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2等差数列


等 差 数 列 一、知识点 1.定义: an?1 ? an ? d (常数) (n ? N ? ) 2.通项: an ? a1 ? (n ? 1)d ,推广: a n ? am ? (n ? m)d n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 3.前 n 项的和: S n ? 2 2 4.等差中项:若 a、b、c 等差数列,则 b 为 a 与 c 的等差中项:2b=a+c 5.简单性质:(1) m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq (2) an , an?m , an?2m ,?组成公差为 md 的等差数列. (3) S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n ,? 组成公差为 n 2 d 的等差数列. 二、思维点拔 1.等差数列的判定方法 (1)定义法: an?1 ? an ? d (常数) (n ? N ? ) (3)通项法: an ? a1 ? (n ? 1)d (2)中项法: 2an?1 ? an ? an?2 (4)前 n 项和法: S n ? An2 ? Bn 2.知三求二( a1 , d , n, an , S n ),要求选用公式要恰当. 3.设元技巧: 三数: a ? d , a, a ? d 四数 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 三、举例 例 1.(1)在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? 9, a9 ? ?6, S n ? 63, 求n. 解:设首项为 a1 ,公差为 d , ? 9 ? a1 ? 3d ?a1 ? 18 3 ? 63 ? S n ? 18n ? n(n ? 1)得 : n ? 6或n ? 7 则? 得? 2 ?? 6 ? a1 ? 8d ? d ? ?3 (2)若一个等差数列前 3 项和为 34,后 3 项和为 146,且所有项的和为 390, 求这个数列项数. 解:? a1 ? a2 ? a3 ? 34, 又an ? an?1 ? an?2 ? 146,? a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 n( a 1 ? a n ) ? 390, 得n ? 13 ? 两式相加得: 3(a1 ? an ) ? 180, a1 ? an ? 60 ,由S n ? 2 (3)已知?an ? 为等差数列,前 10 项的和为 S10 ? 100, 前 100 项的和 S100 ? 10 ,求前 110 项 的和 S110 . 优化设计 P39 典例剖析例 2 分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项 a1 与公差 d 的两个方 程. 11 1 ? ? ?a1 ? ? 50 ? 10a1 ? 2 ? 10 ? 9d ? 100 解法一:设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差 d ,则 ? 解得 : ? 1 1099 ?100a1 ? ? 100? 99d ? 10 ?d ? 2 100 ? ? 1 ? S110 ? 110 a1 ? ? 110 ? 109 d ? ?110 2 分析二:运用前 n 项和变式: S n ? An2 ? Bn 解法二: ?an ? 为等差数列,故可设 S n ? An2 ? Bn , ? 100A ? 10B ? 100 则? 解得110A ? B ? ?1 ?10000A ? 100B ? 10 ? S110 ? 1102 A ? 110B ? 110(110A ? B) ? ?110 (a ? a100 ) ? 90 ? ?90? a11


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