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几何证明选讲练习题


几何证明选讲练习题
1. 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B , ADE, CFD, CGE 都是⊙ O 的割线,已知 AC ? AB ,
2 (Ⅰ)证明: AD ? AE ? AC ; (Ⅱ)证明: FG // AC

C G F
O

A D

E B

2.如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 90 0 ,以 BC 为直径的圆 O 交 AC 于点 D ,设 E 为 AB 的中点 (Ⅰ)求证:直线 DE 为圆 O 的切线; (Ⅱ)设 CE 交圆 O 于点 F ,求证: CD ? CA ? CF ? CE

3.如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、 ⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P, (I)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长

4.如图,已知⊙ O 和⊙ M 相交于 A, B 两点, AD 为⊙ M 的直径,直线 BD 交⊙ O 于点 C ,点 G 为弧 BD 中点,连 结 AG 分别交⊙ O, BD 于点 E, F ,连结 CE , (Ⅰ)求证: AG ? EF ? CE ? GD ; (Ⅱ)求证:

GF EF 2 ? 。 AG CE 2

5. 如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90 0 ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连 OD 交圆
O 于点 M , (Ⅰ)求证: O, B, D, E 四点共圆;

(Ⅱ)求证: 2DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB

6. ?ABC 的外角 ?EAC 的平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D ,延长 DA 交 ?ABC 的外接圆于点 F ,连结 FB, FC 。 (1)求证: FB 2 ? FA ? FD ; (2)若 AB 是 ?ABC 外接圆的直径,且 ?EAC ? 120?, BC ? 6 ,求线段 AD 的长

7.如图: AB 是圆 O 的直径( O 为圆心) M 是 AB 延长线上的一点,且 MB ? ,

1 AB ? 1 ,圆 O 的割线 MDC 交圆 O 于 2

点 D, C ,过点 M 作 AM 的垂线交直线 AD, AC 分别于点 E, F ,证明: (Ⅰ) ?MED ? ?MCF ; (Ⅱ) ME ? MF ? 3
F

C D

E

A

O

B

M

8.如图, 点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点, AD ? BC 于点 D ,过点 B 作圆 O 的切线,与 CA 的延长线相交于点
E ,点 G 是 AD 的中点,连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F ,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P .
(Ⅰ)求证: BF ? EF ; (Ⅱ)求证: PA 是圆 O 的切线;

9.如图,⊙ O 是 ?ABC 的外接圆, D 是弧 AC 的中点, BD 交 AC 于 E (I)求证: CD 2 ? DE ? DB 。 (II)若 CD ? 2 3, O 到 AC 的距离为 1 ,求⊙ O 的半径

10.如图所示,已知 PA与 ? O 相切,A 为切点,PBC 为割线,D 为 ? O 上的点,且 AD=AC,AD,BC 相交于点 E。 (Ⅰ)求证:AP//CD; (Ⅱ)设 F 为 CE 上的一点,且 ?EDF ? ?P , 求证: CE ? EB ? FE ? EP.

11.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上两点,CE⊥AB 于 E,BD 交 AC 于 G,交 CE 于 F,CF=FG. 求证: (Ⅰ)C 是 B D 弧的中点; (Ⅱ)BF=FG.
D G F A O E B C

12.如图,AB 是⊙O 的直径,G 为 AB 延长线上的一点,GCD 是⊙O 的割线,过点 G 作 AB 的垂线,交 AC 的延长线于点 E,交 AD 的延长线于点 F,过 G 作⊙O 的切线,切点为 H. 求证: (1)C,D,F,E 四点共圆; (2)GH2=GE·GF.

13.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=9,CA=12,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,DE⊥DB 交 AB 于点 E,⊙O 是△BDE 的外接圆,交 BC 于点 F. (1)求证:AC 是⊙O 的切线; (2)连结 EF,求
EF 的值. AC

14.如图, A 是以 BC 为直径的 ? O 上一点, AD ? BC 于点 D ,过点 B 作 ? O 的切线,与 CA 的延长线相交于点 E,G
是 AD 的中点,连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F ,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P . (1)求证: BF ? EF ; (2)求证: PA 是 ? O 的切线; (3)若 FG ? BF ,且 ? O 的半径长为 3 2 ,求 BD 和 FG 的长度. F G P B D O C E A

15.如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,连结 EC,CD。 (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (2)若 tan ?CED ?

1 , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长 2

16.如图所示,⊙O 为△ABC 的外接圆,且 AB=AC,过点 A 的直线交⊙O 于 D,交 BC 的延长线于 F,DE 是 BD 的延

AD 长线,连接 CD. (1)求证:∠EDF=∠CDF; (2)求证: AB =AF ×
2



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