξ~N(100,100),已知满分为 150 分. ~ , (2)若这次考试共有 2 000 名考生参加,试估计这次考试及格 名考生参加, 若这次考试共有 (不小于 90 分)的人数. 的人数. 不小于 的人数

(2)P(90<ξ≤110)=P(100-10<ξ≤100+10)=0.682 6, ≤ = - ≤ + = , 1 1(1-0.682 6)=0.158 7, ∴P(ξ>110)=2 - = = , ∴P(ξ≥90)=0.682 6+0.158 7=0.841 3. ≥ = + =

∴及格人数为 2 000×0.841 3≈1 683(人). × ≈ 人.

探究提高
解决此类问题, 首先要确定?与 的值 的值, 解决此类问题 , 首先要确定 与 σ的值 , 然后把所求 问题转化到已知概率的区间上来,在求概率时, 问题转化到已知概率的区间上来,在求概率时,要注意关 于直线x= 对称的区间上概率相等这一性质的应用 对称的区间上概率相等这一性质的应用. 于直线 =?对称的区间上概率相等这一性质的应用.
主页

变式训练 3
服从正态分布, 若一批白炽灯共有 10 000 只,其光通量 X 服从正态分布,其概 率密度函数是 ? ? ,σ ( x ) =

1 6 2π

e

( x ? 209)2 ? 72

, x ∈ ( ?∞ , +∞ ) ,试求光通量 试求光通量

在下列范围内的灯泡的个数. 在下列范围内的灯泡的个数. (1)209-6~209+6; (2)209-18~209+18. - ~ + ; - ~ +

解:由于 X 的概率密度函数为 由于

6 2π ∴?=209,σ=6. = , =

? ? ,σ ( x ) =

1

e

( x ? 209)2 ? 72

2

, x ∈ ( ?∞ , +∞ )

∴?-σ=209-6,?+σ=209+6. - = - , + = + ?-3σ=209-6×3=209-18, - = - × = - , ,?+3σ=209+6×3=209+18. + = + × = +
主页

变式训练 3
服从正态分布, 若一批白炽灯共有 10 000 只,其光通量 X 服从正态分布,其概 率密度函数是 ? ? ,σ ( x ) =

1 6 2π

e

( x ? 209)2 ? 72

, x ∈ ( ?∞ , +∞ ) ,试求光通量 试求光通量

在下列范围内的灯泡的个数. 在下列范围内的灯泡的个数. (1)209-6~209+6; (2)209-18~209+18. - ~ + ; - ~ +

因此光通量 X 的取值在区间 的取值在区间(209-6,209+6), -18,209+18) (209- - + , + 内的概率应分别是 0.682 6 和 0.997 4.
(1)光通量 X 在 209-6~209+6 范围内的灯泡个数大约是 光通量 - ~ + 10 000×0.682 6=6 826. × = (2)光通量在 209-18~209+18 范围内的灯泡个数大约是 光通量在 - ~ + 10 000×0.997 4=9 974. × =

主页

利用正态曲线的对称性求概率

(10分)若X~N(5, 1), 求P(6<X<7). 分若 ~
解:由已知 ?=5,σ=1. 由已知 = , =
∵P(4<X<6)=0.6826, P(3<X<7)=0.9544. =
∴P(3<X<4)+P(6<X<7) +

[2 分]
[4 分]
[6 分]

=0.954 4-0.682 6=0.271 8. - = 如图, 如图,由正态曲线的对称性可得

P(3<X<4)=P(6<X<7), = [8 分] , 0.271 8 0.271 8 ∴P(6<X<7)= 2 =0.135 9. =
主页

利用正态曲线的对称性求概率

(10分)若X~N(5, 1), 求P(6<X<7). 分若 ~ 因为X~ 解:因为 ~N(5,1), ∴ ? = 5, σ = 1. 因为 对称, 又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称, ∴P(5 < x < 7) = 1 × P(3 < x < 7) = 1×P(5?2×1< x < 5+2×1) 2 2 = 1 × 0.9544 = 0.4772, 2 P(5 < x < 6) = 1 × P(4 < x < 6) 2 = 1 × 0.6826 = 0.3413, 2

∴ P(6 < x < 7) = P(5 < x < 7) ? P(5 < x < 6) = 0.4772 ? 0.3413 = 0.1359.
主页

思想与方法

(10分)若X~N(5, 1), 求P(6<X<7). 分若 ~

批阅笔记

(1)本题考查正态分布问题,重点考查根据正 本题考查正态分布问题, 本题考查正态分布问题 态曲线的对称性求概率. 态曲线的对称性求概率. (2)本题易错原因是,找不到(3, 4)与(6, 7)的对 本题易错原因是,找不到 本题易错原因是 与 的对 称关系,无法求解.有些考生计算错误. 称关系,无法求解.有些考生计算错误.

主页

方法与技巧
? ? ,σ ( x ) =
1 2π ? σ e
? ( x ? ? )2 2σ 2

感悟提高
注意结构特点, , x∈R.注意结构特点,特别是参数 σ ∈ 注意结构特点

1 . 熟 练 地 掌 握 正 态 密 度 曲 线 的 解 析 式

的一致性. 的一致性. 2.理解正态曲线的形状特征,如对称轴、顶点变化 .理解正态曲线的形状特征,如对称轴、

趋势等. 趋势等. 3.若 X~N(?,σ2), . ~ , , 则 P(?-σ<X≤?+σ)=0.682 6, - ≤ + = , P(?-2σ<X≤?+2σ)=0.954 4, - ≤ + = , P(?-3σ<X≤?+3σ)=0.997 4. - ≤ + =
主页

感悟提高
失误与防范
在实际问题中进行概率、百分比计算时, 在实际问题中进行概率、百分比计算时,关键是把 σ 正态分布的两个重要参数 ?, 求出, , 求出, 然后确定三个区间 (范围 : 范围): 范围 (?-σ,?+σ],(?-2σ,?+2σ],(?-3σ,?+3σ) - , + , - , + , - , + 与已知概率值进行联系求解. 与已知概率值进行联系求解.

? ?3σ ? ?2σ

??σ

?

?+σ ? + 2σ

? + 3σ

可 C2 共 求 9 = 36种 况 概 . 情 的 率
主页

聪 明 在 于 勤 奋

天 才 在 于 积 累
—— ——

华 罗

, 。 庚
主页

预祝各位同学, 预祝各位同学, 期中考试取得好成绩 好成绩! 期中考试取得好成绩!

三、解答题
7. . (2011·揭阳模拟 工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分 揭阳模拟)工厂制造的某机械零件尺寸 揭阳模拟 N (4, 1 ) ,问在一次正常的试验中,取 1 000 个零件时,不属于 问在一次正常的试验中, 个零件时, 布 9 区间(3 这个尺寸范围的零件大约有多少个? 区间 , 5]这个尺寸范围的零件大约有多少个? 这个尺寸范围的零件大约有多少个

: 解 ∵X ?(4, 1),∴? = 4,σ = 1 . 9 3
∴不属于区间(3, 5 ]的概率为 不属于区间 的概率为

P(X≤3)+P(X>5)=1-P(3<X≤5) ≤ + = - ≤ =1-P(4-1<X≤4+1) - - ≤ +

=1-P(?-3σ<X≤?+3σ) - - ≤ + =1-0.997 4=0.002 6≈0.003, - = ≈ ,

∴1 000×0.003=3(个), × = 个, 即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有 3 个. 即不属于区间 这个尺寸范围的零件大约有
主页

三、解答题
8.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似 . 服从正态分布 N(60,100), , 已知成绩在 90 分以上的学生有 13 人. (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人? 求此次参加竞赛的学生总数共有多少人? 求此次参加竞赛的学生总数共有多少人 (2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生,问受奖学生 若计划奖励竞赛成绩排在前 名的学生, 的分数线是多少? 的分数线是多少? 解 : 设学生的得分情况为随机变量 X,X~N(60,100). , ~ .

则 ?=60,σ=10. = , =
(1)P(30<X≤90)=P(60-3×10<X≤60+3×10)=0.997 4. ≤ = - × ≤ + × = 1 1 ∴P(X>90)=2[1-P(30<X≤90)]=0.001 3, = - ≤ = , 13 学生总数为: ∴学生总数为:0.001 3=10 000(人). 人.
主页

三、解答题
8.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似 . 服从正态分布 N(60,100), , 已知成绩在 90 分以上的学生有 13 人. (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人? 求此次参加竞赛的学生总数共有多少人? 求此次参加竞赛的学生总数共有多少人 (2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生,问受奖学生 名的学生, 若计划奖励竞赛成绩排在前 的分数线是多少? 的分数线是多少?

(2)成绩排在前 228 名的学生数占总数的 0.022 8. 成绩排在前 x, 则 P(X≥x )=0.022 8. P(X≥x )=0.022 8. 设分数线为 x,
0

∴P(120-x0<x<x0)=1-2×0.022 8=0.954 4. - = - × = 又知 P(60-2×10<x<60+2×10)=0.954 4. - × + × = ∴x0=60+2×10=80(分). + × = 分.
主页

三、解答题 9.(2011·马鞍山调研 某人乘车从 A 地到 B 地,所需时 马鞍山调研)某人乘车从 . 马鞍山调研 分钟)服从正态分布 间(分钟 服从正态分布 N(30,100),求此人在 40 分钟至 50 分钟 , 分钟到达目的地的概率. 分钟到达目的地的概率. 解:由 ?=30,σ=10,P(?-σ<X≤?+σ)=0.682 6 知 由 = , = , - ≤ + =
此人在 20 分钟至 40 分钟到达目的地的概率为 0.682 6, , P(?-2σ<X≤?+2σ)= 4, 又由于 P(?-2σ<X≤?+2σ)=0.954 4, 所以此人在 10 分钟至 20 分钟和 40 分钟至 50 分钟到 达目的地的概率为 0.954 4-0.682 6=0.271 8, - = , 由正态曲线关于直线 x=30 对称得 = 此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率为 0.135 9.
主页

教师备课题库

要点梳理
1.正态曲线的性质 1.正态曲线的性质 (1)非负性 曲线 ? ? ,σ ( x ) 在轴的上方 与x轴不相交. 非负性:曲线 在轴的上方,与 轴不相交 轴不相交. 非负性 (2)定值性 曲线 ??,σ (x) 与x轴围成的面积为 . 定值性:曲线 轴围成的面积为1. 定值性 轴围成的面积为 (3)对称性 正态曲线关于直线 x=?对称,曲线成“钟形”. 对称性:正态曲线 对称, 对称性 正态曲线关于直线 对称 曲线成“钟形” (4)单调性 在直线 x=?的左边 曲线是上升的;在直线 单调性:在 的左边, 的左边 曲线是上升的; x=?的右边 曲线是下降的. 的右边, 曲线是下降的. 的右边 ?? ,σ ( x ) 取得最大值 1 . (5)最值性 当 x=时, 最值性:当 时 最值性 (6)几何性 参数 和σ的统计意义 几何性:参数 的统计意义: 几何性 参数?和 的统计意义 E(x)=?,曲线的位置由 决定 曲线的位置由?决定 曲线的位置由 决定; D(x)=σ2,曲线的形状由 决定. 曲线的形状由σ决定 曲线的形状由 决定.
σ 2π y

o

x

主页

要点梳理

忆一忆知识要点

2.正态分布中的概率计算的常用方法 . (1) 利用 原则 将随机变量的取值转化到三个特殊区间中 利用3σ原则 将随机变量的取值转化到三个特殊区间中. 原则,将随机变量的取值转化到三个特殊区间中 熟记① 熟记① P(?-σ<X≤?+σ) ② P(?-2σ<X≤?+2σ), - + - + ③ P (?-3σ<X≤?+3σ)的值; - + 的值; 的值 (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 轴之间面积为 充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为 充分利用正态曲线的对称性和曲线与 轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x= 对称 从而在关于x= 对 对称, ①正态曲线关于直线 =?对称,从而在关于 =?对 称的区间上概率相等. 称的区间上概率相等. ②P(X<a)=1-P(x≥a),P(X<? -a)=P(X≥?+a). = - , = + . 3.服从正态分布的随机变量X的概率特点 . 若随机变量X服从正态分布, 若随机变量 服从正态分布,则X在一点上的取值概率为 服从正态分布 在一点上的取值概率为 0,即P(X=a)=0,而{X=a}并不是不可能事件,所以概率为 并不是不可能事件, 即 = = , = 并不是不可能事件 所以概率为0 的事件不一定是不可能事件, 从而P(X<a)=(X≤a)是成立的 , 是成立的, 的事件不一定是不可能事件 , 从而 = 是成立的 这与离散型随机变量不同. 这与离散型随机变量不同. 主页

【例 1】(二轮资料 秦庆尧)已知电灯泡的使用寿命

X ~ (1500,1002)单位:小时 (单位 小时) 单位 小时
(1)购买一个这种灯炮,求它的使用寿命不小于 1400 小 购买一个这种灯炮, 购买一个这种灯炮 时的概率; 时的概率; (2)这种灯泡中,使用寿命最长的占 2.28%,这部分灯 这种灯泡中, 这种灯泡中 % 炮的寿命至少为多少小时? 炮的寿命至少为多少小时

主页

解:(1) ∴ P ( X ≥ 1400) = 1 ? P ( X < 1400)

1 ? P(1400 < X < 1600) = 1? 2 1 ? P(1400 < X < 1600) = 1? 2 1 + P(| X ? 1400 |< 100) = 2 = 1 + 0.6826 = 0.8413. 2
主页

(2)设这部分“长寿”灯泡的寿命为 a 小时, 设这部分“长寿” 小时, 设这部分 已知 P ( X ≥ a ) = 0.0228 < 0.5 ,所以 a > 1500. 所以

∴ P ( X ≥ a ) = P ( X ? 1500 ≥ a ? 1500)

1 ? P(| X ? 1500 |< a ? 1500) = = 0.0228, 2

∴ P(| X ?1500 |< a ?1500) = 1 ? 2 × 0.0228 = 0.9544,
∴ a ? 1500 = 0.9544, 所以 a = 1700.
主页

例 2.关于正态曲线性质的叙述: .关于正态曲线性质的叙述: 轴上方; ①曲线关于直线 x=? 对称,这个曲线在 x 轴上方; = 对称, ②曲线关于直线 x=σ 对称,这个曲线只有当 x∈(-3σ,3σ)时 = 对称, ∈- , 时 轴上方; 才在 x 轴上方; 轴对称, ③曲线关于 y 轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一个偶 函数; 函数; ④曲线在 x=? 时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时, = 时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降低; 曲线逐渐降低; 确定, 确定; ⑤曲线的对称轴由 ? 确定,曲线的形状由 σ 确定; 越大,曲线越“矮胖” 越小,曲线越“高瘦” ⑥σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“高瘦”. 上述说法正确的是( 上述说法正确的是 A ) A.①④⑤⑥ B.②④⑤ . . C.③④⑤⑥ D.①⑤⑥ . .

主页

2 2 【1】设两个正态分布 N(?1,σ1)(σ1>0)和 M(?2,σ2)(σ2>0) 】 和 的密度函数图象如图所示,则有( 的密度函数图象如图所示,则有 A ) A.?1<?2,σ1<σ2 . B.?1<?2,σ1>σ2 . C.?1>?2,σ1<σ2 . D.?1>?2,σ1>σ2 .

函数图象关于直线 x=? 对称,则 ?1<?2; = 对称,

σ 的大小决定函数图象的“胖”“瘦”, 的大小决定函数图象的“ ”“瘦 σ 越小,函数图象越“瘦”; 越小,函数图象越“ σ 越大,函数图象越“胖”,则 σ1<σ2. 越大,函数图象越“ 则
主页

【2】某校高三男生共 】某校高三男生共1000人, 他们的身高 人 X(cm)近似服从正态分布Χ ? N (176,16) ,则身高 近似服从正态分布 则身高 以上的男生人数大约是( 在180cm以上的男生人数大约是 B ) 以上的男生人数大约是 A.683 B.159 C.46 D.317 y

o
主页

x

【3】假设总 体服从正态分布 N (3, 1 ) ,如 果要拒绝 这 如

16

个统 计假设 ,则在 一次实验中 取值 α 应落在区 间 ( 则在 A. ( ?∞, 9 ) .

C)

4 C. ( ?∞, 9 ) ∪ (15 , +∞) . 4 4

B. (15 , +∞) .

4 D. ( 9 , +∞) . 4

主页

【4】某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从 某市组织一次高三调研考试, 正态分布, 正态分布, 其密度函数 f ( x) =

1 2π ?10

e

( x ?80) 2 ? 200

, x ∈ (?∞, +∞) ,则下

列命题不正确的是( 列命题不正确的是 B ) A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 . B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 . C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 . D.该市这次考试的数学成绩标准差为 10 .

主页

走进高考
【1 】 07 湖南)设随机变量 ξ 服从标准正态分 ( 湖南) 布 N (0, , 已 知 p ( ξ < - 1.96 ) =0.025 , 则 1) =( P (| ξ |< 1.96) =( C ) A.0.025 . C. 0.950 . B.0.050 . D.0.975 .
o x y

主页

走进高考
【2 】 07 浙江)已知随机变量 ξ 服从正态分布 ( 浙江)

N (2,σ ) , P (ξ ≤ 4) = 0.84 ,则 P (ξ ≤ 0) = ( )
2
A

A. 0.16 . C. 0.68 .

B. 0.32 . D, 0.84 ,

y

o
主页

x

【3】 (07 全国) 在某项测量中, 测量结果 ξ 服 从正态分布 N (1,σ )(σ > 0) .若 ξ 在 (0, 内取 1)
2
0.8 则 值的概率为 0.4, ξ 在 (0, 内取值的概率为___. 2)

y

o
主页

x

走进高考
湖北)在某校举行的数学竞赛中 【4】(2006湖北 在某校举行的数学竞赛中 全体参赛 】 湖北 在某校举行的数学竞赛中,全体参赛 学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩 学生的竞赛成绩近似服从正态分布 已知成绩 分以上(含 分 的学生有 的学生有12名 试问此次参赛的学 在90分以上 含90分)的学生有 名.试问此次参赛的学 分以上 生总数约为多少人? 生总数约为多少人? 设参赛学生的分数为ξ 解:设参赛学生的分数为 , 设参赛学生的分数为

∵ξ

? N (70,100),

∴P(ξ≥90)=1-P(ξ<90) = -

这说明成绩在90分以上 含 分 的学生人数约占 这说明成绩在 分以上(含90分)的学生人数约占 分以上 全体参赛人数的2.28%, 全体参赛人数的 % 12 ≈ 526. 因此, 因此 参赛总人数约为 0.0228
主页

1 ? P(50 < ξ < 90) = 2 1 ? P(| X ? 70 |< 20) 1 ? 0.9544 = = 0.0228. = 2 2

走进高考
(2010·山东 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0, 2), 山东)已知随机变量 σ 【5】 】 山东 , , 等于( 若 P(ξ>2)=0.023,则 P(-2≤ξ≤2)等于 C ) = , - ≤ ≤ 等于 A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 . . . .

由 ξ~N(0,σ ),且 P(ξ>2)=0.023 知, ~ , , =

2

P(-2≤ξ≤2)=1-2P(ξ>2) - ≤ ≤ = - =1-0.046=0.954. - =

主页

走进高考
广东理)已知随机变量 【6】(2010·广东理 已知随机变量 服从正态分布 】 广东理 已知随机变量X服从正态分布 N(3, 1)且P(2≤x≤4)=0.6826,则P(X>4)=( B ) 且 = , = A.0.1588 . B.0.1587 . C.0.1586 D.0.1585 . .
根据正态分布的对称性得

1-P(2≤x≤4) - ( ≤ ≤ ) P(x>4)= = = 2

1-0.6826 - = =0.1587. 2
主页

走进高考
安徽)若随机变量 ~ 【7】 (2009·安徽 若随机变量 X~N(?,σ ),则 】 安徽 , , P(X≤?)=________. ≤ =
由于随机变量 X~N(?,σ2), ~ , , 其概率密度函数关于 x=? 对称, = 对称, 1 1 故 P(X≤?)=2. ≤ =
2

主页

解题是一种实践性技能, 就象游泳、 解题是一种实践性技能 , 就象游泳 、 滑雪、弹钢琴一样, 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! 践来学到它! ——波利亚 波利亚

这个试验是英国科学家 高尔顿设计的,具体如下 具体如下:在一 高尔顿设计的 具体如下 在一 块木板上,订上 订上n+1层钉子 第1 层钉子,第 块木板上 订上 层钉子 层2个钉子 第2层3个钉子 ……, 个钉子,第 层 个钉子, 个钉子 个钉子 个钉子,这些钉子 第 n+1层 n+2个钉子 这些钉子 层 个钉子 所构成的图形跟杨辉三角形 差不多.自上端放入一小球 自上端放入一小球,任 差不多 自上端放入一小球 任 其自由下落,在下落过程中小 其自由下落 在下落过程中小 球碰到钉子时,从左边落下的 球碰到钉子时 从左边落下的 概率是p,从右边落下的概率是 概率是 从右边落下的概率是 1-p,碰到下一排也是如此 最 碰到下一排也是如此.最 - 碰到下一排也是如此 后落入底板中的某个格.下面 后落入底板中的某个格 下面 我们来试验一下: 我们来试验一下
主页

主页

25.39 25.47 25.46 25.38 25.33 25.35 25.45 25.38 25.38 25.38 25.47 25.37 25.42

某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管 为了检验产 的钢管,为了检验产 某钢铁加工厂生产内径为 的钢管 品的质量,从一批产品中任取 从一批产品中任取100件检测 测得它们的实际尺 件检测,测得它们的实际尺 品的质量 从一批产品中任取 件检测 寸如下: 寸如下

25.36 25.35 25.40 25.31 25.46 25.32 25.43 25.24 25.35 25.42 25.34 25.33 25.47

25.34 25.41 25.51 25.56 25.40 25.45 25.40 25.44 25.31 25.40 25.30 25.40 25.38

25.42 25.43 25.45 25.43 25.49 25.40 25.43 25.40 25.34 25.33 25.39 25.35 25.39

25.45 25.44 25.40 25.40 25.34 25.27 25.44 25.36 25.40 25.37 25.36 25.41

25.38 25.48 25.39 25.38 25.42 25.43 25.41 25.42 25.36 25.41 25.46 25.37

25.39 25.45 25.41 25.37 25.50 25.54 25.53 25.39 25.41 25.49 25.29 25.47

25.42 25.43 25.36 25.44 25.37 25.39 25.37 25.46 25.32 25.35 25.40 25.39

主页

列出频率分布表
分组 25.235~25.265 25.265~25.295 25.295~25.325 25. 325~25.355 25.355~25.385 25.385~25.415 25.415~25.445 25.445~25.475 25.475~25.505 25.505~25.535 25.535~25.565 合计 频数 1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 100 频率 0.01 0.02 0.05 0.12 0.18 0.25 0.16 0.13 0.04 0.02 0.02 1.00 累积频率 0.01 0.03 0.08 0.20 0.38 0.63 0.79 0.92 0.96 0.98 1.00 频率/组距 频率 组距 0.0009 0.0018 0.0045 0.0109 0.0164 0.0227 0.0145 0.0118 0.0036 0.0018 0.0018

主页

频率分布直方图
频率 组距

100件产品尺寸的频率分布直方图

8 6 4 2

产品内径尺寸/ 产品内径尺寸/mm

o

主页

200件产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距

8 6 4 2

o

产品内径尺寸/ 产品内径尺寸/mm

主页

样本容量增大时频率分布直方图 样本容量增大时频率分布直方图
频率 组距
8 6 4 2

总体密度 曲线

o

产品内径尺寸/ 产品内径尺寸/mm

可以看出, 当样本容量无限大, 可以看出 , 当样本容量无限大 , 分组的组距 无限缩小时, 无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无 限接近于一条光滑曲线---总体密度曲线. ---总体密度曲线 限接近于一条光滑曲线---总体密度曲线.
主页

正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 正态分布 在十九世纪前 叶由高斯加以 推广, 推广,所以通 常称为高斯分 布. 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公 这一公式被认为是正态分布的首次露面 正态分布的首次露面. 式,这一公式被认为是正态分布的首次露面
主页

卡尔·弗里德里希 高斯 卡尔 弗里德里希·高斯 弗里德里希
高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)(1777年 高斯 年 4月30日—1855年2月23日),生于不伦瑞克,卒 月 日 年 月 日 ,生于不伦瑞克, 于哥廷根,德国著名数学家、物理学家、 于哥廷根,德国著名数学家、物理学家、天文 学家、大地测量学家。 学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的 数学家,并有数学王子的美誉。 数学家,并有数学王子的美誉。 1792年,15岁德高斯进入 岁德高斯进入Braunschweig学院。 学院。 年 岁德高斯进入 学院 在那里,高斯开始对高等数学作研究。 在那里,高斯开始对高等数学作研究。独立发现 了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律” 了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律” (Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理 、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均 、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。 。 1795年高斯进入哥廷根大学。1796年,17岁的高斯得到了一个 年高斯进入哥廷根大学。 年高斯进入哥廷根大学 年 岁的高斯得到了一个 数学史上极重要的结果,就是《 数学史上极重要的结果,就是《正十七边形尺规作图之理论与 方法》 日清晨, 方法》。1855年2月23日清晨,高斯于睡梦中去世。 年 月 日清晨 高斯于睡梦中去世。 主页

卡尔·弗里德里希 高斯 卡尔 弗里德里希·高斯 弗里德里希
18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。 通过对足 岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。 岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法 够多的测量数据的处理后,可以得到一个新的、 够多的测量数据的处理后,可以得到一个新的、 概率性质的测 量结果。在这些基础之上,高斯随后专注于曲面 曲线的计算 曲面与 的计算, 量结果。在这些基础之上,高斯随后专注于曲面与 曲线的计算, 并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线 正态分布曲线)。 并成功得到高斯钟形曲线 正态分布曲线 。 其函数被命名为标 准正态分布(或高斯分布) 并在概率计算中大量使用。 准正态分布(或高斯分布),并在概率计算中大量使用。 岁时, 边形。 在高斯19岁时 仅用尺规便构造出了17边形 在高斯19岁时,仅用尺规便构造出了17边形 。并为流传了 2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。 年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。 年的欧氏几何提供了自 古希腊时代以来的第一次重要补充 谷神星轨迹 复数的应用 高斯计算的谷神星轨迹,高斯总结了复数的应用, 高斯计算的 谷神星 轨迹 , 高斯总结了 复数的应用, 并且严 格证明了每一个n阶的代数方程必有 阶的代数方程必有n个实数或者复数解 或者复数解。 格证明了每一个 阶的代数方程必有 个实数或者复数解。在他 的第一本著名的著作《数论》 作出了二次互反律的证明, 的第一本著名的著作《 数论》 中 , 作出了二次互反律的证明, 成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章, 成为数论继续发展的重要基础。 在这部著作的第一章,导出了 三角形全等定理的概念。 三角形全等定理的概念。 主页

卡尔·弗里德里希 高斯 卡尔 弗里德里希·高斯 弗里德里希
高斯在他的建立在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助 结算出天体的运行轨迹。并用这种方法, 天体的运行轨迹 下,结算出天体的运行轨迹。并用这种方法,发现了谷神星的运 行轨迹。谷神星于1801年由意大利天文学家皮亚齐发现,但他因 年由意大利天文学家皮亚齐发现, 行轨迹。谷神星于 年由意大利天文学家皮亚齐发现 病耽误了观测,失去了这颗小行星的轨迹。皮亚齐以希腊神话 行星的轨迹 希腊神话中 病耽误了观测,失去了这颗小行星的轨迹。皮亚齐以希腊神话中 丰收女神” 来命名它, “丰收女神”(Ceres)来命名它,即谷神星 来命名它 即谷神星(Planetoiden Ceres), , 并将以前观测的位置发表出来,希望全球的天文学家一起寻找。 并将以前观测的位置发表出来,希望全球的天文学家一起寻找。 高斯通过以前的三次观测数据,计算出了谷神星的运行轨迹。 高斯通过以前的三次观测数据,计算出了谷神星的运行轨迹。奥 地利天文学家 地利天文学家 Heinrich Olbers在高斯的计算出的轨道上成功发 在高斯的计算出的轨道上成功发 现了这颗小行星。从此高斯名扬天下。 现了这颗小行星。从此高斯名扬天下。高斯将这种方法著述在著 天体运动论》 作《天体运动论》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。 中 高斯设计的汉诺威大地测量的三角网为了获知任意一年中复 高斯设计的汉诺威大地测量的三角网为了获知任意一年中复 汉诺威大地测量的三角网为了获知任意一年中 活节的日期 高斯推导了复活节日期的计算公式。 的日期, 活节的日期,高斯推导了复活节日期的计算公式。 主页

年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量 在 1818年至 年至 年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量 工作。 工作 。 通过他发明的以最小二乘法为基础的测量平差的方法和 求解线性方程组的方法,显著的提高了测量的精度。 线性方程组的方法 求解 线性方程组 的方法 , 显著的提高了测量的精度 。 出于对实 际应用的兴趣,他发明了日光反射 反射仪 可以将光束 光束反射至大约 际应用的兴趣 , 他发明了日光 反射 仪 , 可以将 光束 反射至大约 450公里外的地方。高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进, 公里外的地方 公里外的地方。高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进, 试制成功被广泛应用于大地测量的镜式六分仪。 高斯亲自参加野外测量工作。他 白天观测 , 夜晚计算。 五 高斯亲自参加野外测量工作 。 白天 观测, 夜晚计算。 观测 计算 六年间,经他亲自计算过的大地测量数据,超过100万次。当高 万次。 六年间,经他亲自计算过的大地测量数据,超过 万次 斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后, 斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后 , 高斯就把主要精力 转移到处理观测成果的计算上来,并写出了近20篇对现代大地 转移到处理观测成果的计算上来 , 并写出了近 篇对现代大地 测量学具有重大意义的论文。在这些论文 论文中 推导了由椭圆 椭圆面 测量学具有重大意义的论文 。 在这些 论文 中 , 推导了由 椭圆 面 向圆球面投影时的公式,并作出了详细证明, 向圆球面投影时的公式 , 并作出了详细证明 , 这套理论在今天 仍有应用价值。汉诺威公国的大地测量工作直到1848年才结束, 年才结束, 仍有应用价值 。 汉诺威公国的大地测量工作直到 年才结束 这项大地测量史上的巨大工程, 这项大地测量史上的巨大工程 , 如果没有高斯在理论上的仔细 推敲,在观测上力图合理精确, 推敲 , 在观测上力图合理精确 , 在数据处理上尽量周密细致的 出色表现,就不能完成。 出色表现 , 就不能完成 。 在当时条件下布设这样大规模的大地 控制网, 精确地确定2578个三角点的大地坐标, 可以说是一项 个三角点的大地坐标, 控制网 , 精确地确定 个三角点的大地坐标 了不起的成就。 了不起的成就。 主页

日光反射仪由于要解决如何用椭圆在球面上的正形投影理论解 决大地测量问题,高斯亦在这段时间从事曲面和投影的理论, 决大地测量问题,高斯亦在这段时间从事曲面和投影的理论,这成 了微分几何的重要基础。他独自提出不能证明欧氏几何的平行公设 了微分几何的重要基础 。他独自提出不能证明欧氏几何的 平行公设 具有“物理的”必然性,至少不能用人类理智,也不能给予人类理 人类理智 具有“物理的”必然性 ,至少不能用人类理智 ,也不能给予人类理 以这种证明。但他的非欧几何的理论并没有发表, 智以这种证明。但他的非欧几何的理论并没有发表,也许是因为对 处于同时代的人不能理解对该理论的担忧。后来相对论证明了宇宙 相对论证明了 处于同时代的人不能理解对该理论的担忧。后来相对论证明了宇宙 空间实际上是非欧几何的空间,高斯的思想被近100年后的物理学接 非欧几何的空间 空间实际上是非欧几何的空间,高斯的思想被近 年后的物理学接 受了。 当时高斯试图在汉诺威公国的大地测量中通过测量Harz的 受了 。 当时高斯试图在汉诺威公国的大地测量中通过测量 的 Brocken - - Thuringer Wald 的 Inselsberg - - 哥 廷 根 的 Hohen Hagen三个 山头 所构成的 三角形 的内角和 , 以验证非欧几何的正确 三个山头所构成的三角形的内角和, 三个 山头所构成的三角形的内角和 但未成功。高斯的朋友鲍耶的儿子雅诺斯在1823年证明了非欧 鲍耶的儿子雅诺斯在 性,但未成功。高斯的朋友鲍耶的儿子雅诺斯在 年证明了非欧 几何的存在,高斯对他勇于探索的精神表示了赞扬。 几何的存在 ,高斯对他勇于探索的精神表示了赞扬。1840年,罗巴 年 切夫斯基又用德文写了 平行线理论的几何研究 一文。 又用德文写了《 理论的几何研究》 切夫斯基又用德文写了 《平行线理论的几何研究》一文。 这篇论文 发表后,引起了高斯的注意,他非常重视这一论证 论证, 发表后,引起了高斯的注意,他非常重视这一 论证,积极建议哥廷 根大学聘请罗巴切夫斯基为通信院士。为了能直接阅读他的著作, 根大学聘请罗巴切夫斯基为通信院士。为了能直接阅读他的著作, 从这一年开始, 岁的高斯开始学习俄语 并最终掌握了这门外语。 岁的高斯开始学习俄语, 从这一年开始,63岁的高斯开始学习俄语,并最终掌握了这门外语。 最终高斯成为和微分几何的始祖(高斯,雅诺斯、罗巴切夫斯基) 微分几何的始祖 最终高斯成为和微分几何的始祖( 高斯,雅诺斯、罗巴切夫斯基) 中最重要的一人。 中最重要的一人。

主页

高斯和韦伯 世纪 年代, 高斯和 韦伯19世纪 的 30年代 , 高斯发明了 磁强 韦伯 世纪的 年代 高斯发明了磁强 辞去了天文台的工作, 而转向物理 研究。 物理研究 计 , 辞去了天文台的工作 , 而转向 物理 研究 。 他与 韦伯(1804-1891)在电磁学的领域共同工作。他比韦 的领域共同工作。 韦伯 - 在电磁学的领域共同工作 伯年长27岁 以亦师亦友的身份 进行合作。 身份进行合作 伯年长 岁 , 以亦师亦友的 身份 进行合作 。 1833年 , 年 通过受电磁影响的罗盘指针,他向韦伯发送了电报 罗盘指针 电报。 通过受电磁影响的 罗盘 指针 , 他向韦伯发送了 电报 。 实验室与天文台之间的第一个 这不仅仅是从韦伯的实验室 这不仅仅是从韦伯的 实验室 与天文台之间的第一个 电话电报系统 也是世界首创。尽管线路 电报系统, 世界首创 线路才 千米长 千米长。 电话电报系统,也是世界首创。尽管线路才8千米长。 1840年他和韦伯画出了世界第一张地球 磁场 图 , 而 年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场 年他和韦伯画出了世界第一张地球 磁场图 地球磁 和磁北极 的位置, 且定出了地球 南极和磁 北极的位置 且定出了 地球 磁 南极 和磁 北极 的位置 , 并于次年得 美国科学家的证实 科学家的证实。 到美国科学家的证实。
主页

高斯和韦伯共同设计的电报高斯研究数个领域, 高斯和韦伯共同设计的电报高斯研究数个领域 , 但只将他思想中成熟的理论发表。 但只将他思想中成熟的理论发表 。 他经常提醒他的 同事, 该同事的结论已经被自己很早的证明, 同事 , 该同事的结论已经被自己很早的证明 , 只是 因为基础理论的不完备性而没有发表。 因为基础理论的不完备性而没有发表 。 批评者说他 这样是因为极爱出风头。 这样是因为极爱出风头 。 实际上高斯只是一部疯狂 打字机, 将他的结果都记录起来。 在他死后, 的 打字机 , 将他的结果都记录起来 。 在他死后 , 有 20部这样的 笔记 被发现 , 才证明高斯的宣称是事实 。 部这样的笔记 被发现, 部这样的 笔记被发现 才证明高斯的宣称是事实。 一般认为, 即使这20部笔记 部笔记, 一般认为 , 即使这 部笔记 , 也不是高斯全部的笔 萨克森州和哥廷根大学 图书馆已经将高斯的 和哥廷根大学图书馆 记 。 下 萨克森州 和哥廷根大学 图书馆 已经将高斯的 数字化并置于互联网上 全部著作数字化并置于互联网 全部著作数字化并置于互联网上。 高斯的肖像 已经被印在从1989年至 肖像已经被印在从 年至2001年发行 高斯的 肖像 已经被印在从 年至 年发行 年的德国货币——马克的纸币上。 马克的纸币上 了10年的德国货币 年的德国货币 马克的纸币上。
主页

基础自测
题号 答案 1 2

1 2 3 4 5
主页

0.4
C C B



更多相关文章:
IQOS2.4中文说明书_图文.doc
IQOS2.4中文说明书_美容化妆_生活休闲 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 IQOS2.4中文说明书_美容化妆_生活休闲。 文档贡献者 ytlaiyf 贡献于2018-07-28 ...
2.4绝对值_图文.ppt
2.4绝对值_初一数学_数学_初中教育_教育专区。 ? 1、 能说出绝对值的概念
2.4常见的动物2_图文.ppt
2.4常见的动物2 - 第2节 常见的动物 无脊椎动物 动物 有无脊椎骨 约12
DBFORBIX 2.4部署.doc
DBFORBIX 2.4部署 - DBFORBIX2.4 部署 日期 2017/
2.4 信息就在你的指尖.doc
2.4 信息就在你的指尖 - 2.4 信息就在你的指尖 信息的高效查找:搜索
2.4两个重要极限_图文.ppt
2.4两个重要极限 - §2.6 两个重要极限 (数列极限夹逼定理) 假设存在正
MEDDEV 2.4-1 Rev.8.pdf
MEDDEV 2.4-1 Rev.8_临床医学_医药卫生_专业资料。EUROPE
EP 2.4.14 SULFATED ASH.pdf
EP 2.4.14 SULFATED ASH_生产/经营管理_经管营销_专业资料。欧洲药典 灰分检测 2.4.13. Sulfates EUROPEAN PHARMACOPOEIA 7.0 01/2008:20413 01/2008:20416 2.4....
2.4物质的分类.doc
2.4物质的分类 - 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 2.4 物质的分类 同步训练 A 组 1.现有四种物质:氢气、一氧化碳、二氧化碳、甲烷。将它们分成两...
2.4L与1.8T的区别.doc
2.4 和 1.8T 都看到了驾驶舱和发动机舱之间的隔热板,事实上一般在自吸发动
2.4等腰三角形的判定定理_图文.ppt
2.4等腰三角形的判定定理 - 复习引入 等腰三角形有哪些特征呢? 1.等腰三角
2.4绝对值_图文.ppt
2.4绝对值 - 2.4 绝对值 西 3米 3米 在数轴上表示出这一情景. A
2.4尺寸标注_图文.ppt
2.4尺寸标注 - P52 技术语言是在技术活动中进行信息交流的一种 特殊的语言
为什么所有的无线频率都是2.4GHz.doc
为什么所有的无线频率都是2.4GHz - 为什么所有的无线频率都是 2.4GHZ? ? 我们的生活中到处都充满了 2.4GHz。你的路由器、无绳电话、蓝牙耳机、无线 摄像头、无线...
2.4米天线使用说明_图文.pdf
2.4 米环焦天线使用说明 2.4 米环焦天线是我公司采用环焦技术,波纹喇叭馈源等天线新技术天线 口径 2.4 米, 通过优化设计, 其电气性能达到先进水平的新型通信站小...
2.4 估算_图文.ppt
2.4 估算 - 第二章 实数 2.4 估算 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂
2.4-查询应答器_图文.ppt
2.4-查询应答器 - 2.4 查询应答器 1.掌握查询应答器的分类 2.掌握查询应答器的工作原理 3.了解查询应答器构成 4.了解查询应答器的报文定义 2.4.1查询应答器...
2.4正态分布(备用)_图文.ppt
2.4正态分布(备用)_数学_高中教育_教育专区。 回顾 1.两点分布: 2.超
2.4寸TFT彩屏教程_图文.pdf
2.4寸TFT彩屏教程 - 彩色 TFTLCD 显示模块 产品说明书 V2.0
RTKLIB2.4.3中文说明书_图文.doc
RTKLIB2.4.3中文说明书 - 1. 文件目录结构 \app-- APs
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图