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2等差数列

等 差 数 列 一、知识点 1.定义: an?1 ? an ? d (常数) (n ? N ? ) 2.通项: an ? a1 ? (n ? 1)d ,推广: a n ? am ? (n ? m)d n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 3.前 n 项的和: S n ? 2 2 4.等差中项:若 a、b、c 等差数列,则 b 为 a 与 c 的等差中项:2b=a+c 5.简单性质:(1) m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq (2) an , an?m , an?2m ,?组成公差为 md 的等差数列. (3) S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n ,? 组成公差为 n 2 d 的等差数列. 二、思维点拔 1.等差数列的判定方法 (1)定义法: an?1 ? an ? d (常数) (n ? N ? ) (3)通项法: an ? a1 ? (n ? 1)d (2)中项法: 2an?1 ? an ? an?2 (4)前 n 项和法: S n ? An2 ? Bn 2.知三求二( a1 , d , n, an , S n ),要求选用公式要恰当. 3.设元技巧: 三数: a ? d , a, a ? d 四数 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 三、举例 例 1.(1)在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? 9, a9 ? ?6, S n ? 63, 求n. 解:设首项为 a1 ,公差为 d , ? 9 ? a1 ? 3d ?a1 ? 18 3 ? 63 ? S n ? 18n ? n(n ? 1)得 : n ? 6或n ? 7 则? 得? 2 ?? 6 ? a1 ? 8d ? d ? ?3 (2)若一个等差数列前 3 项和为 34,后 3 项和为 146,且所有项的和为 390, 求这个数列项数. 解:? a1 ? a2 ? a3 ? 34, 又an ? an?1 ? an?2 ? 146,? a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 n( a 1 ? a n ) ? 390, 得n ? 13 ? 两式相加得: 3(a1 ? an ) ? 180, a1 ? an ? 60 ,由S n ? 2 (3)已知?an ? 为等差数列,前 10 项的和为 S10 ? 100, 前 100 项的和 S100 ? 10 ,求前 110 项 的和 S110 . 优化设计 P39 典例剖析例 2 分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项 a1 与公差 d 的两个方 程. 11 1 ? ? ?a1 ? ? 50 ? 10a1 ? 2 ? 10 ? 9d ? 100 解法一:设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差 d ,则 ? 解得 : ? 1 1099 ?100a1 ? ? 100? 99d ? 10 ?d ? 2 100 ? ? 1 ? S110 ? 110 a1 ? ? 110 ? 109 d ? ?110 2 分析二:运用前 n 项和变式: S n ? An2 ? Bn 解法二: ?an ? 为等差数列,故可设 S n ? An2 ? Bn , ? 100A ? 10B ? 100 则? 解得110A ? B ? ?1 ?10000A ? 100B ? 10 ? S110 ? 1102 A ? 110B ? 110(110A ? B) ? ?110 (a ? a100 ) ? 90 ? ?90? a11 ? a100 ? ?2 解法三:? S100 ? S10 ? 11 2 110(a1 ? a110 ) (a11 ? a100 ) ? 110 ? S110 ? ? ? ?110 2 2 例 2 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn=npan(n ? N )且 a1=a2, * (1) 求常数 p 的值; (2) 证明:数列 ?an ? 是等差数列。 详见优化设计 P39 典例剖析例 1,解答过程略。 例 3.已知两个等差数列 5,8,11,…和 3,7,11…都有 100 项,问它们有多 少相同的项?并求出所相同项的和。 分析一:两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列,且公 差为原来两个公差的最小公倍数。 解:设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为 ?an ? ,则 a1 ? 11 ∵ 数 列 5 , 8 , 11 , … 和 3 , 7 , 11 … 的 公 差 分 别 为 3 与 4??an ? 的公差d ? 3 ? 4 ? 12,? an ? 12n ? 1 又因为数列 5 , 8 , 11,…和 3 , 7 , 11 …的第 100 项分别是 302 和 399 , ? an ? 12n ? 1 ? 302 即n ? 25.5, 又n ? N ? , 所以两个数列有 25 个相同的项。 25 ? 24 ? 12 ? 3875 其和 S 25 ? 11 ? 25 ? 2 分析二: 由条件可知两个等差数列的通项公式, 可用不定方程的求解法来求解。 解:设数列 5,8,11,…和 3,7,11…分别为 ?an ?, ?bn ?, 则an ? 3n ? 2, bn ? 4n ? 1 设 ?an ? 中的第 n 项与 ?bn ? 中的第 m 项相同,即 4 3n ? 2 ? 4m ? 1? n ? m ? 1, 又m, n ? N ? ,? 设m ? 3r , (r ? N ? )得n ? 4r ? 1 3 ? 1 ? 3r ? 100 根据题意得: ? 解得 : 1 ? r ? 25(r ? N ? ) 1 ? 4 r ? 1 ? 100 ? 25 ? 24 ? 12 ? 3875 2 例 4. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 (n ? N ) , 求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.


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